Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Tabla de contenido:

Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Vídeo: Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Vídeo: Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Vídeo: BètaBreak - Topoloog en intuïntionist L.E.J. Brouwer 2024, Marzo
Anonim

Este es un archivo en los archivos de la Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Publicado por primera vez el miércoles 26 de marzo de 2003; revisión sustantiva dom 25 sep 2005

Matemático y filósofo holandés que vivió desde 1881 hasta 1966. Tradicionalmente se le conoce como 'LEJ Brouwer', con iniciales completas, pero sus amigos lo llamaron 'Bertus'.

En matemáticas clásicas, fundó la topología moderna estableciendo, por ejemplo, la invariabilidad topológica de la dimensión y el teorema del punto fijo. También dio la primera definición correcta de dimensión.

En filosofía, su creación es el intuicionismo, una base revisionista de las matemáticas. El intuicionismo ve las matemáticas como una actividad libre de la mente, independiente de cualquier lenguaje o ámbito platónico de los objetos, y por lo tanto, las matemáticas se basan en una filosofía de la mente. Las implicaciones son dobles. Primero, conduce a una forma de matemática constructiva, en la cual grandes partes de la matemática clásica son rechazadas. En segundo lugar, la dependencia de una filosofía de la mente introduce características que están ausentes de la matemática clásica, así como de otras formas de matemática constructiva: a diferencia de ellas, la matemática intuicionista no es una parte adecuada de la matemática clásica.

  • 1. La persona
  • 2. Cronología
  • 3. Breve caracterización del intuicionismo de Brouwer
  • 4. El desarrollo del intuicionismo de Brouwer
  • Bibliografía
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. La persona

Brouwer estudió en la Universidad (municipal) de Amsterdam, donde sus maestros más importantes fueron Diederik Korteweg (de la ecuación Korteweg-de Vries) y, especialmente filosóficamente, Gerrit Mannoury. Los principales estudiantes de Brouwer fueron Maurits Belinfante y Arend Heyting; este último, a su vez, era el maestro de Anne Troelstra y Dirk van Dalen. A las clases de Brouwer también asistió Max Euwe, el último campeón mundial de ajedrez, quien publicó un artículo teórico del juego sobre el ajedrez desde el punto de vista intuitivo (Euwe, 1929), y que mucho más tarde pronunciaría el discurso fúnebre de Brouwer. Entre los asistentes de Brouwer estaban Heyting, Hans Freudenthal, Karl Menger y Witold Hurewicz, los dos últimos de los cuales no tenían una inclinación intuitiva. El partidario más influyente de Brouwer 'El intuicionismo fuera de los Países Bajos en ese momento fue, durante varios años, Hermann Weyl.

Brouwer parece haber sido un hombre independiente y brillante de altos estándares morales, pero con un sentido exagerado de justicia, lo que a veces lo hace pugnaz. Como consecuencia, en su vida peleó enérgicamente muchas batallas.

De 1914 a 1928, Brouwer fue miembro de la junta editorial de Mathematische Annalen, y fue el editor fundador de Compositio Mathematica, que apareció por primera vez en 1934.

Fue miembro, entre otros, de la Real Academia Holandesa de Ciencias, la Royal Society de Londres, la Preußische Akademie der Wissenschaften en Berlín y la Akademie der Wissenschaften en Gotinga.

Brouwer recibió doctorados honorarios de las universidades de Oslo (1929) y Cambridge (1954), y fue nombrado Caballero en la Orden del León Holandés en 1932.

El archivo de Brouwer se conserva en el Departamento de Filosofía, Universidad de Utrecht, Países Bajos. Se está preparando una edición de correspondencia y manuscritos.

2. Cronología

1881 27 de febrero, nacido en Overschie (desde 1941 parte de Rotterdam), Países Bajos.

1897 Ingresa a la Universidad de Amsterdam para estudiar matemáticas y física.

1904 Obtiene el título de doctorandus (maestría) en matemáticas; primera publicación (sobre rotaciones en espacio de cuatro dimensiones); se casa con Lize de Holl (nacida en 1870). No tendrían hijos, pero Lize tenía una hija de un matrimonio anterior. Se mudan a Blaricum, cerca de Amsterdam, donde vivirían por el resto de sus vidas, aunque también tenían casas en otros lugares.

1907 Obtiene el título de doctor con disertación Over de Grondslagen der Wiskunde (Sobre los fundamentos de las matemáticas), bajo la supervisión de Korteweg en la Universidad de Amsterdam. Marca el comienzo de su reconstrucción intuicionista de las matemáticas. Más tarde ese año, la esposa de Brouwer se gradúa y se convierte en farmacéutica. Toda su vida, Brouwer hizo la contabilidad por ella y llenó los formularios de impuestos, y a veces ayudaba detrás del mostrador.

1908 Primera participación en una conferencia internacional, la Cuarta Conferencia Internacional de Matemáticos en Roma.

1909-1913 En cuatro años muy productivos, Brouwer funda la topología moderna, como un capítulo de las matemáticas clásicas. Aspectos destacados: invariancia de dimensión, teorema de punto fijo, grado de mapeo, definición de dimensión. Una pausa en su programa intuicionista.

1909 Se convierte en docente privado (profesor no remunerado) en la Universidad de Amsterdam. Conferencia inaugural 'Het Wezen der Meetkunde' ('La naturaleza de la geometría').

1909 Conoce a Hilbert en el balneario holandés de Scheveningen. Brouwer admira mucho a Hilbert y describe su reunión en una carta a un amigo como "un nuevo y hermoso rayo de luz a través de mi vida" (Brouwer y Adama van Scheltema, 1984, p.100). Veinte años después, la relación de Brouwer con Hilbert se volvería amarga.

1911 Primera aparición de los nombres 'formalismo' e 'intuicionismo' en los escritos de Brouwer, en una revisión del libro de Gerrit Mannoury Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik (Observaciones metodológicas y filosóficas sobre matemáticas elementales) de 1909.

1912 Elegido miembro de la Real Academia de Ciencias (durante la Segunda Guerra Mundial 'Academia Holandesa de Ciencias', luego 'Real Academia Holandesa de Ciencias').

1912 Nombrado profesor extraordinario en el campo de la "teoría de conjuntos, la teoría de funciones y la axiomática". Su conferencia inaugural filosófica 'Intuitionisme en Formalisme' se traduce al inglés como 'Intuitionism and Formalism' y se convierte, en 1913, en la primera publicación sobre intuicionismo en ese idioma.

1913 Nombrado profesor ordinario ordinario, sucediendo a Korteweg, que se había ofrecido generosamente a desocupar su silla para tal fin.

1914 Invitado a unirse al consejo editorial de Mathematische Annalen; acepta el honor

1918 Brouwer comienza la reconstrucción intuitiva sistemática de las matemáticas con su artículo 'Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre. ('Teoría de conjuntos fundadores independientemente del principio del medio excluido. Primera parte, teoría general de conjuntos').

1919 Recibe ofertas para profesorado en Gotinga y en Berlín; rechaza ambos.

1920 Inicio del 'Grundlagenstreit' (debate fundacional) con la conferencia de Brouwer en el 'Naturforscherversammlung' en Bad Nauheim, publicado en 1921 como 'Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?' ('¿Cada número real tiene una expansión decimal?'); amplificado por la defensa del intuicionismo de Weyl en 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik' ('Sobre la nueva crisis fundacional de las matemáticas'); respondido por Hilbert en 1922, 'Neubegründung der Mathematik' ('La nueva base de las matemáticas').

1920 'Intuitionistische Mengenlehre' ('Intuitionistic Set Theory') es la primera pieza de matemática intuicionista en una revista internacional ampliamente leída, el Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922 Cofunda, junto con Gerrit Mannoury, el autor Frederik van Eeden y otros, el 'Signifische Kring' ('Círculo Significativo'), una sociedad que apunta al progreso espiritual y político a través de la reforma del lenguaje, a partir de las ideas expuestas por Victoria Lady Welby en su artículo 'Sentido, significado e interpretación' (Welby, 1896). El círculo termina sus reuniones en 1926, pero Mannoury continúa su trabajo.

Conferencia de 1926 en Gotinga; Como resultado de una cena grupal en la casa de Emmy Noether, Hilbert y Brouwer están (por un breve período) en buenos términos nuevamente.

Serie de conferencias de 1927 en Berlín; su asistente posterior Freudenthal está en la audiencia. El periódico Berliner Tageblatt propone un debate público entre Brouwer e Hilbert, que se celebrará en sus páginas, pero por alguna razón esto no se realiza. Brouwer tampoco completa el libro que el editor alemán Walter de Gruyter le invita a escribir. Las conferencias y un libro incompleto se publican póstumamente (Brouwer, 1992).

1928 10 y 14 de marzo: dos conferencias en Viena. Gödel está en la audiencia, al igual que Wittgenstein. Se dice que la primera conferencia hizo que Wittgenstein volviera a la filosofía. Brouwer pasa un día con Wittgenstein.

1928 de abril: conversaciones con Husserl, quien está en Amsterdam para dar una conferencia.

1928 Conflicto por la conferencia de Bolonia. Los matemáticos alemanes son, por primera vez desde el final de la Primera Guerra Mundial, admitidos nuevamente en una conferencia internacional, pero no tan iguales. Brouwer insiste en que esto no es justo y que, a menos que los alemanes sean tratados mejor, la conferencia debería ser boicoteada. Hilbert, que no comparte este punto de vista, está muy disgustado por la acción de Brouwer y asiste a la conferencia como el líder de la delegación alemana, el mayor regalo.

1928-1929'Mathematische Annalenstreit', el conflicto en el consejo editorial de Mathematische Annalen. Hilbert, pensando que está a punto de morir, siente la necesidad de asegurarse de que después de su muerte Brouwer no sea demasiado influyente, y lo expulsa de la junta de manera ilegal. [La motivación de Hilbert como se describe aquí está documentada en cartas de personas cercanas a él: Carathéodory a Einstein, 20 de octubre de 1928; Blumenthal a la editorial y editores de Mathematische Annalen, 16 de noviembre de 1928; Nacido en Einstein, el 20 de noviembre de 1928. Las copias de estas cartas se encuentran en el Archivo Brouwer de la Universidad de Utrecht. Se pueden encontrar citas relevantes de estos en van Dalen, 2005, p. 604 y p. 613]. Einstein, también miembro de la junta, se niega a apoyar la acción de Hilbert y no quiere tener nada que ver con todo el asunto;la mayoría de los otros miembros de la junta no quieren irritar a Hilbert oponiéndose a él. Brouwer protesta vehementemente. Al final, todo el tablero se disuelve y se vuelve a ensamblar inmediatamente sin Brouwer, en un tamaño muy reducido (en particular, el declive de Einstein y Carathéodory). El conflicto deja a Brouwer mentalmente roto y aislado, y pone fin a una década muy creativa en su trabajo. Ahora que los dos concursantes principales ya no pueden continuar, el 'Grundlagenstreit' ha terminado. Ahora que los dos concursantes principales ya no pueden continuar, el 'Grundlagenstreit' ha terminado. Ahora que los dos concursantes principales ya no pueden continuar, el 'Grundlagenstreit' ha terminado.

1928-1930 Conflicto con Karl Menger sobre la prioridad para la primera definición correcta de la noción de dimensión.

Agosto de 1929: robo del maletín de Brouwer en el tranvía en Bruselas, y con él de su cuaderno matemático. Cuando ni la policía ni un detective privado contratado para ese fin pueden encontrarlo de nuevo, se desespera de poder reconstruir su contenido. Más tarde, Brouwer dijo que esta pérdida fue instrumental en el cambio de su interés principal de las matemáticas a la filosofía.

1929 Comienza los preparativos para la fundación de una nueva revista matemática.

1934 Aparición del primer número de la propia revista internacional de Brouwer, titulada Compositio Mathematica.

1934 Ciclo de conferencias en Ginebra.

1935-1941 Miembro del consejo municipal de Blaricum para el partido neutral local (en 1939 gana las elecciones al recibir 310 de los 1601 votos).

1940-1945 Durante la ocupación alemana de los Países Bajos en la Segunda Guerra Mundial, Brouwer ayuda a la resistencia e intenta ayudar a sus amigos judíos y sus estudiantes. En 1943, aconseja a los estudiantes que firmen la declaración de lealtad exigida por los alemanes. Parte de su explicación, después de la guerra, es que firmar proporcionaría a los estudiantes la relativa paz necesaria para desarrollar y llevar a cabo actividades de resistencia. Se encuentra con escepticismo. Debido a esto y algunos intentos similares, quizás desafortunados, de astucia durante la ocupación, después de la liberación, es suspendido por unos meses. Profundamente ofendido, Brouwer considera la emigración a Sudáfrica o los Estados Unidos.

1942 Publica nuevamente tres notas breves sobre fundamentos intuicionistas, la primera desde 1933.

1945-1950 Conflicto sobre la revista Compositio Mathematica. El diario no había aparecido durante la guerra, y se hace un esfuerzo para revivirlo. Las dificultades para armar una nueva junta de editores surgen debido a la reputación dañada de Brouwer. Al final, el nombre de Brouwer permanece en la página de título, pero en efecto es retirado del directorio de la revista que fundó.

1947-1951 Serie de conferencias anuales en Cambridge, Inglaterra. Brouwer planea convertirlos en un libro, pero esto no sucede. Sin embargo, completa cinco de los seis capítulos previstos, y estos se publican póstumamente (Brouwer, 1981).

1948 Reanuda su programa fundamental con un artículo que explota la noción del sujeto creador. Comienzo de otro período creativo.

1949 Se opone a un plan para publicar sus trabajos recopilados, porque no tiene tiempo para escribir anotaciones que reflejen sus puntos de vista originales y actuales sobre ellos, lo que considera que sería lo científicamente responsable.

1951 Se retira de la Universidad de Amsterdam. Reflexionando sobre su relación con Arend Heyting, su sucesor en el puesto de director del Instituto de Matemáticas, como resultado del desacuerdo sobre el papel exacto que el Brouwer retirado aún podría desempeñar allí.

1952 Conferencias en Londres y en Ciudad del Cabo.

1953 Conferencias en Helsinki, donde se queda con Von Wright. Gira de conferencias por los Estados Unidos (entre otros MIT, Princeton, University of Wisconsin-Madison, Berkeley, Chicago) y Canadá (Canadian Mathematical Congress en Kingston, Ontario). En Princeton, visita a Gödel.

1955 publica su último artículo nuevo (basado en su conferencia en la conferencia de Boole en Dublín el año anterior).

1959 Muerte de la señora Brouwer, 89 años. Brouwer rechaza una oferta para un puesto de 1 año en la Universidad de Columbia Británica en Vancouver.

1962 Brouwer se le ofrece un puesto en Montana.

1966 2 de diciembre: muere en Blaricum, Países Bajos, a los 85 años, cuando es atropellado por un automóvil frente a su casa.

3. Breve caracterización del intuicionismo de Brouwer

Basado en su filosofía de la mente, en la cual Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias, Brouwer caracterizó las matemáticas principalmente como la actividad libre del pensamiento exacto, una actividad que se basa en la intuición pura del tiempo (interno). Ningún reino independiente de objetos y ningún lenguaje juegan un papel fundamental. Se esforzó por evitar la Escila del platonismo (con sus problemas epistemológicos) y los Caribdis del formalismo (con su pobreza de contenido). Como, desde el punto de vista de Brouwer, no existe un determinante de la verdad matemática fuera de la actividad del pensamiento, una proposición solo se vuelve verdadera cuando el sujeto ha experimentado su verdad (al haber llevado a cabo una construcción mental apropiada); similar,una proposición solo se vuelve falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (al darse cuenta de que una construcción mental apropiada no es posible). Por lo tanto, Brouwer puede afirmar que "no hay verdades sin experiencia" (Brouwer, 1975, p.488).

Brouwer estaba preparado para seguir su filosofía de la mente hasta sus últimas conclusiones; si las matemáticas reconstruidas eran compatibles o incompatibles con las matemáticas clásicas era una cuestión secundaria, y nunca decisiva. Al otorgar así prioridad a la filosofía sobre las matemáticas tradicionales, se mostró revisionista. Y, de hecho, mientras que la aritmética intuicionista es un subsistema de la aritmética clásica, en el análisis la situación es diferente: no todo el análisis clásico es intuitivamente aceptable, pero tampoco todo el análisis intuicionista es clásicamente aceptable. Brouwer aceptó esta consecuencia de todo corazón.

4. El desarrollo del intuicionismo de Brouwer

El pequeño libro de Brouwer, Vida, arte y misticismo de 1905, aunque no desarrolla sus fundamentos de las matemáticas como tal, es una clave para esos fundamentos tal como se desarrolló en su disertación en la que estaba trabajando al mismo tiempo y que se terminó dos años después. Entre una variedad de otras cosas, como puntos de vista notorios sobre la sociedad y las mujeres en particular, el libro contiene sus ideas básicas sobre mente, lenguaje, ontología y epistemología.

Estas ideas se aplican a las matemáticas en su disertación Over de Grondslagen der Wiskunde (Sobre los fundamentos de las matemáticas), defendida en 1907; Es la filosofía general y no las paradojas lo que inicia el desarrollo del intuicionismo (una vez que esto comenzó, surgieron soluciones a las paradojas). Al igual que Kant, Brouwer funda las matemáticas en una intuición pura del tiempo (mientras que rechaza la intuición pura del espacio).

Brouwer sostiene que las matemáticas son una actividad esencialmente sin lenguaje, y que el lenguaje solo puede dar descripciones de la actividad matemática después del hecho. Esto lo lleva a negar los enfoques axiomáticos de cualquier papel fundamental en las matemáticas. Además, él interpreta la lógica como el estudio de patrones en las interpretaciones lingüísticas de la actividad matemática y, por lo tanto, la lógica depende de las matemáticas (como el estudio de patrones) y no viceversa. Son estas consideraciones las que lo motivan a introducir la distinción entre matemática y metamatemática (para la cual utilizó el término 'matemática de segundo orden'), que le explicaría a Hilbert en conversaciones en 1909.

Con esta visión en su lugar, Brouwer se propone reconstruir la teoría de conjuntos cantoriana. Cuando un intento (en un borrador de la disertación) de dar un sentido constructivo a la segunda clase de números de Cantor (la clase de todos los ordinales supuestamente infinitos) y las clases superiores de ordinales aún mayores falla, se da cuenta de que esto no puede hacerse y rechaza las clases superiores. clases de números, dejando solo todos los ordinales finitos y una colección inacabada o abierta de ordinales aparentemente infinitos. Por lo tanto, como consecuencia de sus puntos de vista filosóficos, conscientemente deja de lado parte de las matemáticas generalmente aceptadas. Pronto haría lo mismo con un principio de lógica, el principio del medio excluido (PEM), pero en la disertación todavía lo considera correcto pero inútil, interpretando p ∨ ¬ p como ¬ p → ¬ p.

En 'De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes' ('La falta de fiabilidad de los principios lógicos') de 1908, Brouwer formula, en términos generales, su crítica de PEM: aunque en la forma simple de p ∨ ¬ p, el principio nunca conducirá a Una contradicción, hay casos en los que uno no tiene, constructivamente hablando, ninguna razón positiva para mantenerlos verdaderos. Brouwer nombra algunos. Debido a que en el sentido estricto no refutan PEM, se les conoce como 'contraejemplos débiles'. Para una discusión más detallada sobre este tema, consulte el documento complementario:

Contraejemplos débiles

La innovación que da al intuicionismo un rango mucho más amplio que otras variedades de matemática constructiva (incluida la de la disertación de Brouwer) son las secuencias de elección. Estas son secuencias potencialmente infinitas de números (u otros objetos matemáticos) elegidos uno tras otro por el matemático individual. Las secuencias de elección hicieron su primera aparición como objetos intuitivamente aceptables en una reseña de un libro de 1914; el principio que los hace matemáticamente manejables, el principio de continuidad, se formuló en las notas de las conferencias de Brouwer de 1916. El uso principal de las secuencias de elección es la reconstrucción del análisis; los puntos en el continuo (números reales) se identifican con secuencias de elección que satisfacen ciertas condiciones. Las secuencias de elección se recopilan juntas usando un dispositivo llamado 'propagación',que realiza una función similar a la del conjunto cantoriano en el análisis clásico, e inicialmente, Brouwer incluso usa la palabra 'Menge' ('conjunto') para los spreads. Brouwer desarrolla una teoría de spreads, y una teoría de conjuntos de puntos basados en ella, en el artículo de dos partes de 1918/1919 'Begründung der Mengenlehre unabhängig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten' ('Teoría de conjuntos fundadores independientemente del principio de lo excluido Medio').

La respuesta a la pregunta en el título del artículo de Brouwer '¿Tiene cada número real una expansión decimal?' (1921) resulta ser no. Brouwer demuestra que se pueden construir secuencias de elección que satisfagan la condición de Cauchy que, en su desarrollo exacto, dependen de un problema aún abierto. No se puede construir una expansión decimal hasta que se resuelva el problema abierto; Según la estricta visión constructivista de Brouwer, esto significa que no existe expansión decimal hasta que se resuelva el problema abierto. En este sentido, se pueden construir números reales (es decir, secuencias de elección convergentes) que no tienen una expansión decimal.

En 1923, nuevamente usando secuencias de elección y problemas abiertos, Brouwer diseña una técnica general, ahora conocida como 'contraejemplos de Brouwerian', para generar contraejemplos débiles a los principios clásicos ('Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik', 'Sobre el Importancia del Principio del Medio Excluido en Matemáticas ').

Los teoremas básicos del análisis intuicionista (el teorema de la barra, el teorema del abanico y el teorema de la continuidad) se encuentran en 'Über Definitionsbereiche von Funktionen' ('Sobre los dominios de la definición de funciones') de 1927. Los dos primeros son teoremas estructurales sobre spreads; el tercero (que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de elección) establece que cada función total [0,1] → ℜ es continua e incluso uniformemente continua. El teorema del ventilador es, de hecho, un corolario del teorema de la barra; combinado con el principio de continuidad, que no es clásicamente válido, produce el teorema de continuidad. En el análisis clásico, ambas partes de ese teorema serían falsas. Los teoremas de barras y abanicos, por otro lado, son clásicamente válidos, aunque las pruebas clásicas e intuicionistas para ellos no son intercambiables. Las pruebas clásicas son intuitivamente no aceptables debido a la forma en que dependen del principio excluido medio; las pruebas intuicionistas son clásicamente no aceptables porque dependen de la reflexión sobre la estructura de las pruebas mentales. En esta reflexión, Brouwer introdujo la noción de la forma 'totalmente analizada' o 'canónica' de una prueba, que sería adoptada mucho más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, a menudo son infinitas.que sería adoptado mucho más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, a menudo son infinitas.que sería adoptado mucho más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, a menudo son infinitas.

'Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus' ('Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo') de 1928 identifica y discute cuatro diferencias clave entre el formalismo y el intuicionismo, todo lo que tiene que ver con el papel de PEM o con la relación entre las matemáticas y el lenguaje. (Es aquí donde Brouwer, en una nota al pie, se refiere a las conversaciones con Hilbert de 1909 mencionadas anteriormente). Brouwer enfatiza, como lo había hecho en su disertación, que el formalismo presupone una matemática contenciosa en el metalevel. También presenta aquí su primer contraejemplo fuerte, una refutación de una forma de PEM, al demostrar que es falso que cada número real sea racional o irracional. Para una discusión más detallada sobre este tema, consulte el documento complementario:

Contraejemplos fuertes

De las dos conferencias celebradas en Viena en 1928: 'Mathematik, Wissenschaft und Sprache' ('Matemáticas, ciencia y lenguaje') y 'Die Struktur des Kontinuums' ('La estructura del continuo'), la primera es de naturaleza filosófica. mientras que el segundo es más matemático. En 'Matemáticas, ciencia y lenguaje', Brouwer expone sus puntos de vista generales sobre las relaciones entre los tres temas mencionados en el título, siguiendo un enfoque genético y enfatizando el papel de la voluntad. Una versión más larga de esta conferencia fue presentada en holandés en 1932 como 'Willen, Weten, Spreken' ('Volición, Conocimiento, Idioma'); contiene las primeras observaciones explícitas sobre una noción que había estado presente desde el principio, ahora conocida como la del "matemático idealizado" o "sujeto creador".

La conferencia "Conciencia, filosofía y matemáticas" de 1948 vuelve a analizar la filosofía de la mente de Brouwer y algunas de sus consecuencias para las matemáticas. La comparación con la vida, el arte y el misticismo, la primera conferencia de Viena y 'Willen, Weten, Spreken' revela que la filosofía general de Brouwer a lo largo de los años se desarrolló considerablemente, pero solo en profundidad.

En 1949, Brouwer (1949a) publica el primer ejemplo de una nueva clase de contraejemplos fuertes, una clase que difiere del contraejemplo fuerte anterior de Brouwer (1928, ver arriba) en que el tipo de argumento, que ahora se conoce con el nombre de 'crear argumento del sujeto ', implica una referencia esencial a la estructura temporal de la actividad matemática del sujeto creador (Heyting, 1956, cap. III y VIII; van Atten, 2003, cap. 4 y 5).

El ejemplo de Brouwer muestra que hay un caso en el que el principio de doble negación en forma de ∀ x ∈ℜ (¬¬ P (x) → P (x)) conduce a una contradicción ('De Non-aequivalentie van de Constructieve en de Negatieve Orderelatie in het Continuum ',' La no equivalencia de la relación de orden constructivo y negativo en el continuo '). La primera publicación de esta nueva clase de contraejemplos fuertes (y de contraejemplos fuertes en general) en inglés tuvo que esperar hasta 1954, en 'Un ejemplo de contradicción en la teoría clásica de las funciones'. Este título polémico debe entenderse de la siguiente manera: si uno sigue la letra de la teoría clásica pero en su interpretación sustituye las nociones intuicionistas por sus contrapartes clásicas, se llega a una contradicción. Por lo tanto, no es un contraejemplo en el sentido estricto de la palabra,sino más bien un resultado de no interpretabilidad. Como la lógica intuicionista es, formalmente hablando, parte de la lógica clásica, y la aritmética intuicionista es parte de la aritmética clásica, la existencia de contraejemplos fuertes debe depender de un ingrediente esencialmente no clásico, y esta es, por supuesto, las secuencias de elección.

El argumento del sujeto creador es, después de la introducción anterior de secuencias de elección y la prueba del teorema de barras, un nuevo paso en la explotación de los aspectos subjetivos del intuicionismo. No hay una razón de principios por la que debería ser la última.

Bibliografía

Textos de Brouwer

Casi todos los documentos de Brouwer se pueden encontrar en

  • Brouwer, LEJ, 1975, Obras completas 1. Filosofía y fundamentos de las matemáticas, A. Heyting (ed.), Amsterdam: Holanda del Norte.
  • Brouwer, LEJ, 1976, Obras completas 2. Geometría, análisis, topología y mecánica, H. Freudenthal (ed.), Amsterdam: Holanda del Norte.

En los trabajos recopilados, los documentos en holandés se han traducido al inglés, pero los documentos en francés o alemán no. Se pueden encontrar traducciones al inglés de varios de ellos en

  • van Heijenoort, J., ed., 1967, De Frege a Gödel. A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge (MA): Harvard University Press.
  • Mancosu, P., ed., 1998, De Hilbert a Brouwer. El debate sobre los fundamentos de las matemáticas en la década de 1920, Oxford: Oxford University Press.

Una traducción al inglés del pequeño libro de Brouwer, Leven, Kunst en Mystiek de 1905, del cual las Obras completas solo contienen extractos, es

Brouwer, LEJ, 1996, 'Life, Art and Mysticism', Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389-429. Traducido por Walter van Stigt, quien proporciona una introducción en las páginas 381-387

Las conferencias de Berlín de 1927 se han publicado en

Brouwer, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag

Las conferencias de Cambridge de 1946-1951, que se recomiendan como la propia introducción de Brouwer al intuicionismo, se han publicado como

Brouwer, LEJ, 1981, Brouwer's Cambridge Lectures on Intuitionism, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press

De particular interés biográfico, aunque no traducido, es la correspondencia entre Brouwer y su amigo, el poeta socialista CS Adama van Scheltema, que abarca los años 1898-1924:

Brouwer, LEJ y Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdam: De Arbeiderspers

Textos primarios citados por otros

  • Euwe, M., 1929, 'Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel', Ned. Akad Wetensch Proc. 32: 633-644.
  • Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Traducción al inglés 'The New Grounding of Mathematics: first report' en (Mancosu 1998).
  • Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
  • Welby, V., 1896, 'Sentido, significado e interpretación', Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186-202.
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik', Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Traducción al inglés 'Sobre la nueva crisis fundamental de las matemáticas' en (Mancosu 1998).

Literatura secundaria

  • van Atten, M., 2004, en Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.

    Una introducción filosófica al intuicionismo tal como la concibió Brouwer, con amplios tratamientos de la prueba del teorema de la barra, el sujeto creador y la intersubjetividad

  • van Dalen, D., 1990, 'La guerra de las ranas y los ratones, o la crisis de la Mathematische Annalen', Mathematical Intelligencer, 12 (4): 17-31.
  • van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer e Intuitionist, 2 volúmenes, Oxford: Clarendon Press.

    La biografía estándar de Brouwer. El volumen 1, The Dawning Revolution, abarca los años 1881-1928, el volumen 2, Hope and Disillusion, abarca 1929-1966

  • van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Een Biografie. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdam: Bert Bakker.

    Una biografía popular en 1 volumen, en holandés

  • Dummett, M., 1977, Elementos del intuicionismo, Oxford: Oxford University Press. 2ª edición revisada, 2000, Oxford: Clarendon Press.

    Una visión general del intuicionismo. Filosóficamente, parece más cercano a Wittgenstein que a Brouwer

  • Hesseling, DE, 2003, Gnomos en la niebla. La recepción del intuicionismo de Brouwer en la década de 1920, Basilea: Birkhauser.

    . Una discusión histórica detallada de las reacciones al intuicionismo maduro de Brouwer durante el debate fundacional

  • Heyting, A., 1956, intuicionismo. Una introducción, Amsterdam: Holanda del Norte. 2da, edición revisada, 1966. 3ra, edición revisada, 1971.

    Probablemente el libro más influyente sobre el tema jamás escrito. En un estilo que es más realista y ecuménico que el de Brouwer, Heyting presenta las versiones intuitivas de varias materias básicas en matemáticas cotidianas. Brouwer y Heyting tienen algunos desacuerdos filosóficos que hacen una diferencia en su apreciación de algunos aspectos de las matemáticas intuicionistas. No se conocen comentarios de Brouwer sobre este libro

  • Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, París: Vrin.

    Una visión general del intuicionismo, permanecer cerca de Brouwer y mostrar un buen sentido de los antecedentes históricos de la noción de intuición de Brouwer

  • Placek, T., 1999, Intuicionismo matemático e intersubjetividad, Dordrecht: Kluwer.

    Una comparación de los argumentos para el intuicionismo presentada por, respectivamente, Brouwer, Heyting y Dummett, en particular con respecto a la posibilidad de validez intersubjetiva de las matemáticas intuicionistas

  • van Stigt, W., 1990, Brouwer's Intuitionism, Amsterdam: North-Holland.

    Contiene interesantes discusiones filosóficas y ofrece traducciones al inglés del material del archivo Brouwer. El bosquejo biográfico ha sido reemplazado por (van Dalen, 1999/2005) y (van Dalen, 2001)

Otros recursos de internet

  • Revisión de los gnomos de Hesseling en la niebla en el Boletín de lógica simbólica (Postdata)
  • Bibliografía de Brouwer de Dirk van Dalen (Postdata)

[Póngase en contacto con el autor para obtener más sugerencias.]

Recomendado: