Teoría De Conjuntos: ZF Constructivo E Intuitivo

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Teoría De Conjuntos: ZF Constructivo E Intuitivo
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Teoría de conjuntos: ZF constructivo e intuitivo

Publicado por primera vez el viernes 20 de febrero de 2009; revisión sustantiva mié 13 feb 2019

Las teorías constructivas e intuicionistas de conjuntos de Zermelo-Fraenkel son teorías axiomáticas de conjuntos al estilo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) que se basan en la lógica intuicionista. Se introdujeron en la década de 1970 y representan un contexto formal dentro del cual codificar las matemáticas basadas en la lógica intuicionista (ver la entrada sobre matemáticas constructivas). Están formulados en el lenguaje estándar de primer orden de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y no hacen uso directo de ideas intrínsecamente constructivas. Al trabajar en ZF constructivo e intuicionista, podemos hasta cierto punto confiar en nuestra familiaridad con ZF y sus heurísticas.

A pesar de las similitudes con la teoría de conjuntos clásica, los conceptos de conjunto definidos por las teorías de conjuntos constructivas e intuicionistas difieren considerablemente de los de la tradición clásica; También difieren entre sí. Las técnicas utilizadas para trabajar dentro de ellas, así como para obtener resultados metamatemáticos sobre ellas, también difieren en algunos aspectos de la tradición clásica debido a su compromiso con la lógica intuicionista. De hecho, como es común en entornos intuicionistas, hay una gran cantidad de métodos semánticos y teóricos de prueba disponibles para el estudio de teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas.

Esta entrada presenta las características principales de las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas. A medida que el campo se expande a un ritmo rápido, solo podemos recordar brevemente algunos aspectos clave de los resultados y las técnicas disponibles. Nos centramos más en la teoría de conjuntos constructivos para resaltar importantes cuestiones fundamentales que surgen dentro de ella. Tenga en cuenta que omitimos una parte visible de la literatura sobre ZF constructiva e intuicionista que se relaciona con sus interpretaciones categóricas. Esta área ha experimentado importantes desarrollos a lo largo de los años, tanto es así que un tratamiento adecuado de ese progreso requeriría una extensión sustancial de esta entrada. El lector interesado puede consultar la entrada sobre teoría de categorías y sus referencias (ver también su Guía de lectura programática complementaria).

  • 1. La esencia de la teoría de conjuntos constructiva e intuicionista

    • 1.1 Libertad axiomática
    • 1.2 Teoría de conjuntos constructiva versus intuicionista
    • 1.3 Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva

      • 1.3.1 Impredicatividad de la separación
      • 1.3.2 Impredicatividad de Powerset
      • 1.3.3 El universo constructivo de conjuntos
  • 2. Orígenes de las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas
  • 3. Los sistemas Axioms CZF e IZF
  • 4. Principios constructivos de elección
  • 5. Teoría de la prueba y semántica de ZF constructivo e intuitivo

    • 5.1 Fuerza teórica de prueba
    • 5.2 Conjuntos grandes en ZF constructivo e intuicionista
    • 5.3 Propiedades metamatemáticas de ZF constructivo e intuicionista y técnicas semánticas

      • 5.3.1 Propiedades de disyunción y existencia de ZF constructivo e intuicionista
      • 5.3.2 Realizabilidad
      • 5.3.3 Modelos de Kripke y semántica valorada por Heyting
      • 5.3.4 Modelos categóricos de la teoría de conjuntos constructiva e intuicionista.
      • 5.4 Variantes de las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas: teorías de conjuntos con elementos y teorías de conjuntos no extensionales
  • Bibliografía
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. La esencia de la teoría de conjuntos constructiva e intuicionista

Las teorías constructivas e intuicionistas de Zermelo-Fraenkel se basan en la lógica intuicionista más que en la clásica, y representan un entorno natural dentro del cual codificar y estudiar las matemáticas basadas en la lógica intuicionista. Para la ZF constructiva, el enfoque principal ha sido representar la práctica matemática de Bishop (Bishop 1967, Bishop y Bridges 1985).

Para los conceptos básicos y las ideas impulsoras de la lógica intuicionista, las matemáticas constructivas y el intuicionismo, el lector puede consultar las siguientes entradas:

  • lógica intuicionista,
  • el desarrollo de la lógica intuicionista
  • matemática constructiva,
  • intuicionismo en la filosofía de las matemáticas,
  • Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Para la teoría de conjuntos clásica, vea la entrada sobre teoría de conjuntos.

Los ZF constructivos e intuicionistas se basan en el mismo lenguaje de primer orden que la teoría de conjuntos ZF clásica, que solo tiene el símbolo predicado binario (in) (membresía) como símbolo no lógico. Es decir, están formulados sobre la base de una lógica intuitiva de primer orden con igualdad, más el símbolo de predicado binario (in). De este modo, podemos aprovechar la simplicidad del lenguaje teórico de conjuntos y nuestra familiaridad con él (Myhill 1975). Al igual que con las matemáticas constructivas de estilo Bishop, las ZF constructivas e intuitivas son compatibles con la tradición clásica, en el sentido de que todos sus teoremas son clásicamente verdaderos. De hecho, los dos sistemas formales que consideraremos, Constructive Zermelo-Fraenkel (CZF) e Intuitionistic Zermelo-Fraenkel (IZF),dar lugar a ZF clásico completo mediante la simple adición del principio del medio excluido.

1.1 Libertad axiomática

La teoría de conjuntos clásica de Zermelo-Fraenkel se basa en la lógica clásica de predicados de primer orden con igualdad. Además de los principios lógicos están los axiomas y los esquemas que describen la noción de conjunto que codifica la teoría. Estos principios se pueden clasificar en tres tipos. Primero, hay principios que nos permiten formar nuevos conjuntos a partir de los dados. Por ejemplo, el axioma de par nos permite formar un conjunto que es el par de dos conjuntos dados. En segundo lugar, hay principios que establecen propiedades de la estructura teórica establecida. Por ejemplo, el axioma de extensionalidad identifica todos los conjuntos que tienen los mismos elementos. Tercero, y finalmente, hay axiomas que afirman la existencia de conjuntos específicos. Así, el axioma del infinito afirma que hay un conjunto infinito. Todos estos principios, en conjunto, generalmente se denominan principios de teoría de conjuntos.

Al introducir versiones de ZF basadas en la lógica intuicionista, el primer paso es eliminar de la lógica el principio del medio excluido (EM). El siguiente paso es elegir un buen stock de principios de teoría de conjuntos que representen fielmente la noción deseada de conjunto constructivo. Estas tareas resultan ser más desafiantes de lo que uno podría haber esperado al principio. De hecho, como es bien sabido, los sistemas basados en una lógica "más débil" tienen la capacidad de distinguir entre afirmaciones que son equivalentes desde el punto de vista de una lógica "más fuerte". En el caso de la teoría de conjuntos, algunos de los axiomas o esquemas de ZF a menudo se presentan mediante una de muchas formulaciones clásicamente equivalentes. Clásicamente es solo una cuestión de conveniencia cuál usar en un momento específico. Sin embargo, cuando se trabaja sobre la base de la lógica intuicionista,varias formulaciones de un axioma clásico pueden resultar distintas (no equivalentes). De hecho, uno puede imaginar nuevas declaraciones que son clásicamente equivalentes a un axioma ZF pero intuitivamente separadas de él (por ejemplo, el axioma de colección de subconjuntos de CZF (Aczel 1978)).

En cuanto al primer paso, que consiste en eliminar el principio del medio excluido de la lógica, resulta que simplemente desalojar este principio de la lógica subyacente es insuficiente; es decir, no es suficiente tomar el cálculo intuitivo más que el clásico predicado como nuestra base. También debemos asegurarnos de que los axiomas teóricos establecidos no traigan de vuelta a nuestra teoría formas indeseables de medio excluido. Por ejemplo, como señaló Myhill (1973), necesitamos un cuidado especial al elegir una declaración apropiada para el axioma de la fundación. Foundation se introduce en la teoría de conjuntos para descartar conjuntos que son miembros de sí mismos y, por lo tanto, (in): cadenas de conjuntos. La formulación habitual de la fundación afirma que cada conjunto habitado (un conjunto con al menos un elemento) tiene un elemento mínimo con respecto a la relación de pertenencia. Esta declaración, sin embargo,se puede demostrar que produce instancias constructivamente inaceptables del medio excluido sobre la base de supuestos modestos de teoría de conjuntos. Por lo tanto, la formulación habitual de los cimientos debe omitirse de una teoría de conjuntos basada en la lógica intuicionista. Para una prueba, vea el documento complementario:

Principios teóricos de conjuntos incompatibles con la lógica intuicionista.

El movimiento típico en la formulación de teorías de conjuntos basadas en la lógica intuicionista es reemplazar los cimientos con el esquema clásico equivalente de inducción de conjuntos, que no tiene los mismos "efectos secundarios" pero tiene consecuencias similares. [1]

En cuanto al segundo paso, relacionado con la selección de un buen stock de principios teóricos de conjuntos, los esquemas de reemplazo y separación, y el axioma del conjunto de poderes han atraído la mayor atención. Para la formulación exacta de estos principios, consulte el documento complementario:

Axiomas de CZF e IZF.

Aquí el siguiente es un escenario típico. Dado lo que son clásicamente dos variantes de un solo principio teórico de conjuntos, su prueba clásica de equivalencia requiere en algún momento una instancia del medio excluido. Sin embargo, en general, esta prueba de equivalencia no se llevará a un contexto intuicionista y, por lo tanto, lo que son clásicamente dos formas de un principio puede resultar en dos principios distintos cuando se trabaja intuitivamente. Elegir uno en lugar de otro puede influir en la noción de conjunto que definimos. En el contexto de teorías de conjuntos constructivos como CZF, el conjunto de poderes y la separación son reemplazados por principios intuitivamente más débiles. Una razón para esto es que la fuerza total del conjunto de potencia y la separación total se consideran innecesarias,ya que sus sustitutos más débiles parecen ser suficientes para llevar a cabo matemáticas constructivas. Otra razón es que son vistos como filosóficamente problemáticos, ya que pueden introducir formas de impredicatividad dentro de la teoría de conjuntos (ver la sección sobre Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva). El caso de reemplazo versus colección es de alguna manera más complejo (ver, por ejemplo, los artículos (Friedman y Scedrov 1985), (Rathjen 2005) y (Rathjen 2012)). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a). Otra razón es que son vistos como filosóficamente problemáticos, ya que pueden introducir formas de impredicatividad dentro de la teoría de conjuntos (ver la sección sobre Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva). El caso de reemplazo versus colección es de alguna manera más complejo (ver, por ejemplo, los artículos (Friedman y Scedrov 1985), (Rathjen 2005) y (Rathjen 2012)). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a). Otra razón es que son vistos como filosóficamente problemáticos, ya que pueden introducir formas de impredicatividad dentro de la teoría de conjuntos (ver la sección sobre Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva). El caso de reemplazo versus colección es de alguna manera más complejo (ver, por ejemplo, los artículos (Friedman y Scedrov 1985), (Rathjen 2005) y (Rathjen 2012)). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a).ya que pueden introducir formas de impredicatividad dentro de la teoría de conjuntos (ver la sección sobre Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva). El caso de reemplazo versus colección es de alguna manera más complejo (ver, por ejemplo, los artículos (Friedman y Scedrov 1985), (Rathjen 2005) y (Rathjen 2012)). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a).ya que pueden introducir formas de impredicatividad dentro de la teoría de conjuntos (ver la sección sobre Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva). El caso de reemplazo versus colección es de alguna manera más complejo (ver, por ejemplo, los artículos (Friedman y Scedrov 1985), (Rathjen 2005) y (Rathjen 2012)). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a). Vale la pena enfatizar que si bien la adopción de la formulación habitual de los fundamentos va en contra de la suposición de la lógica intuicionista como lógica de fondo, los principios de separación y conjunto de poderes no tienen incompatibilidad con la lógica intuicionista, tanto es así que son parte integral de la lógica. teoría intuicionista de conjuntos IZF (Friedman 1973a).

Para resumir, al formular una teoría de conjuntos basada en la lógica intuicionista, la primera tarea es expulsar el principio del medio excluido, incluidas aquellas instancias que podrían estar ocultas en formulaciones familiares de axiomas de teoría de conjuntos. La siguiente tarea es elegir una versión de cada principio clásico que mejor caracterice la noción deseada de conjunto. Esto abre una gama de elecciones que uno puede hacer, ya que una pluralidad de principios intuicionistas puede corresponder a un principio clásico. Cabe destacar que, desde un punto de vista constructivo, esta pluralidad de opciones (y, por lo tanto, sistemas), en lugar de causar inquietud, es una situación altamente deseable, ya que constituye una forma de "libertad axiomática". Por ejemplo, nos permite diferenciar entre una cantidad de nociones matemáticas, capturando así mejor nuestras intuiciones de ellas como distintas. También nos da la libertad de elegir las nociones y teorías que mejor se adapten a un contexto dado. Además, al adoptar la lógica intuicionista podemos incluir dentro de nuestras teorías principios que son clásicamente muy fuertes, sin tener que comprometernos con su fuerza clásica. Por ejemplo, se puede agregar una noción de conjunto inaccesible a una teoría de conjuntos constructivos débiles y obtener una teoría predicativa, mientras que la misma noción incrustada en un contexto clásico se vuelve extremadamente fuerte (ver las secciones sobre Predicatividad en la teoría de conjuntos constructivos y Conjuntos grandes en constructivos e intuitivo ZF). Finalmente, surge un área rica de estudio (metateórico) de las relaciones entre los sistemas de teoría de conjuntos distintos resultantes. Como era de esperar, esta libertad también tiene un precio,Como un estudio altamente técnico de las teorías axiomáticas podría ser necesario para distinguir sus principios, así como para desvelar algunas de sus sutilezas. Esto nuevamente puede verse como una ventaja, ya que nos obliga a un análisis más profundo y claro de las nociones matemáticas involucradas y nos impulsa a desarrollar nuevas herramientas sofisticadas.

1.2 Teoría de conjuntos constructiva versus intuicionista

Aunque existen muchos sistemas de conjuntos basados en la lógica intuicionista, podemos distinguir dos tendencias principales dentro de la literatura. Según el primero, tomamos todo lo que está disponible en la teoría clásica de conjuntos ZF y solo modificamos esos principios, como los fundamentos, que tienen una clara incompatibilidad con la lógica intuicionista. Esto da lugar a teorías establecidas como la intuitiva Zermelo-Fraenkel, IZF, una variante de la cual se introdujo ya en (Friedman 1973a). (Ver Beeson 1985, Capítulos 8 y 9 y Scedrov 1985 para dos encuestas sobre IZF.) La razón detrás de estas teorías parece ser la de otorgar al matemático las herramientas más poderosas posibles, siempre que se mantenga la compatibilidad con la lógica intuicionista. Según el segundo enfoque,Además de la adhesión a la lógica intuicionista, también introducimos restricciones en los principios de la teoría de conjuntos admitidos, siempre que el sistema resultante cumpla con la práctica matemática constructiva. Las teorías de este segundo tipo pueden verse así como el resultado de un doble proceso de restricción con respecto al ZF clásico. Primero hay una restricción a la lógica intuicionista, luego se impone una restricción a las construcciones teóricas de conjuntos permitidas. Este último está motivado por (1) la observación de que los principios más débiles parecen ser suficientes para la práctica matemática constructiva y (2) el deseo de adherirse a una forma de predicatividad (ver la siguiente sección para una aclaración de esta noción de predicatividad). Ejemplos paradigmáticos de este último tipo de sistemas son la teoría de conjuntos constructivos de Myhill (Myhill 1975),El sistema B de Friedman (Friedman 1977) y la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel constructiva de Aczel CZF (Aczel 1978; 1982; 1986, Aczel y Rathjen 2001; Aczel y Rathjen 2010, Otros recursos de Internet). También podemos decir que en este segundo enfoque, la motivación fundamental influye en la práctica en mayor grado.

A continuación, hacemos uso de una convención que a menudo se aplica en la actualidad, según la cual el adjetivo "intuicionista" se refiere a esas teorías establecidas, como IZF, que son impredecibles, mientras que "constructivo" se refiere a teorías establecidas, como CZF, que cumplen con una forma de predicatividad. Tenga en cuenta, sin embargo, que esta convención no siempre se sigue en la literatura. De hecho, el adjetivo "constructivo" también se ha utilizado para denotar teorías impredicativas, y "intuicionista" para referirse a teorías fundacionales predicativas como la teoría del tipo Martin-Löf (Martin-Löf 1975; 1984). También vale la pena señalar que la presente convención sobre el uso de las palabras "constructivo" e "intuicionista" difiere de la realizada en el contexto de las matemáticas constructivas (véase, por ejemplo, la entrada sobre las matemáticas constructivas y también Bridges y Richman 1987).

1.3 Predicatividad en la teoría de conjuntos constructiva

El predicativismo tiene su origen en los escritos de Poincaré y Russell, quienes respondieron a las paradojas que se descubrieron en las teorías establecidas de Cantor y Frege a principios del siglo XX. Posteriormente, Weyl realizó contribuciones fundamentales al estudio de las matemáticas predicativas (Weyl 1918, véase también Feferman 1988). Según una noción, una definición no es predictiva si define un objeto por referencia a una totalidad que incluye el objeto a definir. Con su Principio del círculo vicioso (VCP), Russell pretendía eliminar la circularidad en las matemáticas que surge de tales definiciones impredecibles. Russell dio varias formulaciones del VCP, una de las cuales es:

Lo que contenga una variable aparente no debe ser un valor posible de esa variable (Russell 1908, en van Heijenoort 1967, 163).

El análisis fundamental de la predicatividad de Poincaré, Russell y Weyl ha allanado el camino para una variedad de análisis lógicos de la noción. El análisis más comúnmente aceptado se debe a Feferman y Schütte (independientemente) siguiendo las líneas indicadas por Kreisel (Kreisel 1958, Feferman 1964 y Schütte 1965; 1965a). Aquí la teoría de la prueba ha jugado un papel fundamental. En términos muy generales, la idea era seleccionar una colección de teorías (una progresión transfinita de sistemas de aritmética ramificada de segundo orden indexada por ordinales) mediante la cual caracterizar una cierta noción de ordinal predicativo. El análisis teórico de prueba de Feferman y Schütte de estas teorías ha identificado un ordinal, generalmente conocido como (Gamma_0), que es el ordinal menos no predicativo según esta noción. Un sistema formal se considera predicativamente justificable si es teóricamente reducible a un sistema de artritis ramificada de segundo orden indexado por un ordinal menor que (Gamma_0). Por lo tanto, en la teoría de la prueba (Gamma_0) generalmente se considera que representa el límite de la predicatividad. (Ver Feferman 2005 para una explicación informal más precisa de esta noción de predicatividad y para más referencias. Ver también Crosilla 2017. El lector también puede consultar la sección sobre predicativismo en la entrada sobre filosofía de las matemáticas y la entrada sobre paradojas y lógica contemporánea).(Ver Feferman 2005 para una explicación informal más precisa de esta noción de predicatividad y para más referencias. Ver también Crosilla 2017. El lector también puede consultar la sección sobre predicativismo en la entrada sobre filosofía de las matemáticas y la entrada sobre paradojas y lógica contemporánea).(Ver Feferman 2005 para una explicación informal más precisa de esta noción de predicatividad y para más referencias. Ver también Crosilla 2017. El lector también puede consultar la sección sobre predicativismo en la entrada sobre filosofía de las matemáticas y la entrada sobre paradojas y lógica contemporánea).

Para las teorías constructivas fundamentales se ha sugerido un enfoque más "liberal" del predicativismo, comenzando a partir del trabajo a finales de la década de 1950 de Lorenzen, Myhill y Wang (véase, por ejemplo, Lorenzen y Myhill, 1959). La idea principal es que las llamadas definiciones inductivas deberían permitirse en el ámbito de las matemáticas constructivas. La justificación intuitiva de las definiciones inductivas está relacionada con el hecho de que pueden expresarse por medio de reglas finitas, de una manera "de abajo hacia arriba". La fuerza teórica de las teorías de las definiciones inductivas va mucho más allá del límite de Feferman y Schütte (Buchholz, Feferman, Pohlers y Sieg 1981). Por lo tanto, las teorías relativamente fuertes se consideran predicativas en los fundamentos actuales de las matemáticas constructivas. Esta noción más liberal de predicatividad a menudo se ha denominado predicatividad generalizada. En esta entrada simplemente escribimos predicatividad para la predicatividad generalizada y llamamos a la predicatividad dados los números naturales la forma de predicatividad más conocida que surge en el contexto clásico y fue analizada por Kreisel, Feferman y Schütte.

Un ejemplo de una teoría predicativa en este sentido es la teoría de conjuntos constructivos CZF, ya que su fuerza teórica de prueba es la misma que la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El sistema IZF, en cambio, es impredecible, ya que su fuerza teórica de prueba es igual a la del ZF clásico (Friedman 1973a).

En las teorías de conjuntos basadas en la lógica intuicionista, la predicatividad generalmente se logra al restringir los principios de separación y el conjunto de poderes, ya que estos parecen ser las principales fuentes de impredicatividad (cuando se supone el axioma del infinito).

1.3.1 Impredicatividad de la separación

El esquema de separación nos permite formar un subconjunto de un conjunto dado cuyos elementos satisfacen una propiedad dada (expresada por una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos). Dado un conjunto (B) y una fórmula (phi (X)), la separación nos permite construir un nuevo conjunto, el conjunto de esos elementos (X) de (B) para los cuales (phi) se mantiene. Esto generalmente se representa informalmente como: ({X / en B: / phi (X) }). La separación puede conducir a la imprevisibilidad en caso de que la fórmula (phi) contenga cuantificadores ilimitados que abarquen todo el universo de conjuntos; de hecho, al definir el nuevo conjunto por separación, podemos referirnos a este conjunto, contradiciendo el VCP de Russell. Por ejemplo, si definimos un conjunto (C) por separación como ({X / en B: / forall Y / psi (X, Y) }), entonces (C) está entre los (Y) que deben verificarse para la propiedad (psi). Esta forma de impredicatividad se evita en la teoría de conjuntos constructivos al restringir el esquema de separación: al exigir que todos los cuantificadores que ocurren en la fórmula (phi) se extiendan solo sobre conjuntos "previamente construidos". Sintácticamente, esto significa que dado un conjunto (B), podemos formar un nuevo conjunto ({X / in B: / phi (X) }) por separación solo si todos los cuantificadores en (phi) están delimitados; es decir, solo si todos los cuantificadores en (phi) tienen la forma (forall X (X / in Y / rightarrow / ldots)) o (exist X (X / in Y / wedge / ldots)), para algún conjunto (Y).\ phi (X) }) por separación solo si todos los cuantificadores en (phi) están delimitados; es decir, solo si todos los cuantificadores en (phi) tienen la forma (forall X (X / in Y / rightarrow / ldots)) o (exist X (X / in Y / wedge / ldots)), para algún conjunto (Y).\ phi (X) }) por separación solo si todos los cuantificadores en (phi) están delimitados; es decir, solo si todos los cuantificadores en (phi) tienen la forma (forall X (X / in Y / rightarrow / ldots)) o (exist X (X / in Y / wedge / ldots)), para algún conjunto (Y).

Podemos ver que restringir la separación de esta manera evita la impredicatividad, al observar que la fuerza teórica de prueba de CZF, que solo ha restringido la separación, está dentro del rango de la predictividad. Sin embargo, al agregar una separación completa a CZF, se obtiene una teoría impredecible, de hecho, una con la misma fuerza teórica de prueba que la aritmética completa de segundo orden (Lubarsky 2006). Consulte también la Sección 5 para una discusión sobre el papel de la teoría de la prueba en el análisis de teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas.

1.3.2 Impredicatividad de Powerset

El axioma del conjunto de potencia nos permite formar un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. La definición de un subconjunto de los números naturales, (N), como sigue: (B: = {n / in N: / forall C / subseteq N / phi, proporciona un ejemplo de uso impredecible del conjunto de potencias. (n, C) }), donde (phi) puede tomarse como una fórmula acotada. Aquí surge una forma de circularidad, ya que (B) se encuentra entre los subconjuntos de (N) que deben verificarse para (phi). Como lo enfatizó Myhill (1975, 354), el conjunto de poderes es difícil de justificar desde un punto de vista constructivo: reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado, pero no prescribe una regla que "construya" el conjunto a partir de lo dado previamente. conjuntos, como parece requerir la predicatividad.

Myhill escribe:

El conjunto de poderes parece especialmente no constructivo e impredecible en comparación con los otros axiomas: no implica, como lo hacen los demás, armar o desarmar conjuntos que uno ya ha construido, sino seleccionar de la totalidad de todos los conjuntos que están en la relación de inclusión a un conjunto dado. (Myhill 1975, 351).

El conjunto de potencia parece particularmente problemático en el caso de conjuntos infinitos, ya que "no tenemos idea de lo que es un subconjunto arbitrario de un conjunto infinito; no hay forma de generarlos a todos y, por lo tanto, no tenemos forma de formar el conjunto de todos ellos "(Myhill 1975, 354). Como consecuencia, parece que no hay forma de dar sentido constructivo al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto infinito.

Myhill observa de manera crucial que el conjunto de poderes no es necesario para las matemáticas constructivas al estilo Bishop, ya que puede reemplazarse por una de sus consecuencias. Esto a menudo se llama axioma de exponenciación de Myhill y establece que podemos formar un conjunto de todas las funciones de un conjunto dado a otro. Este axioma es claramente equivalente al conjunto de potencia en un contexto clásico, donde los subconjuntos de un conjunto dado pueden estar representados por funciones características. En ausencia del principio del medio excluido, sin embargo, el conjunto de potencia y la exponenciación no son equivalentes. La observación fundamental de Myhill es que la exponenciación es suficiente para llevar a cabo las matemáticas de (Bishop 1967); por ejemplo, permite la construcción de los números reales (Cauchy) dentro de la teoría de conjuntos constructiva. Myhill afirma que la exponenciación es constructivamente significativa porque una función es una regla,un objeto finito que realmente se puede dar.

También escribe que el caso del conjunto de poderes es diferente del de la exponenciación como:

incluso en el caso de conjuntos infinitos (A) y (B) tenemos una idea de un mapeo arbitrario de (A) a (B). Un mapeo arbitrario de (mathbf {Z}) a (mathbf {Z}) es una función recursiva parcial junto con una prueba de que el cálculo siempre termina; Se puede dar una cuenta similar de una función real arbitraria. No hay una explicación correspondiente de "subconjunto arbitrario". (Myhill 1975, 354).

El axioma de exponenciación de Myhill es ahora parte de todos los sistemas principales de la teoría de conjuntos constructiva. En el caso de CZF, de hecho, uno tiene un fortalecimiento de la exponenciación, conocido como colección de subconjuntos, que también es un debilitamiento del conjunto de potencia. También se puede encontrar una generalización de la exponenciación en la teoría de tipos constructivos.

En el caso de CZF, la afirmación de que agregar el axioma del conjunto de potencia induce una forma de impredicatividad puede fundamentarse en un resultado técnico. Rathjen (2012b) muestra que CZF aumentada por el axioma del conjunto de potencias excede la fuerza de la teoría clásica de conjuntos de Zermelo, y por lo tanto la adición del axioma del conjunto de potencia a CZF nos lleva a una teoría totalmente impredecible. Esto también muestra que la implicación del conjunto de potencias a la colección de subconjuntos no se puede revertir, ya que la fuerza de la teoría teórica de CZF está muy por debajo de la teoría de conjuntos de Zermleo. En otros términos, el axioma del conjunto de potencia es mucho más fuerte que la exponenciación y la colección de subconjuntos.

1.3.3 El universo constructivo de conjuntos

Habiendo introducido restricciones apropiadas al conjunto de poder y separación, ahora podríamos enfrentar una objeción sustancial. Las teorías de conjuntos constructivas e intuicionistas pueden verse como modificaciones de la teoría de conjuntos clásica de ZF que se obtienen al: (1) reemplazar el clásico por la lógica intuicionista, y (2) elegir con precisión, entre varios principios clásicos equivalentes, aquellos que parecen más apropiados para propósitos dados. Por ejemplo, podríamos elegir principios que sean suficientes para representar una determinada práctica matemática, como, por ejemplo, las matemáticas de estilo Bishop. Sin embargo, la noción resultante de conjunto puede volverse oscura y la elección de los principios de la teoría de conjuntos puede parecer hasta cierto punto arbitraria. En el caso de la ZF intuicionista, uno puede justificar la elección de los principios de la teoría de conjuntos examinando sus interpretaciones semánticas,como la semántica de Heyting, o mirando sus modelos categóricos. En el caso de la teoría de conjuntos constructiva, para obstaculizar este tipo de objeción, Aczel ha dado una interpretación de CZF en una versión de la teoría de tipo Martin-Löf (Aczel 1978). La afirmación es que, por lo tanto, se asigna un significado constructivo claro a la noción de conjunto de CZF al observar su significado en la teoría de tipo Martin-Löf, ya que esta última generalmente se considera como una formulación precisa y totalmente motivada de una noción constructiva de conjunto. La interpretación de Aczel de CZF en la teoría de tipos constructivos viene dada por la interpelación de conjuntos como árboles en la teoría de tipos. Es decir, en la teoría de tipos constructivos, el universo de conjuntos de CZF está representado por un tipo, V, de conjuntos iterativos construidos sobre el universo, U, de tipos pequeños (Aczel 1978; Martin-Löf 1984). Esta interpretación resalta claramente la predicatividad (generalizada) de CZF, cuyos conjuntos pueden verse como árboles construidos inductivamente, y cuyo universo teórico de conjuntos también tiene una estructura inductiva clara.

La predicatividad de CZF y los sistemas relacionados está en consonancia con las posiciones filosóficas que a menudo se asocian con el uso de la lógica intuicionista. En particular, parecería que si construimos los objetos matemáticos, por ejemplo, si los objetos matemáticos son construcciones mentales de algún tipo, recurrir a definiciones impredecibles produciría una forma indeseable de circularidad. Esto contrasta claramente con una visión a menudo asociada a la teoría clásica de conjuntos, para la cual nuestra actividad matemática puede verse como una revelación gradual de las propiedades del universo de conjuntos, cuya existencia es independiente de nosotros. Tal punto de vista generalmente está vinculado con el uso de la lógica clásica y la impredicatividad en el estudio del universo teórico de conjuntos. La predicatividad también se considera a menudo relacionada con la distinción tradicional entre el infinito real y el potencial. Las teorías predictivas (y, por lo tanto, en particular, constructivas) a menudo se consideran que evitan la referencia al infinito real y solo se comprometen al infinito potencial (Dummett 2000, Fletcher 2007). Esto nuevamente parece particularmente en armonía con esas posiciones filosóficas que resaltan la dimensión humana de nuestra actividad matemática, al ver, por ejemplo, los objetos matemáticos y la verdad de las declaraciones sobre ellos como dependientes de nosotros. Otro aspecto relacionado se ve a menudo como perteneciente a la predicatividad: si el universo de conjuntos se construye en etapas por nuestra propia actividad matemática, entonces sería natural también verlo como abierto. Por esta razón, en un contexto constructivo,donde el rechazo de la lógica clásica cumple con el requisito de predicatividad, el universo de conjuntos a menudo se describe como un concepto abierto, un universo "in fieri". Esta idea está especialmente bien ejemplificada en la teoría de tipos constructivos, donde Per Martin-Löf ha dejado deliberadamente abierta la noción de universo teórico de tipos (al no postular reglas de eliminación específicas para ella). La naturaleza abierta del universo de conjuntos ha allanado el camino para las extensiones de él por principios de reflexión. Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014). El universo de conjuntos a menudo se describe como un concepto abierto, un universo "in fieri". Esta idea está especialmente bien ejemplificada en la teoría de tipos constructivos, donde Per Martin-Löf ha dejado deliberadamente abierta la noción de universo teórico de tipos (al no postular reglas de eliminación específicas para ella). La naturaleza abierta del universo de conjuntos ha allanado el camino para las extensiones de él por principios de reflexión. Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014). El universo de conjuntos a menudo se describe como un concepto abierto, un universo "in fieri". Esta idea está especialmente bien ejemplificada en la teoría de tipos constructivos, donde Per Martin-Löf ha dejado deliberadamente abierta la noción de universo teórico de tipos (al no postular reglas de eliminación específicas para ella). La naturaleza abierta del universo de conjuntos ha allanado el camino para las extensiones de él por principios de reflexión. Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014).donde Per Martin-Löf ha dejado deliberadamente abierta la noción de universo teórico de tipos (al no postular reglas específicas de eliminación para él). La naturaleza abierta del universo de conjuntos ha allanado el camino para las extensiones de él por principios de reflexión. Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014).donde Per Martin-Löf ha dejado deliberadamente abierta la noción de universo teórico de tipos (al no postular reglas específicas de eliminación para él). La naturaleza abierta del universo de conjuntos ha allanado el camino para las extensiones de él por principios de reflexión. Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014). Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014). Estos han sido investigados tanto en la teoría de tipos como en la teoría de conjuntos constructiva. Ver (Rathjen 2005a) para una encuesta de resultados y una discusión fundamental, y también la sección 5.2. Para un análisis formal del universo constructivo de conjuntos y una comparación con la jerarquía de Von Neumann, ver (Ziegler 2014).

2. Orígenes de las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas

Las versiones intuitivas de las teorías de conjuntos de Zermelo-Fraenkel fueron introducidas a principios de la década de 1970 por Friedman y Myhill. En (Friedman 1973) el autor presenta un estudio de las propiedades formales de varios sistemas intuicionistas y les presenta una extensión del método de realización de Kleene. La técnica de realización se aplica en (Myhill 1973) para mostrar la propiedad de existencia de una versión de la teoría de conjuntos intuitiva de Zermelo-Fraenkel (con reemplazo en lugar de colección). En otra contribución fundamental, Friedman extiende la traducción de doble negación de la lógica intuitonista para relacionar las teorías de conjuntos clásicos e intuicionistas (Friedman 1973a). Estos primeros documentos ya abordan la relación entre algunas de las principales teorías intuitivas de conjuntos y la ZF clásica. También aclaran una característica clave de la teoría de conjuntos basada en la lógica intuicionista,principalmente que es susceptible de poderosas interpretaciones semánticas constructivas, como la realizabilidad. Estas técnicas se aplican al estudio de propiedades metateóricas cruciales que son típicas del enfoque constructivo y que disfrutan algunas teorías de conjuntos constructivos (ver la sección sobre técnicas semánticas). Este trabajo innovador ha sido completamente explotado y ampliado sustancialmente por Beeson y McCarty (ver Beeson 1985; McCarty 1984). Este trabajo innovador ha sido completamente explotado y ampliado sustancialmente por Beeson y McCarty (ver Beeson 1985; McCarty 1984). Este trabajo innovador ha sido completamente explotado y ampliado sustancialmente por Beeson y McCarty (ver Beeson 1985; McCarty 1984).

La teoría de conjuntos constructiva desde el principio tiene una vocación fundamental más distintiva y está ligada a las matemáticas de Bishop. De hecho, en 1967 Bishop publicó el libro "Fundamentos del análisis constructivo" (Bishop 1967), que abrió una nueva era para las matemáticas basada en la lógica intuicionista (ver la entrada sobre matemáticas constructivas). La monografía estimuló nuevos intentos en la comunidad lógica para aclarar y representar formalmente los principios utilizados por Bishop, aunque solo a un nivel informal. Los primeros intentos de Goodman y Myhill (Goodman y Myhill 1972) utilizaron versiones del sistema T de Gödel (ver también (Bishop 1970) para un intento similar). Myhill, sin embargo, llegó a la conclusión de que la formalización resultante era demasiado compleja y artificial (Myhill 1975, 347). Myhill propuso en cambio un sistema que está más cerca de la noción informal de conjunto utilizada originalmente por Bishop y también más cercana a la tradición de la teoría de conjuntos. Myhill escribe (1975, 347):

Nos negamos a creer que las cosas tengan que ser tan complicadas: la argumentación de (Bishop 1967) se ve muy fluida y parece caer directamente de un cierto concepto de qué conjuntos, funciones, etc. son, y deseamos descubrir un formalismo que aísle Los principios subyacentes a esta concepción de la misma manera que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aísla los principios subyacentes de las matemáticas clásicas (no constructivas). Queremos que estos principios sean tales que hagan que el proceso de formalización sea completamente trivial, como es el caso clásico.

Observamos aquí que la teoría de conjuntos constructivos de Myhill tenía nociones distinguidas de función, número natural y conjunto; representaba así una tradición constructiva en la que las funciones y los números naturales son conceptualmente independientes de los conjuntos. Otro paso fundamental en el desarrollo de la teoría de conjuntos constructivos fueron los "Fundamentos teóricos de conjuntos para el análisis constructivo" de Friedman (Friedman 1977). Aquí, entre otros sistemas, se define un sistema llamado B que tiene restricciones adicionales sobre los principios de la teoría de conjuntos en comparación con los de Myhill (en particular, no tiene inducción establecida). También tiene una forma restringida del axioma de elección dependiente. Se muestra que el sistema B es lo suficientemente expresivo como para representar el análisis constructivo de Bishop (1967) y, al mismo tiempo, es teóricamente muy débil (debido a la ausencia de inducción establecida). El sistema B es, de hecho, una extensión conservadora de la aritmética (por lo tanto, está muy por debajo del límite de predicatividad dados los números naturales recordados brevemente en la sección 1.3). Los sistemas de Myhill y Friedman fueron modificados posteriormente por Aczel, para obtener un sistema, CZF (Constructive Zermelo-Fraenkel), que es totalmente compatible con el lenguaje ZF (Aczel 1978, 1982, 1986; Aczel y Rathjen 2001; 2010). CZF tampoco incluyó principios de elección. Aczel dio una interpretación de CZF en la teoría de tipo Martin-Löf con el objetivo de corroborar la naturaleza constructiva de la teoría de conjuntos. También fortaleció algunos de los principios del sistema de Myhill (a saber, la recopilación y la exponenciación) sobre la base de que las versiones más fuertes todavía están validadas por la interpretación en la teoría de tipos.

A principios de la década de 1970 se introdujeron otros sistemas fundamentales para las matemáticas constructivas al estilo Bishop. Por ejemplo: matemáticas explícitas de S. Feferman (Feferman 1975), y la Teoría de tipo intuicionista ya mencionada (Martin-Löf 1975; 1984). La teoría del tipo constructivo generalmente se considera la base más satisfactoria para la matemática constructiva al estilo Bishop. Se puede considerar que tanto la teoría de tipos como las matemáticas explícitas expresan más directamente el contenido computacional de las matemáticas constructivas. La teoría de tipos, en particular, puede leerse como un lenguaje de programación muy general y expresivo. Las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas muestran su contenido computacional solo indirectamente a través de sus interpretaciones semánticas (ver, por ejemplo, (Aczel 1977), (Lipton 1995) y la sección sobre técnicas semánticas).

3. Los sistemas Axioms CZF e IZF

Para un lector que ya está familiarizado con la teoría de conjuntos ZF, ahora recordamos brevemente los axiomas de los sistemas CZF e IZF. Para obtener una lista completa y una explicación de sus axiomas, nos remitimos al documento complementario:

Axiomas de CZF e IZF.

CZF e IZF se formulan sobre la base de la lógica intuitiva de primer orden con igualdad, teniendo solo (in) (membresía) como un símbolo predicado binario no lógico adicional. Sus axiomas de teoría de conjuntos son los siguientes.

(mathbf {IZF}) (mathbf {CZF})
Extensionalidad (mismo)
Par (mismo)
Unión (mismo)
infinito (mismo)
Separación Separación restringida
Colección Fuerte colección
Set de poder Colección de subconjuntos
Establecer inducción (mismo)

Tenga en cuenta que en IZF el esquema de separación no tiene restricciones. En CZF, la Colección se fortalece para compensar la separación restringida. La colección de subconjuntos es un fortalecimiento del axioma de exponenciación de Myhill, sustituyendo así al Powerset de ZF.

4. Principios constructivos de elección

Cuando se discute el papel de la teoría de conjuntos clásica como base para las matemáticas, generalmente se considera la teoría ZFC, es decir, el sistema de axioma ZF más el axioma de elección (AC). Por lo tanto, uno podría preguntarse cuál es el estado del axioma de elección en entornos intuicionistas. La pregunta es particularmente significativa porque, en su primera aparición, el axioma de elección a menudo se consideraba controvertido y altamente no constructivo. En contextos constructivos, sin embargo, uno es testigo de un fenómeno peculiar. La forma habitual del axioma de elección se valida mediante teorías de tipos como la teoría de tipos de Martin-Löf, donde se mantiene la correspondencia de Curry-Howard (consulte la Sección 3.4 de la entrada sobre Matemáticas constructivas). Por otro lado, la suposición del axioma de elección da lugar a instancias del medio excluido en contextos extensionales,donde también está disponible una forma de separación. Este es el caso, por ejemplo, de la ZF constructiva e intuicionista. (Para la prueba, consulte el documento complementario sobre Principios teóricos de conjuntos incompatibles con la lógica intuicionista.) Una prueba de la incompatibilidad de AC con teorías de conjuntos extensionales basadas en la lógica intuicionista parece haber aparecido por primera vez en (Diaconescu 1975) en un contexto categórico. Goodman y Myhill discuten las teorías establecidas basadas en la lógica intuicionista (Goodman y Myhill 1978).) Parece haber aparecido por primera vez una prueba de la incompatibilidad de AC con teorías de conjuntos extensionales basadas en la lógica intuicionista (Diaconescu 1975) en un contexto categórico. Goodman y Myhill discuten las teorías establecidas basadas en la lógica intuicionista (Goodman y Myhill 1978).) Parece haber aparecido por primera vez una prueba de la incompatibilidad de AC con teorías de conjuntos extensionales basadas en la lógica intuicionista (Diaconescu 1975) en un contexto categórico. Goodman y Myhill discuten las teorías establecidas basadas en la lógica intuicionista (Goodman y Myhill 1978).

Aunque el axioma de elección es incompatible con la ZF tanto constructiva como intuitiva, se pueden agregar otros principios de elección a los sistemas básicos sin producir los mismos resultados indeseables. Por ejemplo, uno podría agregar el principio de elección contable (AC (_ 0)) o el de elección dependiente (DC). De hecho, ambos han sido empleados a menudo en la práctica matemática constructiva. (Para su formulación exacta, ver el documento complementario sobre Axiomas de CZF e IZF).

En (Aczel 1978) el autor también consideró un principio de elección llamado Presentation Axiom, que afirma que cada conjunto es la imagen surjective de una supuesta base. Una base es un conjunto, digamos (B), de modo que cada relación con el dominio (B) extiende una función con el dominio (B).

Aczel ha demostrado la compatibilidad de todas estas formas de elección con la teoría de conjuntos constructiva al extender su interpretación de CZF en la teoría de tipo Martin-Löf (Aczel 1982). Rathjen (2006) también ha considerado varios principios constructivos de elección y sus relaciones mutuas.

Una observación final: aunque las teorías de conjunto constructivas e intuicionistas son compatibles con los principios de elección que acabamos de mencionar, las teorías de conjunto a menudo se definen sin ningún principio de elección. Esto tiene el objetivo de permitir un enfoque fundacional "pluralista". En particular, uno quisiera obtener una teoría fundacional compatible con esos contextos (por ejemplo, modelos categóricos de teoría de conjuntos) en los que incluso estos principios de elección más débiles pueden no ser validados. Para ideas similares en el contexto de la teoría de tipos constructivos, ver (Maietti y Sambin 2005, Maietti 2009). También deseamos mencionar aquí el atractivo de Richman para una matemática constructiva que no utilice principios de elección (Richman 2000; 2001).

5. Teoría de la prueba y semántica de ZF constructivo e intuitivo

Al considerar una determinada práctica matemática (o una teoría utilizada para codificarla) desde una perspectiva filosófica, necesitamos aclarar con la mayor precisión posible los supuestos que se hacen dentro de ella, así como las consecuencias que surgen de esos supuestos. Esto es particularmente cierto cuando se trabaja con teorías que se basan en una lógica más débil que la clásica, para la cual es obligatorio tener una visión más profunda y precisa. Hay muchas herramientas técnicas disponibles que pueden ayudarnos a aclarar esos aspectos. Entre los instrumentos disponibles, hay técnicas de prueba teórica, como interpretaciones de prueba teórica, así como técnicas semánticas, como la posibilidad de realización, modelos de Kripke, semántica valorada por Heyting. De hecho, en la literatura a menudo se observa la interacción de las técnicas semánticas y teóricas de la prueba. Aquí damos una mirada superficial a algunos de estos temas y sugerimos lecturas adicionales.

5.1 Fuerza teórica de prueba

Un tema fundamental en la teoría de la prueba (en particular en la rama de esta disciplina conocida como análisis ordinal) es la clasificación de teorías mediante ordinales transfinitos que miden su "fuerza de consistencia" y "poder computacional". Estos ordinales dan una indicación de cuán fuerte es una teoría y, por lo tanto, ofrecen una forma de comparar diferentes teorías. Por ejemplo, el ordinal (varepsilon_0) es el ordinal de la teoría teórica de la aritmética de Peano, y es mucho más pequeño que el ordinal (Gamma_0), generalmente denominado "el límite de la predicatividad" (ver sección 1.3 más arriba)) Esto es indicativo de que existen teorías predicativamente aceptables que son mucho más fuertes que la Aritmética de Peano.

Como se discutió en la sección 1, el paso de la ZF clásica a sus variantes intuicionistas requiere que elijamos una formulación adecuada para cada axioma teórico de conjuntos: un axioma clásico puede tener varias variantes intuicionistas que resultan no equivalentes entre sí.. Esto a veces se refleja en la fuerza teórica de la prueba de las teorías resultantes, que pueden variar según los principios que elijamos. Por ejemplo, ya notamos que en CZF no tenemos una separación completa y un conjunto de potencia, que son reemplazados por los principios predicativamente aceptables de separación limitada y colección de subconjuntos, respectivamente. Sin embargo, si agregamos a CZF cualquiera de estos principios, obtenemos teorías impredicativas. La impredicatividad de las teorías resultantes se evidencia por el hecho de que su fuerza teórica de prueba supera con creces la de CZF.

No es sorprendente que las investigaciones sobre la fuerza de la teoría de la prueba de las teorías de conjuntos constructivos e intuitivas hayan sido una herramienta metateórica crucial para comprender estas teorías y sus relaciones entre sí. Las investigaciones sobre la fuerza de la teoría de la prueba de una teoría son ricas e informativas. En particular, Feferman (1993) ha argumentado que un análisis teórico de prueba puede ayudarnos a establecer si cierta teoría cumple con un marco filosófico dado: por ejemplo, el análisis puede revelar que una teoría es predicativa o finita, etc. Además, como un subproducto del análisis teórico de la prueba, a veces obtenemos pruebas de independencia simples. De hecho, podemos demostrar que una teoría no puede probar un principio específico porque agregarlo a la teoría aumentaría la fuerza de la teoría de la prueba de la teoría. Por ejemplo,CZF no prueba el axioma del conjunto de potencia, ya que la adición del conjunto de potencia a CZF da lugar a una teoría mucho más sólida. Las interpretaciones teóricas de prueba también se han empleado para comparar teorías constructivas e intuitivas de conjuntos de ZF entre sí, así como con sus contrapartes clásicas, y también con otros sistemas fundamentales para las matemáticas constructivas, como la teoría de tipos constructivos y las matemáticas explícitas (véase, por ejemplo, Griffor y Rathjen 1994, Tupailo 2003). Para una definición de la noción de fuerza de la teoría de la prueba y para encuestas sobre la teoría de la prueba, ver, por ejemplo, (Rathjen 1999, 2006b).así como con sus contrapartes clásicas, y también con otros sistemas fundamentales para las matemáticas constructivas, como la teoría de tipos constructivos y las matemáticas explícitas (ver, por ejemplo, Griffor y Rathjen 1994, Tupailo 2003). Para una definición de la noción de fuerza de la teoría de la prueba y para encuestas sobre la teoría de la prueba, ver, por ejemplo, (Rathjen 1999, 2006b).así como con sus contrapartes clásicas, y también con otros sistemas fundamentales para las matemáticas constructivas, como la teoría de tipos constructivos y las matemáticas explícitas (ver, por ejemplo, Griffor y Rathjen 1994, Tupailo 2003). Para una definición de la noción de fuerza de la teoría de la prueba y para encuestas sobre la teoría de la prueba, ver, por ejemplo, (Rathjen 1999, 2006b).

Aunque CZF e IZF son los sistemas más estudiados, hasta la fecha se han considerado muchos otros sistemas para la teoría de conjuntos constructiva e intuicionista. La fuerza de la teoría teórica de una serie de teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas ha sido establecida por una variedad de herramientas, como, por ejemplo, una extensión para establecer la teoría de la interpretación de doble negación (originada en (Friedman 1973a)), y una variedad de otras interpretaciones teóricas de prueba, a menudo resultantes de una cuidadosa combinación de técnicas semánticas y teóricas de prueba. En muchos casos, la fuerza teórica de la prueba de un sistema ha sido determinada por una cadena de interpretaciones entre los sistemas constructivos y clásicos, y mediante el uso de una variedad de herramientas, desde la posibilidad de volver a las técnicas teóricas de prueba más "tradicionales", como el análisis ordinal (ver,por ejemplo, Beeson 1985; Griffor y Rathjen 1994; Rathjen 2012b). En particular, la realización ha resultado ser muy útil, debido a su flexibilidad. En cuanto a los resultados de estas investigaciones, algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0). Beeson 1985; Griffor y Rathjen 1994; Rathjen 2012b). En particular, la realización ha resultado ser muy útil, debido a su flexibilidad. En cuanto a los resultados de estas investigaciones, algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0). Beeson 1985; Griffor y Rathjen 1994; Rathjen 2012b). En particular, la realización ha resultado ser muy útil, debido a su flexibilidad. En cuanto a los resultados de estas investigaciones, algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0). Rathjen 2012b). En particular, la realización ha resultado ser muy útil, debido a su flexibilidad. En cuanto a los resultados de estas investigaciones, algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0). Rathjen 2012b). En particular, la realización ha resultado ser muy útil, debido a su flexibilidad. En cuanto a los resultados de estas investigaciones, algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0).la realización ha resultado ser muy útil, debido a su flexibilidad. 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En cuanto a los resultados de estas investigaciones, algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0).algunos de los sistemas analizados resultan ser tan débiles como la aritmética, como, por ejemplo, el sistema B de Friedman (Friedman 1977); otros sistemas son tan fuertes como el ZF clásico completo, como el IZF (Friedman 1973a). También hay sistemas de resistencia intermedia, como CZF. La fuerza de esta última teoría, de hecho, es igual a la de una teoría de una definición inductiva conocida como ID (_ 1). 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El hecho de que CZF tiene la misma fuerza que ID (_ 1) se toma para confirmar la predicatividad (generalizada) de la teoría de conjuntos y para demostrar que excede el límite de predicatividad dados los números naturales, ya que ID (_ 1 / El ordinal teórico de la prueba de) está muy por encima de (Gamma_0).

Como observación final: si bien la fuerza de CZF está muy por debajo de la aritmética de segundo orden, la simple adición de medio excluido a CZF nos da ZF (completo). Esto debería contrastarse con IZF, que ya tiene la fuerza de ZF (Friedman 1973a). La fuerza teórica de prueba limitada de CZF en comparación con IZF a menudo se ha considerado una de las principales ventajas de la teoría de conjuntos constructiva sobre la intuitiva. En cierto sentido, parece que CZF aprovecha al máximo su uso de la lógica intuicionista, ya que caracteriza una noción de conjunto predicativo (generalizado) que es lo suficientemente fuerte para el desarrollo de gran parte de las matemáticas constructivas, pero también lo suficientemente débil como para evitar la impredicatividad. Curiosamente, cuando se han agregado algunos axiomas de conjuntos grandes a la teoría de conjuntos constructiva, surge un patrón similar,ya que la fuerza de la teoría resultante está muy por debajo de la teoría clásica correspondiente.

5.2 Conjuntos grandes en ZF constructivo e intuicionista

Un área prominente de investigación en la teoría de conjuntos clásica es la de los grandes cardenales (ver la entrada sobre teoría de conjuntos). En contextos constructivos, los ordinales no están ordenados linealmente. (Para la noción de ordinal constructivo y una breve discusión de sus propiedades, vea el documento complementario sobre: Principios teóricos de conjuntos incompatibles con la lógica intuicionista.) Como consecuencia, los números cardinales no juegan el mismo papel que en el entorno clásico.

No obstante, se puede estudiar el impacto de los "principios de reflexión" de la forma de grandes axiomas. Por ejemplo, se puede agregar a las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas un axioma que afirma la existencia de conjuntos inaccesibles. [2] Friedman y Scedrov (Friedman y Scedrov 1984) propusieron por primera vez la adición de grandes axiomas de conjuntos a la ZF intuicionista. Uno de sus objetivos era arrojar luz sobre las nociones clásicas correspondientes; otro fue estudiar el impacto de estos principios en las propiedades metateóricas de las teorías de conjuntos originales. Friedman y Scedrov han demostrado, por ejemplo, que la adición de grandes axiomas no compromete la validez de la disyunción y las propiedades de existencia numérica para IZF.

En el contexto de la teoría de conjuntos constructivos, Aczel ha introducido conjuntos grandes en forma de los llamados conjuntos regulares para permitir definiciones inductivas de conjuntos (Aczel 1986). Rathjen y Crosilla han considerado conjuntos inaccesibles (Rathjen al. 1998; Crosilla y Rathjen 2001) y conjuntos Mahlo (Rathjen 2003a). Sin embargo, podría plantearse una objeción a las extensiones de la teoría de conjuntos constructiva por grandes axiomas de conjuntos. En la teoría de conjuntos clásica, los grandes cardenales pueden verse como una encarnación de un infinito superior. ¿Cómo justificamos estos principios de manera constructiva? La justificación constructiva de estas nociones se basa nuevamente en la interpretación teórica de tipos. La adición de estos principios corresponde de hecho a la de los universos y los tipos (W) dentro de la teoría de tipos constructivos. La justificación de extensiones por conjuntos grandes está, por lo tanto, ligada a la cuestión de los límites de la teoría de tipo Martin-Löf (Rathjen 2005). También observamos que la adición de axiomas de conjuntos inaccesibles a un subsistema débil de CZF (sin inducción de conjuntos) produce una teoría de la fuerza (Gamma_0), el ordinal señalado por Feferman y Schütte como el límite de la predicatividad dada la naturalidad números (Crosilla y Rathjen 2001; ver también la sección 1.3). Esto es testigo del hecho de que al trabajar en un contexto constructivo y predicativo, podemos dominar las nociones teóricas de conjuntos tradicionalmente fuertes.el ordinal señalado por Feferman y Schütte como el límite de la predicatividad dados los números naturales (Crosilla y Rathjen 2001; ver también la sección 1.3). Esto es testigo del hecho de que al trabajar en un contexto constructivo y predicativo, podemos dominar las nociones teóricas de conjuntos tradicionalmente fuertes.el ordinal señalado por Feferman y Schütte como el límite de la predicatividad dados los números naturales (Crosilla y Rathjen 2001; ver también la sección 1.3). Esto es testigo del hecho de que al trabajar en un contexto constructivo y predicativo, podemos dominar las nociones teóricas de conjuntos tradicionalmente fuertes.

La teoría de conjuntos de Crosilla y Rathjen con conjuntos inaccesibles (pero sin inducción de conjuntos) es una prueba teóricamente bastante débil, pero matemáticamente bastante expresiva. Por ejemplo, se ha utilizado para verificar que la adición del Axioma de Univalencia de Voevodsky a la teoría del tipo Martin-Löf no engendra impredicatividad (Rathjen 2017). El axioma de la Univalencia fue introducido por Voevodsky como parte de su programa de Fundamentos Univalentes (Voevodsky 2015). (Para Fundamentos univalentes, vea las entradas sobre teoría de tipos y sobre teoría de tipos intuicionista). Voevodsky dio un modelo de teoría de tipos constructivos con el Univalence Axiom que se basa en conjuntos simples de Kan (ver Kapulkin y Lumsdaine 2012, Otros recursos de Internet). El modelo simplicial de la teoría de tipos constructivos con univalencia desarrollado en el artículo anterior se lleva a cabo dentro de una extensión de ZFC con cardenales inaccesibles. Esto provocó la pregunta de si se podría dar un modelo más constructivo de esta teoría de tipos y, en particular, si la teoría de tipos es predicativa. Bezem, Coquand y Huber (2014) han propuesto recientemente un modelo de esta teoría de tipos en conjuntos cúbicos que es computacional y "puede expresarse en una metalogía constructiva". Rathjen (2017) ha verificado que este nuevo modelo puede codificarse en una extensión adecuada de CZF mediante conjuntos inaccesibles que es mucho más débil que la teoría clásica de conjuntos con cardenales inaccesibles. De hecho, resulta que si tomamos como punto de partida una teoría del tipo relativamente débil, es decir, una sin tipos W, y la extendemos por el Axioma de Univalencia,la teoría resultante tiene una prueba de fuerza teórica (Gamma_0), el ordinal generalmente se toma para representar el límite de predicatividad dados los números naturales (Rathjen 2017). Para demostrar esto, se demuestra que el modelo cúbico de Bezem, Coquand y Huber se puede llevar a cabo en una extensión del sistema introducido en Crosilla y Rathjen (2001) mediante la elección dependiente relativizada (limitada). De (Crosilla y Rathjen 2001) y (Rathjen 2003) se desprende que este último tiene una prueba teórica ordinal (Gamma_0). Coquand y Huber pueden llevarse a cabo en una extensión del sistema introducido en Crosilla y Rathjen (2001) por (dependiente) Elección dependiente relativizada. De (Crosilla y Rathjen 2001) y (Rathjen 2003) se desprende que este último tiene una prueba teórica ordinal (Gamma_0). Coquand y Huber pueden llevarse a cabo en una extensión del sistema introducido en Crosilla y Rathjen (2001) por (dependiente) Elección dependiente relativizada. De (Crosilla y Rathjen 2001) y (Rathjen 2003) se desprende que este último tiene una prueba teórica ordinal (Gamma_0).

5.3 Propiedades metamatemáticas de ZF constructivo e intuicionista y técnicas semánticas

Una variedad de interpretaciones para la lógica intuicionista se ha extendido a teorías de conjunto intuitivas y constructivas, como la realización, los modelos de Kripke y la semántica valorada por Heyting. Todas estas técnicas se han aplicado para obtener resultados metamatemáticos sobre las teorías establecidas.

5.3.1 Propiedades de disyunción y existencia de ZF constructivo e intuicionista

Algunas teorías intuitivas de conjuntos satisfacen ciertas propiedades metamatemáticas "distintivas", como la disyunción y las propiedades de existencia. También se puede demostrar que son consistentes con la adición de principios que van más allá de lo que generalmente consideramos constructivo. Entre estos se encuentran, por ejemplo, la Tesis de la Iglesia y el principio de Markov. Para una descripción de estos principios en el contexto de la lógica intuicionista, el lector puede consultar las secciones 4.2 y 5.2 de la entrada sobre lógica intuicionista o el libro Constructivism in Mathematics de Troelstra y van Dalen (Troelstra y van Dalen 1988).

Aquí recordamos las propiedades de disyunción y existencia, formuladas para una teoría de conjuntos (T). La motivación informal para la disyunción y las propiedades de existencia se basa en nuestra comprensión de las pruebas constructivas de las declaraciones disyuntivas y existenciales (respectivamente). De hecho, parece razonable esperar que si probamos constructivamente una disyunción (phi / vee / psi), entonces también deberíamos poder probar (phi) o probar (psi). Del mismo modo, si probamos una afirmación existencial, entonces deberíamos poder demostrar que un testigo de esa afirmación es definible dentro de nuestra teoría.

Aunque tales propiedades parecen bastante naturales y son bastante fáciles de establecer para las teorías aritméticas, resultan plantear desafíos técnicos considerables en el caso de las teorías de conjuntos, debido a sus jerarquías transfinitas de conjuntos y al axioma de la extensionalidad. De hecho, prominentes teorías del conjunto constructivo e intuicionista resultan no poseer la propiedad de existencia, como se discute en la siguiente sección.

Sea (T) una teoría cuyo lenguaje, (L (T)), abarca el lenguaje de la teoría de conjuntos. Además, por simplicidad, asumiremos que (L (T)) tiene una constante (omega) que denota el conjunto de números naturales de von Neumann y para cada (n) una constante (c_n) que denota el (n) - th elemento de (omega).

Una teoría (T) tiene la propiedad de disyunción (DP) si cada vez (T) prueba ((phi / vee / psi)) para las oraciones (phi) y (psi) de (L (T)), luego (T) prueba (phi) o (T) prueba (psi).

La propiedad de existencia tiene dos versiones distintas en el contexto de la teoría de conjuntos: la propiedad de existencia numérica (NEP) y la propiedad de existencia (EP). Deje que (theta (x)) sea una fórmula con como máximo (x) gratis. Nosotros decimos eso:

(1) (T) tiene la NEP si cada vez que (T) prueba (exist x / in / omega / theta (x)), entonces, para algún número natural (n, T) prueba (theta (c_n)).

(2) (T) tiene el EP si cada vez que (T) prueba (exist x / theta) (x), entonces hay una fórmula (phi (x)) con exactamente (x) gratis, de modo que (T) prueba (exist! x (phi (x) wedge / theta (x))).

Como las técnicas de realización han demostrado ser cruciales en las investigaciones sobre la existencia y las propiedades de disyunción para las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas, discutimos los resultados de estos estudios en la siguiente sección.

5.3.2 Realizabilidad

La realización ha sido una de las primeras y principales herramientas en la investigación en torno a las teorías de conjuntos basadas en la lógica intuicionista, comenzando por las primeras contribuciones de Friedman y Myhill (Friedman 1973, Myhill 1973). La semántica de realización para la aritmética intuicionista fue propuesta por primera vez por Kleene (Kleene 1945) y extendida por la aritmética Heyting de orden superior por Kreisel y Troelstra (Kreisel y Troelstra 1970). Para la definición de realizabilidad de la aritmética, consulte la sección 5.2 de la entrada sobre lógica intuicionista. Friedman (Friedman 1973) aplicó una posibilidad de realización similar a Kreisel y Troelstra a sistemas de aritmética de orden superior. Myhill introdujo una variante de esta realización que se asemeja al corte de Kleene (Myhill 1973; Kleene 1962, 1963). Por lo tanto, demostró que una versión de IZF con reemplazo en lugar de colección (llamada IZF (_ {Rep})) tiene el DP, el NEP y el EP. Estos resultados se extendieron aún más en (Myhill 1975; Friedman y Scedrov 1983). Mientras que Friedman y Myhill dieron modelos de realización para teorías de conjuntos extensionales, Beeson desarrolló una noción de realización para teorías de conjuntos no extensionales. Luego estudió las propiedades metateóricas de las teorías del conjunto extensional a través de una interpretación en sus contrapartes no extensionales. Por lo tanto, demostró que IZF (con colección) tiene DP y NEP (Beeson 1985). Posteriormente, McCarty introdujo la posibilidad de realización de IZF directamente para la teoría de conjuntos extensional (McCarty 1984; 1986). La semántica de realizabilidad para variantes de CZF se ha considerado, por ejemplo, en (Crosilla y Rathjen 2001; Rathjen 2006a). La posibilidad de realización en el último artículo está inspirada en McCarty's y tiene la característica importante de que, como McCarty's para IZF, es una semántica autovalidante para CZF (es decir, esta noción de realización puede formalizarse en CZF y cada teorema de CZF es realizado demostrablemente en CZF). Rathjen ha hecho uso de esta noción de realización para mostrar que CZF (y varias extensiones de la misma) tienen el DP y el NEP (Rathjen 2005b).

Otro tipo de realización que ha demostrado ser muy útil es la realización de Lifschitz. Lifschitz (1979) introdujo una modificación de la realización de Kleene para la aritmética de Heyting que tiene la peculiaridad de validar una forma débil de la Tesis de la Iglesia (CT) con una condición de unicidad, pero no la CT en sí. Van Oosten (1990) extendió la capacidad de realización de Lifschitz a la aritmética de segundo orden. Posteriormente, Cheng y Rathjen lo extendieron a IZF completo, que lo empleó para obtener una serie de resultados de independencia, así como para validar el llamado Principio Menor Limitado de Omnisciencia (LLPO) (para LLPO ver la entrada sobre matemáticas constructivas).

La cuestión de qué teorías de conjuntos satisfacen la propiedad de la existencia resultó ser particularmente difícil de resolver. (Friedman y Scedrov 1985) usaron modelos Kripke para mostrar que IZF (es decir, el sistema con colección) no tiene el EP, mientras que, como se mencionó anteriormente, el sistema IZF (_ {Rep}) (que tiene reemplazo en su lugar) de colección) tiene el EP. Esto llevó a Beeson a plantear la pregunta [Beeson 1985, IX]:

¿Alguna teoría de conjunto razonable con colección tiene la propiedad de existencia?

Una primera respuesta a la pregunta de Beeson vino con (Rathjen 2012), donde el autor introdujo la noción de propiedad de existencia débil: el enfoque aquí es encontrar un conjunto de testigos demostrable para cada teorema existencial. Luego introdujo una forma de realizabilidad basada en funciones recursivas de conjunto general, donde un realizador de una declaración existencial proporciona un conjunto de testigos para el cuantificador existencial, en lugar de un solo testigo. Rathjen combinó esta noción de realizabilidad con verdad para lograr que varias teorías con colección disfruten de la propiedad de existencia débil (mientras que IZF no). Entre ellos, en particular, la teoría CZF sin colección de subconjuntos más el axioma de exponenciación de Myhill, CZF (_ {Exp}). De hecho, Rathjen afirmó que al combinar estos resultados con el trabajo adicional que había llevado a cabo,él podría demostrar que CZF (_ {Exp}) (y varias otras teorías) tienen la propiedad de existencia. Una observación sorprendente es que estas teorías están formuladas con colección; en consecuencia, el fallo de la propiedad de existencia en el caso de IZF no puede atribuirse solo a la recopilación, sino a la interacción entre este esquema y la separación sin restricciones.

En cuanto a la cuestión destacada de si CZF tiene la propiedad de existencia, Swan (2014) resolvió esto negativamente. Allí, el autor hizo uso de tres modelos de realización e incrustaciones bien diseñados entre ellos, para mostrar que incluso la propiedad de existencia débil falla para CZF. Al hacerlo, también demostró que el esquema de colección de subconjuntos de CZF es el culpable. Como se destaca claramente en (Swan 2014), el hecho de que CZF no tenga EP no indica cierta debilidad en CZF como teoría constructiva. Incluso si Swan demostró esencialmente que CZF afirma la existencia de objetos matemáticos que no sabe cómo construir, todavía CZF tiene interpretaciones naturales en las que estos objetos pueden construirse, como, por ejemplo, la interpretación de Aczel en la teoría de tipos (Aczel 1978).

Para una encuesta de resultados en teoría de conjuntos intuicionista, ver (Beeson 1985, Capítulo IX). Para los desarrollos correspondientes en CZF, ver (Rathjen 2005b, 2006, 2012) y (Swan 2014).

5.3.3 Modelos de Kripke y semántica valorada por Heyting

Se han utilizado modelos de Kripke para teorías de conjuntos intuicionistas en (Friedman y Scedrov 1985) para mostrar que IZF no tiene el EP (y combinando esto con los resultados en (Myhill 1973) tenemos que IZF (_ {Rep}) sí no probar IZF). Los modelos de Kripke se han aplicado más recientemente para aclarar la relación entre los sustitutos constructivos del axioma del conjunto de potencia: el axioma de exponenciación de Myhill y el esquema de colección de subconjuntos de Aczel. Está claro que el axioma del conjunto de potencia implica ambos principios, y que la colección de subconjuntos implica exponenciación. Por otro lado, cada uno de los dos últimos principios no implica un conjunto de poder, ya que la teoría CZF con el poder establecido en lugar de la colección de subconjuntos es mucho más fuerte que CZF y CZF (_ {Exp}) (Rathjen 2012b). De hecho, CZF y CZF (_ {Exp}) tienen la misma fuerza teórica de prueba (Griffor y Rathjen 1994);por lo tanto, para investigar la relación entre la colección de subconjuntos y la exponenciación en la teoría de conjuntos constructiva, se necesita desarrollar herramientas que no sean métodos teóricos de prueba. Lubarsky (2005) utilizó los modelos de Kripke para mostrar que el axioma de exponenciación de Myhill no implica la colección de subconjuntos de Aczel (sobre la base de CZF menos la colección de subconjuntos más la separación completa). En (Lubarsky y Rathjen 2007) los autores aplicaron la técnica de los modelos de Kripke para mostrar que también las consecuencias de las teorías CZF y CZF (_ {Exp}) son diferentes. Aczel y Rathjen (2001) habían demostrado que la clase de números reales de Dedekind forma un conjunto en CZF, mediante el uso de la colección de subconjuntos. Lubarsky y Rathjen (2007) mostraron que CZF (_ {Exp}) no es suficiente para probar la misma afirmación. Para aplicaciones adicionales de los modelos de Kripke para separar nociones constructivas cruciales, ver p. Ej.(Diener y Lubarsky 2013).

Grayson (Grayson 1979) obtuvo la semántica valorada por Heyting para las teorías de conjuntos intuicionistas como contrapartida de los modelos booleanos para la teoría de conjuntos clásica. Se han generalizado especialmente a través de la semántica categórica (para una introducción, ver MacLane y Moerdijk 1992). La semántica valorada por Heyting ha encontrado aplicación en los resultados de independencia en (Scedrov 1981; 1982). Se ha dado un tratamiento constructivo en (Gambino 2006). Ver también (Lubarsky 2009). Ver también Ziegler (2012) para una generalización de los modelos de realización y Heyting para la teoría de conjuntos constructiva.

5.3.4 Modelos categóricos de la teoría de conjuntos constructiva e intuicionista

Los modelos categóricos de teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas han florecido a lo largo de los años. Las nociones de topos y gavilla juegan un papel esencial aquí (ver, por ejemplo, Fourman 1980 y Fourman y Scott 1980). Para obtener una descripción general de los conceptos principales, consulte la entrada sobre teoría de categorías y las referencias proporcionadas allí (consulte en particular la Guía de lectura programática complementaria). Para desarrollos recientes que se relacionan más específicamente con las teorías de conjuntos constructivos, ver por ejemplo (Simpson 2005) y (Awodey 2008), así como la página web: teoría de conjuntos algebraicos.

5.4 Variantes de las teorías de conjuntos constructivos e intuicionistas: teorías de conjuntos con elementos y teorías de conjuntos no extensionales

A veces, los sistemas de teoría de conjuntos intuitiva y constructiva se han presentado con los números naturales como un tipo separado de urelementos, es decir, objetos primitivos sin elementos (Friedman 1977; Myhill 1975; Beeson 1985). Constructivamente, esta es una opción natural que está de acuerdo con las ideas expresadas, por ejemplo, por Bishop (1967) (entre otras). En la monografía de Bishop, los números naturales se toman como un concepto fundamental en el que se basan todos los demás conceptos matemáticos. Desde un punto de vista técnico, si los números naturales se toman como primitivos y distintos de sus representaciones teóricas de conjuntos, el axioma del infinito toma la forma: "hay un conjunto de números naturales (como urelementos)". Se ha considerado una forma más general de urelementos en teorías de conjuntos constructivos (Cantini y Crosilla 2008). Aquí se propone una variante de la teoría de conjuntos constructiva que combina una noción de operación intensiva y parcial con la noción extensional de conjunto de CZF (ver también Cantini y Crosilla 2010).

El axioma de la extensionalidad es una característica común de todos los sistemas discutidos hasta ahora. Sin embargo, en un contexto en el que el contenido computacional de una declaración se considera crucial, una teoría intensional podría ser más apropiada. Por ejemplo, la teoría de tipos constructivos y las matemáticas explícitas encapsulan alguna forma de intensionalidad. Las teorías intuitivas de conjuntos sin extensionalidad se han considerado en la literatura (Friedman 1973a, Beeson 1985). Sin embargo, su motivación no ha sido computacional sino de naturaleza técnica, debido a las dificultades que la extensionalidad provoca al estudiar las propiedades metamatemáticas de las teorías de conjuntos intuicionistas.

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Otros recursos de internet

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  • Teoría del conjunto algebraico, por S. Awodey (Carnegie Mellon).

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