La Notación En Principia Mathematica

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La notación en Principia Mathematica

Publicado por primera vez el jueves 19 de agosto de 2004; revisión sustantiva dom 17 jul 2016

Principia Mathematica [PM] por AN Whitehead y Bertrand Russell, publicado en 1910–1913 en tres volúmenes por Cambridge University Press, contiene una derivación de grandes porciones de matemáticas usando nociones y principios de lógica simbólica. La notación en ese trabajo ha sido reemplazada por el posterior desarrollo de la lógica durante el siglo XX.siglo, en la medida en que el principiante tiene problemas para leer PM en absoluto. Este artículo proporciona una introducción al simbolismo de PM, mostrando cómo ese simbolismo puede traducirse en una notación más contemporánea que debería ser familiar para cualquiera que haya tenido un primer curso en lógica simbólica. Esta traducción se ofrece como una ayuda para aprender la notación original, que en sí misma es un tema de disputa académica, y encarna doctrinas lógicas sustantivas para que no pueda ser simplemente reemplazada por el simbolismo contemporáneo. Aprender la notación, entonces, es un primer paso para aprender las doctrinas lógicas distintivas de Principia Mathematica.

  • 1. ¿Por qué aprender el simbolismo en Principia Mathematica?
  • 2. Símbolos primitivos
  • 3. El uso de puntos para la puntuación

    • 3.1 Algunos ejemplos básicos
    • 3.2 La fuerza de los conectivos
    • 3.3 Más ejemplos
  • 4. Funciones proposicionales
  • 5. La notación faltante para tipos y órdenes

    • 5.1 Tipos simples
    • 5.2 Tipos ramificados
  • 6. Variables
  • 7. Funciones predictivas e identidad
  • 8. Descripciones definitivas
  • 9. Clases
  • 10. Prolegómenos a la aritmética cardinal
  • Bibliografía
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. ¿Por qué aprender el simbolismo en Principia Mathematica?

Principia Mathematica [PM] fue escrito conjuntamente por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell durante varios años, y publicado en tres volúmenes, que aparecieron entre 1910 y 1913. Presenta un sistema de lógica simbólica y luego recurre a los fundamentos de las matemáticas para llevar a cabo El proyecto lógico de definir las nociones matemáticas en términos de nociones lógicas y probar los axiomas fundamentales de las matemáticas como teoremas de la lógica. Si bien es muy importante en el desarrollo de la lógica, la filosofía de las matemáticas y, más ampliamente, de la "filosofía analítica temprana", el trabajo en sí ya no se estudia para estos temas. Como resultado, la propia notación del trabajo se ha vuelto extraña para los estudiantes contemporáneos de lógica, y eso se ha convertido en una barrera para el estudio de Principia Mathematica.

Esta entrada está destinada a ayudar al estudiante de PM a leer la parte simbólica del trabajo. Lo que sigue es una traducción parcial del simbolismo a una notación más contemporánea, que debería ser familiar a partir de otros artículos en esta Enciclopedia, y que es bastante estándar en los libros de texto contemporáneos de lógica simbólica. No se proporciona un algoritmo completo, sino que varias sugerencias están destinadas a ayudar al lector a aprender el simbolismo de PM. Muchos temas de interpretación se prejuzgarían solo usando la notación contemporánea, y muchos detalles que son exclusivos de PM dependen de esa notación. Se verá a continuación, con algunos de los aspectos más polémicos de la notación, que las doctrinas de la sustancia están incorporadas en la notación de PM. Reemplazar la notación con un simbolismo más moderno alteraría drásticamente el contenido mismo del libro.

2. Símbolos primitivos

A continuación, el lector encontrará, en el orden en que se introducen en PM, los siguientes símbolos, que se describen brevemente. Se proporcionan más detalles en lo que sigue:

pronunciado "estrella"; indica un número o capítulo, como en ∗ 1 o ∗ 20.
· un punto centrado (un antiguo punto decimal británico); indica una oración numerada en el orden por primer dígito (todos los 0 que preceden a todos los 1, etc.), luego el segundo dígito, y así sucesivamente. Las primeras definiciones y proposiciones de ∗ 1 ilustran este orden "lexicográfico": 1 · 01, 1 · 1, 1 · 11, 1 · 2, 1 · 3, 1 · 4, 1 · 5, 1 · 6, 1 · 7, 1 · 71, 1 · 72.
(vdash) el signo de aserción; indica una aserción, ya sea un axioma (es decir, una proposición primitiva, que también se anota "(Pp)") o un teorema.
(Df) el signo de definición; sigue una definición.
(.), (:), (:.), (::), etc. son puntos utilizados para delimitar la puntuación; en la lógica contemporánea, usamos (), , ({ }), etc.
(p, q, r), etc. son variables proposicionales
(lor), (supset), (osim), (equiv), (sdot) son los conectivos sentenciales familiares, correspondientes a "o", "si-entonces", "no", "si y solo si" y "y", respectivamente. [En la segunda edición de PM, 1925–27, el Sheffer Stroke "(mid)" es el único conectivo primitivo. Significa "no ambos … y _".]
(x, y, z), etc. son variables individuales, que deben leerse con "ambigüedad típica", es decir, con sus tipos lógicos que deben completarse (ver más abajo).
(a, b, c), etc. son constantes individuales y representan individuos (del tipo más bajo). Esto ocurre solo en la Introducción a PM, y no en el sistema oficial.
(xRy, aRb, R (x)), etc. son predicaciones atómicas, en las cuales los objetos nombrados por las variables o constantes están en la relación (R) o tienen la propiedad (R). Esto ocurre solo en la Introducción. “(A)” y “(b)” aparecen como constantes solo en la segunda edición. Las predicaciones (R (x), R (x, y)), etc., se usan solo en la segunda edición.
(phi), (psi), (chi), etc., y (f, g), etc. son variables que se extienden sobre funciones proposicionales, sin importar si esas funciones son simples o complejas.
(phi x), (psi x), (phi (x, y)), etc. abrir fórmulas atómicas en las que tanto "(x)" como "(phi)" son gratuitos. [Una interpretación alternativa es ver "(phi x)" como una letra esquemática que representa una fórmula en la que la variable "(x)" es libre.]
(hat { phantom {x}}) el circunflejo cuando se coloca sobre una variable en una fórmula abierta (como en "(phi / hat {x})") da como resultado un término para una función. [Este asunto es controvertido. Ver Landini 1998.] Cuando la variable circunflectada precede a una variable compleja, el resultado indica una clase, como en (hat {x} phi x).
(phi / hat {x}, / psi / hat {x}, / phi (hat {x}, / hat {z}),) etc. Términos para funciones proposicionales. Aquí hay ejemplos de tales términos que son constantes: "(hat {x}) está contento", "(hat {x}) está calvo y (hat {x}) está contento", “(4 / lt / hat {x} lt 6)”, etc. Si aplicamos, por ejemplo, la función “(hat {x}) es calva y (hat {x}) es feliz "para el individuo particular (b), el resultado es la proposición" (b) es calvo y (b) es feliz ".
(exist) y ()

son los cuantificadores "existe" y "para todos" ("todos"), respectivamente. Por ejemplo, donde (phi x) es una fórmula abierta simple o compleja,

((exist x) phi x) afirma "Existe un (x) tal que (phi x)"
((exist / phi) phi x) afirma "Existe una función proposicional (phi) tal que (phi x)"
((x) phi x) afirma "Cada (x) es tal que (phi x)"
((phi) phi x) afirma "Cada función proposicional (phi) es tal que (phi x)"

[Estos fueron utilizados por Peano. Más recientemente, (forall) se ha agregado por simetría con (exist). Algunos estudiosos ven los cuantificadores ((phi)) y ((exist / phi)) como sustitutos.]

(phi x / supset_x / psi x)

(phi x / equiv_x / psi x)

Esta es una notación que se usa para abreviar variables cuantificadas universalmente. En notación moderna, estos se convierten en (forall x (phi x / supset / psi x)) y (forall x (phi x / equiv / psi x)), respectivamente. Consulte las definiciones de esta notación al final de la Sección 3.2 a continuación.
(explosión) pronunciado "chillido"; indica que una función es predicativa, como en (phi / bang x) o (phi / bang / hat {x}). Ver la Sección 7.
= el símbolo de identidad expresa identidad, que es una noción definida en PM, no primitiva como en la lógica contemporánea.
(atoi) leer como "el"; es el operador de iota o descripción invertida y se usa en expresiones para descripciones definidas, como ((atoi x) phi x) (que se lee: el (x) tal que (phi x))
) ((atoi x) phi x)] una descripción definitiva entre paréntesis; Este es un indicador de alcance para descripciones definidas.
(E / explosión) se define en ∗ 14 · 02, en el contexto (E / bang (atoi x) phi x), para significar que la descripción ((atoi x) phi x) es correcta, es decir, hay es exactamente uno (phi).
(exist / bang) se define en ∗ 24 · 03, en el contexto (exist / bang / alpha), para significar que la clase (alpha) no está vacía, es decir, tiene un miembro.

3. El uso de puntos para la puntuación

Un obstáculo inmediato para leer PM es el uso desconocido de puntos para la puntuación, en lugar de los paréntesis y corchetes más comunes. El sistema es preciso y se puede aprender con solo un poco de práctica. El uso de puntos para la puntuación no es exclusivo de PM. Originario de Peano, más tarde fue utilizado en obras de Alonzo Church, WVO Quine y otros, pero ahora ha desaparecido en gran medida. (El uso de puntos de cierto interés histórico, ya que Alan Turing hizo un estudio del uso de puntos desde un punto de vista computacional en 1942, presumiblemente en su tiempo libre después de un día de trabajo en Bletchley Park descifrando los códigos de la Máquina Enigma.) La mejor manera de aprender a usarlo es mirar algunas muestras que se traducen a fórmulas usando paréntesis, y así tener una idea. Lo que sigue es una explicación presentada en PM, páginas 9–10,seguido de una serie de ejemplos que ilustran cada una de sus cláusulas:

El uso de puntos. Los puntos en la línea de los símbolos tienen dos usos, uno para separar las proposiciones y el otro para indicar el producto lógico de dos proposiciones. Los puntos inmediatamente precedidos o seguidos por “(lor)” o “(supset)” o “(equiv)” o “(vdash)”, o por “((x))”,“((X, y))”,“((x, y, z))”… o“((exist x))”,“((exist x, y))”,“((exist x, y, z))”… o“([(atoi x) (phi x)])”o“([R'y])”O expresiones análogas, sirven para delimitar una propuesta; los puntos que aparecen sirven para marcar un producto lógico. El principio general es que un número mayor de puntos indica un corchete externo, un número menor indica un corchete interno. La regla exacta en cuanto al alcance del parche indicado por puntos se llega dividiendo las apariciones de puntos en tres grupos que denominaremos I, II y III. El grupo I consiste en puntos contiguos a un signo de implicación ((supset)) o equivalencia ((equiv)) o de disyunción (lor)) o de igualdad por definición ((= / Df)). El grupo II consiste en puntos que siguen a los corchetes indicativos de una variable aparente, como ((x)) o ((x, y)) o ((exist x)) o ((exist x, y)) o ([(atoi x) (phi x)]) o expresiones análogas. El Grupo III consiste en puntos que se interponen entre proposiciones para indicar un producto lógico. El grupo I tiene mayor fuerza que el grupo II, y el grupo II que el grupo III. El alcance del paréntesis indicado por cualquier colección de puntos se extiende hacia atrás o hacia adelante más allá de cualquier número menor de puntos, o cualquier número igual de un grupo de menos fuerza,hasta que lleguemos al final de la proposición afirmada o a un mayor número de puntos o un número igual que pertenezca a un grupo de fuerza igual o superior. Los puntos que indican un producto lógico tienen un alcance que funciona tanto hacia atrás como hacia adelante; otros puntos solo funcionan lejos del signo adyacente de disyunción, implicación o equivalencia, o hacia adelante desde el símbolo adyacente de uno de los otros tipos enumerados en el Grupo II. Algunos ejemplos servirán para ilustrar el uso de puntos. (PM, 9-10)

3.1 Algunos ejemplos básicos

Considere la siguiente serie de ejemplos extendidos, en los que examinamos las proposiciones en PM y luego discutimos cómo traducirlas paso a paso a la notación moderna. (Los siguientes símbolos a veces se usan como nombres para sí mismos, evitando así algunas comillas que de otro modo serían necesarias. Russell a menudo es acusado de uso y mención confusos, por lo que puede haber algún peligro en esta práctica).

Ejemplo 1

) tag * {∗ 1 · 2} { vdash} colon p / lor p / ldot { supset} ldot p / quad / Pp)

Esta es la segunda afirmación de "estrella" 1. De hecho, es un axioma o "Proposición primitiva" como lo indica el '(Pp)'. Que esto es una aserción (axioma o teorema) y no una definición se indica mediante el uso de "(vdash)". (Por el contrario, una definición omitiría el signo de aserción pero concluiría con un signo "(Df)".) Ahora, el primer paso en el proceso de traducir ∗ 1 · 2 a la notación moderna es notar el colon. Recuerde, del pasaje citado anteriormente, que "un número mayor de puntos indica un corchete externo, un número menor indica un corchete interno". Por lo tanto, los dos puntos aquí (que consisten en un mayor número de puntos que los puntos individuales que aparecen en la línea en ∗ 1 · 2) representan un corchete externo. Entonces, el primer paso es traducir ∗ 1 · 2 a:

) vdash [p / lor p / ldot { supset} ldot p])

Por lo tanto, los corchetes "[" y "]" representan los dos puntos en ∗ 1 · 2. El alcance del colon se extiende más allá de cualquier número menor de puntos (es decir, un punto) hasta el final de la fórmula. Como las fórmulas se leen de izquierda a derecha, la expresión "pasado" significa "a la derecha de".

A continuación, los puntos alrededor del "(supset)" se representan en notación moderna por el paréntesis alrededor del antecedente y el consecuente. Recuerde, en el pasaje anterior, encontramos que "… los puntos solo funcionan lejos del signo adyacente de disyunción, implicación o equivalencia …". Por lo tanto, el siguiente paso en el proceso de traducción es pasar a la fórmula:) vdash [(p / lor p) supset (p)])

Finalmente, las convenciones modernas estándar nos permiten eliminar los corchetes externos y los paréntesis alrededor de letras individuales, produciendo:

) vdash (p / lor p) supset p)

Nuestro siguiente ejemplo implica conjunción, que se indica mediante la yuxtaposición simple de oraciones atómicas, o con un punto cuando se puede considerar una instancia de sustitución, como en la definición de conjunción en lo siguiente:

Ejemplo 2

) tag * {∗ 3 · 01} p / sdot q / ldot {=} ldot / osim (osim p / lor / osim q) quad / Df)

Aquí tenemos un caso en el que se producen puntos que indican tanto un "producto lógico" (es decir, conjunción) como delimitación de corchetes. Como primer paso en la traducción de ∗ 3 · 01 a la notación moderna, reemplazamos el primer punto por un ampersand (y sus correspondientes delimitadores de alcance) y reemplazamos “(ldot {=} ldot)” por “(= _ {df}) ", para obtener:

[(p / amp q) = _ {df}) osim (osim p / lor / osim q)])

El paso anterior ilustra claramente cómo un "punto que indica un producto lógico tiene un alcance que funciona tanto hacia atrás como hacia adelante". Tenga en cuenta que el primer punto en ∗ 3 · 01, es decir, entre (p) y (q), es realmente opcional, dada la cita anterior de PM. Sin embargo, dado que a veces podemos querer sustituir fórmulas enteras por (p) y (q), el punto indica el alcance de las fórmulas sustituidas. Por lo tanto, podríamos tener, como una instancia de sustitución: (r / lor s / sdot q / supset s) (en notación PM) o ((r / lor s) amp (q / supset s)) (en símbolos contemporáneos).

Finalmente, nuestras convenciones modernas nos permiten eliminar los paréntesis externos del definiendum y los corchetes "[" y "]" de los definiens, produciendo:

[p / amp q = _ {df} osim (osim p / lor / osim q))

Observe que el alcance del signo de negación “(osim)” en ∗ 3 · 01 no se indica con puntos, incluso en el sistema de MP, sino que requiere paréntesis.

Ejemplo 3

) tag * {∗ 9 · 01} osim {(x) sdot / phi x } ldot {=} ldot (exist x) sdot / osim / phi x / quad / Df)

Si aplicamos la regla "los puntos solo funcionan lejos del signo adyacente de disyunción, implicación o equivalencia, o hacia adelante desde el símbolo adyacente de uno de los otros tipos enumerados en el Grupo II" (donde el Grupo II incluye "((existe x))”), entonces el equivalente moderno sería:) osim (x) phi x = _ {df} (exist x) osim / phi x) o) osim / forall x / phi x = _ {df} existe x / osim / phi x)

3.2 La fuerza de los conectivos

La clasificación de los conectivos en términos de "fuerza" relativa, o alcance, es una convención estándar en la lógica contemporánea. Si no hay paréntesis explícitos para indicar el alcance de un conectivo, se presume que los que tienen prioridad en la clasificación son el conectivo principal, y así sucesivamente para las subformulas. Por lo tanto, en lugar de formular la siguiente ley de DeMorgan como engorrosa:

[(osim p) lor (osim q)] equiv) osim (p / amp q)])

hoy en día lo escribimos como:

) osim p / lor / osim q / equiv / osim (p / amp q))

Esta formulación más simple es natural porque (equiv) tiene prioridad sobre (tiene un "alcance" más amplio que) (lor) y &, y este último tiene prioridad sobre (osim). De hecho, los paréntesis a menudo son innecesarios alrededor de (equiv), dada una convención adicional en la que (equiv) tiene prioridad sobre (supset). Por lo tanto, la fórmula (p / supset q / equiv / osim p / lor q) deja de ser ambigua. Podríamos representar estas convenciones enumerando los conectivos en grupos con los de mayor alcance en la parte superior:

) begin {array} {c} equiv \\ / supset \\ / amp, / lor \\ / osim / end {array})

Sin embargo, para Whitehead y Russell, los símbolos (supset), (equiv), (lor) y (ldots = / ldots / Df), en el Grupo I, tienen la misma fuerza. El grupo II consiste en expresiones de enlace variable, cuantificadores e indicadores de alcance para descripciones definidas, y el grupo III consiste en conjunciones. La negación está debajo de todo esto. Entonces la clasificación en PM sería:

) begin {array} {c} supset, / equiv, / lor / text {and} ldots = / ldots / quad / Df \(x), (x, y) ldots (exist x), (exist x, y) ldots [(atoi x) phi x] / p / sdot q / quad / text {(conjunción)} / \ osim / end {array})

Esto es lo que Whitehead y Russell parecen decir cuando dicen "El grupo I tiene más fuerza que el Grupo II y el Grupo II que el Grupo III". Considera lo siguiente:

Ejemplo 4

) tag * {∗ 3 · 12} { vdash} colon / osim p / ldot { lor} ldot / osim q / ldot { lor} ldot p / sdot q)

Este teorema ilustra cómo leer múltiples usos del mismo número de puntos dentro de una fórmula. La agrupación "se asocia a la izquierda" tanto para puntos como para una serie de disyunciones, siguiendo la convención de lectura de izquierda a derecha y la definición:

) tag * {∗ 2 · 33} p / vee q / vee r / ldot {=} ldot (p / vee q) vee r / quad / Df)

Entonces, en ∗ 3 · 12, los primeros dos puntos alrededor del (lor) simplemente "funcionan" lejos del conectivo. El segundo "se extiende" hasta que se encuentra con el siguiente del mismo número (el tercer punto único). Ese tercer punto, y el cuarto "trabajar" desde el segundo (lor), y el punto final indica una conjunción con un alcance más estrecho. El resultado, formulado con todos los signos de puntuación posibles para una máxima explicidad, es:

) {[(osim p) lor (osim q)] lor (p / amp q) })

Si empleamos todas las convenciones estándar para colocar paréntesis, esto se convierte en:

[(osim p / lor / osim q) lor (p / amp q))

Esto ilustra el pasaje en la cita anterior que dice "El alcance del parche indicado por cualquier colección de puntos se extiende hacia atrás o hacia adelante más allá de cualquier número menor de puntos, o cualquier número igual de un grupo de menos fuerza, hasta que lleguemos al final de la proposición afirmada o un mayor número de puntos o un número igual perteneciente a un grupo de fuerza igual o superior ".

Antes de ver una gama más amplia de ejemplos, un ejemplo detallado que involucra variables cuantificadas resultará instructivo. Whitehead y Russell siguen la práctica de Peano de expresar condicionales cuantificados universalmente (como "Todos (phi) s son (psi) s") con la variable enlazada subcriptada bajo el signo condicional. De manera similar con bicondicionales universalmente cuantificados ("Todos y solo (phi) s son (psi) s"). Es decir, las expresiones "(phi x / supset_x / psi x)" y "(phi x / equiv_x / psi x)" se definen de la siguiente manera:

) tag * {∗ 10 · 02} phi x / supset_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / supset / psi x / quad / Df)) tag * {∗ 10 · 03} phi x / equiv_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / equiv / psi x / quad / Df)

y corresponden a las siguientes fórmulas más modernas, respectivamente:

) forall x (phi x / supset / psi x))) forall x (phi x / equiv / psi x))

Como ejercicio, el lector podría estar inclinado a formular un algoritmo riguroso para convertir PM en un simbolismo contemporáneo particular (con convenciones para colocar paréntesis), pero la mejor manera de aprender el sistema es mirar algunos ejemplos más de traducciones, y luego simplemente comience a leer fórmulas directamente.

3.3 Más ejemplos

En los ejemplos a continuación, a cada número de fórmula le sigue primero la notación Principia y luego su traducción moderna. Observe que en ∗ 1 · 5 se utilizan paréntesis para la puntuación además de los puntos. (Las proposiciones primitivas ∗ 1 · 2, ∗ 1 · 3, ∗ 1 · 4, ∗ 1 · 5 y ∗ 1 · 6 juntas constituyen los axiomas para la lógica proposicional en PM.) La proposición ∗ 1 · 5 se mostró redundante por Paul Bernays en 1926. Puede derivarse de instancias apropiadas de los demás y la regla de modus ponens.

∗ 1 · 3

({ vdash} colon q / ldot { supset} ldot p / lor q / quad / Pp)

(q / supset p / lor q)

∗ 1 · 4

({ vdash} colon p / lor q / ldot { supset} ldot q / lor p / quad / Pp)

(p / lor q / supset q / lor p)

∗ 1 · 5

({ vdash} colon p / lor (q / lor r) ldot { supset} ldot q / lor (p / lor r) quad / Pp)

(p / lor (q / lor r) supset q / lor (p / lor r))

∗ 1 · 6

({ vdash} colondot q / supset r / ldot { supset} colon p / lor q / ldot { supset} ldot p / lor r / quad / Pp)

((q / supset r) supset (p / lor q / supset p / lor r))

∗ 2 · 03

({ vdash} colon p / supset / osim q / ldot { supset} ldot q / supset / osim p)

((p / supset / osim q) supset (q / supset / osim p))

∗ 3 · 3

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot r / colon { supset} colon p / ldot { supset} ldot q / supset r)

([(p / amp q) supset r] supset [p / supset (q / supset r)])

∗ 4 · 15

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot / osim r / colon { equiv} colon q / sdot r / ldot { supset} ldot / osim p)

(p / amp q / supset / osim r / equiv q / amp r / supset / osim p)

∗ 5 · 71

({ vdash} colondot q / supset / osim r / ldot { supset} colon p / lor q / sdot r / ldot { equiv} ldot p / sdot r)

((q / supset / osim r) supset [(p / lor q) amp r / equiv p / amp r])

∗ 9 · 04

(p / ldot { lor} ldot (x) ldot / phi x / colon {=} ldot (x) ldot / phi x / lor p / quad / Df)

(p / lor / forall x / phi x = _ {df} forall x (phi x / lor p))

∗ 9 · 521 ({ vdash} colons (exist x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot q / colon { supset} colondot (exist x) ldot / phi x / ldot { lor } ldot r / colon { supset} ldot q / lor r)) ((exist x / phi x) supset q] supset [((exist x / phi x) lor r) supset (q / lor r))]
∗ 10 · 55

({ vdash} colondot (exist x) ldot / phi x / sdot / psi x / colon / phi x / supset_x / psi x / colon { equiv} colon (exist x) ldot / phi x / colon / phi x / supset_x / psi x)

(exist x (phi x / amp / psi x) amp / forall x (phi x / supset / psi x) equiv / exist x / phi x / amp / forall x (phi x / supset / psi x))

4. Funciones proposicionales

Hay dos tipos de funciones en PM. Las funciones proposicionales como "(hat {x}) es un número natural" deben distinguirse de las funciones matemáticas más familiares, que se denominan "funciones descriptivas" (PM, 31). Las funciones descriptivas se definen utilizando relaciones y descripciones definidas. Ejemplos de funciones descriptivas son (x + y) y “el sucesor de (n)”.

Centrándose en las funciones proposicionales, Whitehead y Russell distinguen entre expresiones con una variable libre (como "(x) está dañado") y nombres de funciones (como "(hat {x}) está dañado") (PM, 14-15). Se dice que las proposiciones que resultan de la fórmula al asignar valores permitidos a la variable libre "x" son los "valores ambiguos" de la función. Las expresiones que usan la notación circunfleja, como (phi / hat {x}) solo aparecen en el material introductorio en las secciones técnicas de PM y no en las secciones técnicas en sí (con la excepción de las secciones sobre teoría de clases).), lo que llevó a algunos académicos a decir que tales expresiones no ocurren realmente en el sistema formal de PM. Este problema es distinto del que rodea la interpretación de tales símbolos.¿Son "operadores formadores de términos" que convierten una fórmula abierta en un nombre para una función, o simplemente un dispositivo sintáctico, un marcador de posición, para indicar la variable por la cual se puede realizar una sustitución en una fórmula abierta? Si se tratan como operadores formadores de términos, la notación moderna para (phi / hat {x}) sería "(lambda x / phi x)". La notación (lambda) tiene la ventaja de revelar claramente que la variable (x) está limitada por el operador formador de términos (lambda), que toma un predicado (phi) y produce un término (lambda x / phi x) (que en algunas lógicas es un término singular que puede aparecer en la posición de sujeto de una oración, mientras que en otras lógicas es una expresión predicativa compleja). A diferencia de la notación (lambda), la notación PM que usa el circunflejo no puede indicar el alcance. La expresión de función "(phi (hat {x},\ hat {z})) "es ambiguo entre" (lambda x / lambda y / phi xy) "y" (lambda y / lambda x / phi xy) ", sin ninguna otra convención. De hecho, Whitehead y Russell especificaron esta convención para las relaciones en extensión (en la p. 200 en el material introductorio de ∗ 21, en términos del orden de las variables), pero la ambigüedad se hizo más evidente al usar (lambda) notación: el primero denota la relación de ser un (x) y (y) de modo que (phi xy) y el segundo denota la relación inversa de ser a (y) y (x) tal que (phi xy).pero la ambigüedad se hizo más evidente al usar la notación (lambda): la primera denota la relación de ser (x) e (y) tal que (phi xy) y la segunda denota la relación inversa de ser a (y) y (x) tal que (phi xy).pero la ambigüedad se hizo más evidente al usar la notación (lambda): la primera denota la relación de ser (x) e (y) tal que (phi xy) y la segunda denota la relación inversa de ser a (y) y (x) tal que (phi xy).

5. La notación faltante para tipos y órdenes

Esta sección explica la notación que no está en Principia Mathematica. ¡Excepto por alguna notación para los tipos "relativos" en el Volumen II, no hay símbolos famosos para los tipos en Principia Mathematica! Por lo general, las oraciones deben tomarse como "típicamente ambiguas" y, por lo tanto, representan expresiones de una gama completa de tipos y, así como no hay constantes individuales o predicadas, no hay funciones particulares de ningún tipo específico. Entonces, no solo uno no ve cómo simbolizar el argumento:

Todos los hombres son mortales.

Sócrates es un hombre.

Por lo tanto, Sócrates es mortal.

pero tampoco hay indicación del tipo lógico de la función "(hat {x}) es mortal". El proyecto de PM es reducir las matemáticas a la lógica, y parte de la visión de la lógica detrás de este proyecto es que todas las verdades lógicas son completamente generales. La derivación de las verdades de las matemáticas a partir de definiciones y verdades de la lógica no implicará, por lo tanto, constantes particulares que no sean las introducidas por definición desde la noción puramente lógica. Como resultado, no se incluye ninguna notación en PM para describir esos tipos. Aquellos de nosotros que deseen considerar la PM como una lógica que se puede aplicar, debemos complementarla con alguna indicación de tipos.

Los lectores deben tener en cuenta que la explicación de los tipos descritos a continuación no se corresponderá con las declaraciones sobre los tipos en el texto de PM. Alonzo Church [1976] desarrolló una reconstrucción simple y racional de la notación tanto para la teoría de tipos simple como ramificada como lo implica el texto de PM. (Existen notaciones alternativas equivalentes para la teoría de los tipos). La teoría completa puede verse como un desarrollo de la teoría simple de los tipos.

5.1 Tipos simples

Se puede dar una definición de los tipos simples de la siguiente manera:

  • (iota) (iota griega) es el tipo para un individuo.
  • Donde (tau_1, / ldots, / tau_n) son cualquier tipo, entonces (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_n) urcorner) es el tipo de una función proposicional cuyos argumentos son de tipos (tau_1, / ldots, / tau_n), respectivamente.
  • (ulcorner) () (urcorner) es el tipo de proposiciones.

Aquí hay algunas formas intuitivas de entender la definición de tipo. Suponga que "Sócrates" nombra a un individuo. (Estamos ignorando la opinión considerada de Russell de que tales individuos comunes son, de hecho, clases de clases de datos sensoriales, y por lo tanto de un tipo mucho más alto). Entonces la constante individual "Sócrates" sería de tipo (iota). Una función proposicional monádica que toma a los individuos como argumentos es de tipo ((iota)). Supongamos que "es mortal" es un predicado que expresa dicha función. La función "(hat {x}) es mortal" también será de tipo ((iota)). Una relación binaria o de dos lugares entre individuos es de tipo ((iota, / iota)). Por lo tanto, una expresión de relación como "padre de" y la función "(hat {x}) es padre de (hat {z})" será de tipo ((iota, / iota)).

Las funciones proposicionales de tipo ((iota)) a menudo se denominan "primer orden"; de ahí el nombre de "lógica de primer orden" para la lógica familiar donde las variables solo varían sobre argumentos de funciones de primer orden. Una función monádica de los argumentos de tipo (tau) es de tipo ((tau)) y, por lo tanto, las funciones de tales funciones son de tipo (((tau))). La "lógica de segundo orden" tendrá variables para los argumentos de tales funciones (así como variables para individuos). Las relaciones binarias entre funciones de tipo (tau) son de tipo ((tau, / tau)), y así sucesivamente, para relaciones de tener más de 2 argumentos. Los tipos mixtos se definen por lo anterior. Una relación entre un individuo y una proposición (como “(hat {x}) cree que (hat {P})”) será de tipo ((iota), ()).

5.2 Tipos ramificados

Para construir una notación para la teoría ramificada completa de los tipos de MP, se debe codificar otra información en los símbolos. Church llama al sistema resultante uno de los tipos r. La idea clave de los tipos ramificados es que cualquier función definida utilizando la cuantificación sobre funciones de algún tipo dado debe ser de un "orden" más alto que esas funciones. Para usar el ejemplo de Russell:

(hat {x}) tiene todas las cualidades que tienen los grandes generales

es una función verdadera de las personas (es decir, los individuos), y desde el punto de vista de la teoría simple de los tipos, tiene el mismo tipo lógico simple que las cualidades particulares de los individuos (como la valentía y la decisión). Sin embargo, en la teoría del tipo ramificado, la función anterior será de un orden superior al de esas cualidades particulares de los individuos, ya que, a diferencia de esas cualidades particulares, implica una cuantificación sobre esas cualidades. Entonces, mientras que la expresión “(hat {x}) es valiente” denota una función de tipo r ((iota) / 1), la expresión “(hat {x}) tiene todo las cualidades que tienen los grandes generales”tendrán r-type ((iota) / 2). En estos tipos r, el número después de "/" indica el nivel de la función. El orden de las funciones se definirá y calculará según las siguientes definiciones.

Church define los tipos r de la siguiente manera:

  • (iota) (iota griega) es el tipo r para un individuo.
  • Donde (tau_1, / ldots, / tau_m) hay cualquier tipo r, (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_m) / n / urcorner) es un tipo r; este es el tipo r de a (m) - una función proposicional de nivel (n), que tiene argumentos de tipos r (tau_1, / ldots, / tau_m).

El orden de una entidad se define de la siguiente manera (aquí ya no seguimos a Church, porque él define órdenes para variables, es decir, expresiones, en lugar de órdenes para las cosas sobre las que se extienden las variables):

  • el orden de un individuo (de tipo r (iota)) es 0,
  • el orden de una función de tipo r ((tau_1, / ldots, / tau_m) / n) es (n + N), donde (N) es el mayor orden de los argumentos (tau_1, / ldots, / tau_m).

Estas dos definiciones se complementan con un principio que identifica los niveles de funciones definidas particulares, a saber, que el nivel de una función definida debe ser uno más alto que la entidad de orden superior que tiene un nombre o una variable que aparece en la definición de esa función.

Para ver cómo se pueden usar estas definiciones y principios para calcular el orden de la función "(hat {x}) tiene todas las cualidades que tienen los grandes generales", tenga en cuenta que la función se puede representar de la siguiente manera, donde "(x, y)”son variables que se extienden sobre individuos de tipo r (iota) (orden 0),“GreatGeneral ((y))”es un predicado que denota una función proposicional de tipo r ((iota) / 1) (y así de orden 1), y "(phi)" es una variable que abarca funciones propositivas de tipo r ((iota) / 1) (y así de orden 1) como gran general, valentía, liderazgo, habilidad, previsión, etc.

[(phi) {[(y) (textrm {GreatGeneral} (y) supset / phi (y)] supset / phi / hat {x} })

Primero notamos que dado el principio anterior, el tipo r de esta función es ((iota) / 2); el nivel es 2 porque el nivel del tipo r de esta función tiene que ser uno más alto que el orden más alto de cualquier entidad nombrada (o en el rango de una variable utilizada) en la definición. En este caso, la denotación de GreatGeneral, y el rango de la variable "(phi)", es de orden 1, y ningún otro nombre o rango de expresión sobre una entidad de orden superior. Por lo tanto, el nivel de la función nombrada anteriormente se define como 2. Finalmente, calculamos el orden de la función indicada anteriormente como se definió: la suma del nivel más el mayor de los órdenes de los argumentos de la función anterior. Como los únicos argumentos en la función anterior son individuos (de orden 0), el orden de nuestra función es solo 2.

La cuantificación de las funciones de tipo r ((tau) / n) de orden (k) en una definición de una nueva función produce una función de tipo r ((tau) / n + 1), y así una función de orden uno más alto, (k + 1). Dos tipos de funciones, entonces, pueden ser de segundo orden: (1) funciones de funciones de primer orden de individuos, de tipo r (((iota) / 1) / 1), y (2) funciones de tipo r ((iota) / 2), como nuestro ejemplo "(hat {x}) tiene todas las cualidades que tienen los grandes generales". Esta última será una función verdadera de individuos como Napoleón, pero de un orden superior al de funciones simples como "(hat {x}) es valiente", que son de tipo r ((iota) / 1).

Los lógicos de hoy usan una noción diferente de "orden". Hoy, la lógica de primer orden es una lógica con solo variables para individuos. La lógica de segundo orden es una lógica con variables para individuos y propiedades de individuos. La lógica de tercer orden es una lógica con variables para individuos, propiedades de individuos y propiedades de propiedades de individuos. Etcétera. Por el contrario, Church llamaría a estas lógicas, respectivamente, la lógica de funciones de los tipos ((iota) / 1) y ((iota, / ldots, / iota) / 1), la lógica de funciones de los tipos (((iota) / 1) / 1) y (((i i, / ldots, / iota) / 1, / ldots, (iota, / ldots, / iota) / 1) / 1), y la lógica de las funciones de los tipos ((((iota) / 1) / 1) / 1) etc. (es decir, las funciones de nivel uno de las funciones del tipo anterior). Dadas las definiciones de Church, estas son lógicas de funciones de primer, segundo y tercer orden,respectivamente, coincidiendo así con la terminología moderna de "(n)º lógica -order”.

6. Variables

Como se mencionó anteriormente, no hay constantes individuales o predicadas en el sistema formal de PM, solo variables. La Introducción, sin embargo, utiliza el ejemplo "(a) que se encuentra en la relación (R) a (b)" en una discusión de hechos atómicos (PM, 43). Aunque "(R)" se usa más tarde como una variable que se extiende sobre las relaciones en extensión, y "(a, b, c, / ldots)" son variables individuales, agreguémoslas temporalmente al sistema como predicado. y constantes individuales, respectivamente, para discutir el uso de variables en PM.

PM hace un uso especial de la distinción entre variables "reales" o libres y variables "aparentes" o ligadas. Como “(x)” es una variable, “(xRy)” será una fórmula atómica en nuestro lenguaje extendido, con variables reales “(x)” y “(y)”. Cuando tales fórmulas se combinan con las conectivas proposicionales (osim), (lor), etc., el resultado es una matriz. Por ejemplo, "(aRx / ldot { lor} ldot xRy)" sería una matriz.

Como vimos anteriormente, también hay variables que se extienden sobre las funciones: "(phi), (psi), (ldots, f, g)", etc. La expresión "(phi x)”contiene dos variables y representa una proposición, en particular, el resultado de aplicar la función (phi) al individuo (x).

Los teoremas se expresan con variables reales, lo que les da un significado especial con respecto a la teoría. Por ejemplo,) tag * {∗ 10 · 1} vdash / colon (x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Pp)

es un axioma fundamental de la teoría cuantificativa de PM. En esta Propuesta Primitiva, las variables “(phi)” y “(y)” son reales (libres), y el “(x)” es aparente (enlazado). Como no hay constantes en el sistema, esto es lo más cercano que PM llega a una regla de instanciación universal.

Whitehead y Russell interpretan "((x) sdot / phi x)" como "la proposición que afirma todos los valores para (phi / hat {x})" (PM 41). El uso de la palabra "todos" tiene un significado especial dentro de la teoría de los tipos. Presentan el "principio del círculo vicioso", que subyace en la teoría de los tipos, como afirmando que

… en general, dado cualquier conjunto de objetos tales que, si suponemos que el conjunto tiene un total, contendrá miembros que presuponen este total, entonces tal conjunto no puede tener un total. Al decir que el conjunto no tiene "total", queremos decir, principalmente, que no se puede hacer una declaración significativa sobre "todos sus miembros". (PM, 37)

Específicamente, entonces, una expresión cuantificada, ya que habla de "todos" los miembros de una totalidad, debe abarcar un tipo lógico específico para observar el principio del círculo vicioso. Por lo tanto, al interpretar una variable enlazada, debemos suponer que se extiende sobre un tipo específico de entidad, por lo que los tipos deben asignarse a las otras entidades representadas por expresiones en la fórmula, en observancia de la teoría de los tipos.

Sin embargo, surge una pregunta una vez que uno se da cuenta de que las declaraciones de proposiciones primitivas y teoremas en PM como ∗ 10 · 1 se consideran "típicamente ambiguas" (es decir, ambiguas con respecto al tipo). Estas declaraciones son en realidad esquemáticas y representan todas las posibles afirmaciones específicas que pueden derivarse de ellas interpretando los tipos de manera apropiada. Pero si enunciados como · 10 · 1 son esquemas y, sin embargo, tienen variables vinculadas, ¿cómo asignamos tipos a las entidades sobre las que varían las variables vinculadas? La respuesta es decidir primero sobre qué tipo de cosas van las variables libres en el enunciado. Por ejemplo, suponiendo que la variable (y) en ∗ 10 · 1 se extiende sobre individuos (de tipo (iota)), entonces la variable (phi) debe abarcar funciones de tipo ((iota) / n), para algunos (n). Entonces la variable enlazada (x) también se extenderá sobre individuos. Sin embargo, si suponemos que la variable (y) en ∗ 10 · 1 se extiende sobre funciones de tipo ((iota) / 1), entonces la variable (phi) debe abarcar funciones de tipo (((iota) / 1) / m), para algunos (m). En este caso, la variable enlazada (x) se extenderá sobre las funciones de tipo ((iota) / 1).

Entonces, (y) y (phi) se llaman variables "reales" en ∗ 10 · 1 no solo porque son libres sino también porque pueden extenderse sobre cualquier tipo. Whitehead y Russell frecuentemente dicen que las variables reales se toman para denotar ambiguamente "cualquiera" de sus instancias, mientras que las variables ligadas (que también denotan ambiguamente) se extienden sobre "todas" sus instancias (dentro de una totalidad legítima, es decir, tipo).

7. Funciones predictivas e identidad

El signo de exclamación "!" siguiendo una variable para una función y precediendo el argumento, como en "(f / bang / hat {x})", "(phi / bang x)", "(phi / bang / hat { x})”, indica que la función es predicativa, es decir, del orden más bajo que puede aplicarse a sus argumentos. En la notación de la Iglesia, esto significa que las funciones predicativas son todas del primer nivel, con tipos de la forma ((ldots) / 1). Como resultado, las funciones predicativas serán de orden uno más que el orden más alto de cualquiera de sus argumentos. Este análisis se basa en citas como las siguientes, en la Introducción a PM:

Definiremos una función de una variable como predicativa cuando sea del siguiente orden por encima del de su argumento, es decir, del orden más bajo compatible con que tenga ese argumento. (PM, 53)

Desafortunadamente en el resumen de ∗ 12, encontramos que "Una función predicativa es aquella que no contiene variables aparentes, es decir, es una matriz" [PM, 167]. Conciliar esta afirmación con esa definición en la Introducción es un problema para los académicos.

Para ver la notación de chillido en acción, considere la siguiente definición de identidad:

) tag * {∗ 13 · 01} x = y / ldot {=} colon (phi) colon / phi / bang x / ldot { supset} ldot / phi / bang y / quad / Df]

Es decir, (x) es idéntico a (y) si y solo si (y) tiene todas las funciones predicativas (phi) que posee (x). (Por supuesto, la segunda aparición de "=" indica una definición y no tiene un significado independiente. Es la primera aparición, que relaciona individuos (x) y (y), que se define).

Para ver cómo esta definición se reduce a la definición más familiar de identidad (en la cual los objetos son idénticos si comparten las mismas propiedades), necesitamos el Axioma de la Reducibilidad. El Axioma de Reducibilidad establece que para cualquier función hay una función equivalente (es decir, una verdadera de todos los mismos argumentos) que es predicativa:

Axioma de reducibilidad:) tag * {∗ 12 · 1} vdash / colon (exist f) colon / phi x / ldot { equiv_x} ldot f / bang x / quad / Pp)

Para ver cómo este axioma implica la definición más familiar de identidad, tenga en cuenta que la definición más familiar de identidad es:

[x = y / ldot {=} colon (phi) colon / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Df)

para (phi) de "cualquier" tipo. (Tenga en cuenta que esto difiere de ∗ 13 · 01 en que el chillido ya no aparece). Ahora para probar esto, asuma tanto ∗ 13 · 01 como el Axioma de Reducibilidad, y suponga, como prueba por reductio, que (x = y) y (phi x), y no (phi y), para alguna función (phi) de tipo arbitrario. Entonces, el Axioma de Reducibilidad ∗ 12 · 1 garantiza que habrá una función predicativa (psi / bang), que es coextensiva con (phi) tal que (psi / bang x) pero no (psi / bang y), que contradice ∗ 13 · 01.

8. Descripciones definitivas

La letra griega invertida iota “(atoi)” se usa en PM, siempre seguida de una variable, para comenzar una descripción definitiva. ((atoi x) phi x) se lee como "the (x) de modo que (x) es (phi)", o más simplemente, como "the (phi) ". Dichas expresiones pueden aparecer en la posición del sujeto, como en (psi (atoi x) phi x), que se lee como "the (phi) is (psi)". La parte formal de la famosa "teoría de descripciones definidas" de Russell consiste en una definición de todas las fórmulas "… (psi (atoi x) phi x) …" en las que se produce una descripción. Para distinguir la porción (psi) del resto de una oración más grande (indicada por las elipses anteriores) en la que aparece la expresión (psi (atoi x) phi x), el alcance de la descripción es indicado repitiendo la descripción definitiva entre paréntesis:

[(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x)

La noción de alcance tiene la intención de explicar una distinción que Russell discute en "Sobre denotar" (1905). Russell dice que la oración "El actual rey de Francia no es calvo" es ambigua entre dos lecturas: (1) la lectura donde dice del actual rey de Francia que no es calvo, y (2) la lectura que niega que el actual rey de Francia es calvo. La primera lectura requiere que haya un Rey de Francia único en la lista de cosas que no sean calvas, mientras que la segunda simplemente dice que no hay un Rey de Francia único que aparezca en la lista de cosas calvas. Russell dice que lo último, pero no lo primero, puede ser cierto en una circunstancia en la que no hay un Rey de Francia. Russell analiza esta diferencia como una cuestión del alcance de la descripción definitiva, aunque como veremos,Algunos lógicos modernos tienden a pensar en esta situación como una cuestión del alcance del signo de negación. Por lo tanto, Russell introduce un método para indicar el alcance de la descripción definitiva.

Para ver cómo funciona el método de alcance de Russell para este caso, debemos entender la definición que introduce descripciones definidas (es decir, el operador de iota invertida). Whitehead y Russell definen:

) tag * {∗ 14 · 01} [(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x / ldot {=} colon (exist b) colon / phi x / ldot { equiv_x} ldot x = b / colon / psi b / quad / Df)

Este tipo de definición se denomina definición contextual, que debe contrastarse con definiciones explícitas. Una definición explícita de la descripción de la definición debería tener un aspecto similar al siguiente:

[(atoi x) (phi x) = / colon / ldots / quad / Df)

lo que permitiría reemplazar la descripción definida en cualquier contexto por cualquier expresión definitoria que complete los puntos suspensivos. Por el contrario, ∗ 14 · 01 muestra cómo una oración, en la que se produce una descripción ((atoi x) (phi x)) en un contexto (psi), puede ser reemplazada por otra oración (que involucra (phi) y (psi)) que es equivalente. Para desarrollar una instancia de esta definición, comience con el siguiente ejemplo:

Ejemplo.

El actual rey de Francia es calvo.

Usando (PKFx) para representar la función proposicional de ser un rey actual de Francia y (B) para representar la función proposicional de ser calvo, Whitehead y Russell representarían la afirmación anterior como:

[(atoi x) (PKFx)] sdot B (atoi x) (PKFx))

que por ∗ 14 · 01 significa:

[(exist b) colon PKFx / ldot { equiv_x} ldot x = b / colon Bb)

En palabras, hay uno y solo un (b) que es el actual Rey de Francia y que es calvo. En los símbolos modernos, usando (b) de manera no estándar, como una variable, esto se convierte en:

[(exist b)) forall x (PKFx / equiv x = b) amp Bb])

Ahora volvemos al ejemplo que muestra cómo el alcance de la descripción hace la diferencia:

Ejemplo.

El actual rey de Francia no es calvo.

Hay dos opciones para representar esta oración.

[(atoi x) (Kx)] sdot / osim B (atoi x) (Kx))

y

) osim [(atoi x) (Kx)] sdot B (atoi x) (Kx))

En el primero, la descripción tiene un alcance "amplio", y en el segundo, la descripción tiene un alcance "estrecho". Russell dice que la descripción tiene "ocurrencia primaria" en la primera y "ocurrencia secundaria" en la segunda. Dada la definición ∗ 14 · 01, las dos fórmulas PM inmediatamente anteriores se expanden en notación primitiva como:

) begin {align} (exist b) colon PKFx / equiv_x x = b / colon / osim Bb \\ / osim (exist b) colon PKFx / equiv_x x = b / colon Bb / end {align})

En notación moderna se convierten en:

) begin {align} exist x) forall y (PKFy / equiv y = x) amp / osim Bx] / \ osim / exist x) forall y (PKFy / equiv y = x) amp Bx] end {align})

El primero dice que hay un único objeto que es el actual Rey de Francia y que no es calvo; es decir, hay exactamente un Rey de Francia presente y él no es calvo. Esta lectura es falsa, dado que no existe actualmente el Rey de Francia. Este último dice que no es el caso de que haya exactamente un Rey de Francia presente que sea calvo. Esta lectura es cierta.

Aunque Whitehead y Russell consideran que las descripciones en estos ejemplos son las expresiones que tienen alcance, las lecturas anteriores tanto en notación de MP expandida como en notación moderna sugieren por qué algunos lógicos modernos consideran que la diferencia en las lecturas aquí es una cuestión del alcance de signo de negación

9. Clases

El circunflejo "ˆ" sobre una variable que precede a una fórmula se usa para indicar una clase, por lo tanto (hat {x} psi x) es la clase de cosas (x) que son tales que (psi x). En notación moderna representamos esta clase como ({x / mid / psi x }), que se lee: la clase de (x) que es tal que (x) tiene (psi) Recuerde que “(phi / hat {x})”, con el circunflejo sobre una variable después de la variable predicada, expresa la función proposicional de ser un (x) tal que (phi x). En la teoría de tipos de PM, la clase (hat {x} phi x) tiene el mismo tipo lógico que la función (phi / hat {x}). Esto hace que sea apropiado usar la siguiente definición contextual, que permite eliminar el término de clase (hat {x} psi x) de las ocurrencias en el contexto (f):) tag * {∗ 20 · 01} f { hat {z} (psi z) } ldot {=} colon (exist / phi) colon / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} } quad / Df) o en notación moderna: [f {z / mid / psi z } = _ { df} exist / phi) forall x (phi x / equiv / psi x) amp f (lambda x / phi x)]) donde (phi) es una función predicativa de (x)

Tenga en cuenta que (f) debe interpretarse como una función de orden superior que se basa en la función (phi / bang / hat {z}). En la notación moderna utilizada anteriormente, el lenguaje tiene que ser un lenguaje escrito en el que las expresiones (lambda) están permitidas en posición de argumento. Como se señaló más adelante (Chwistek 1924, Gödel 1944 y Carnap 1947), debería haber indicadores de alcance para las expresiones de clase al igual que las hay para las descripciones definitivas. Chwistek, por ejemplo, propuso copiar la notación para descripciones definitivas, reemplazando así ∗ 20 · 01 con:

[) hat {z} (psi z)] sdot f { hat {z} (psi z) } ldot {=} colon (exist / phi) colon / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} })

Las formalizaciones contemporáneas de la teoría de conjuntos hacen uso de algo así como estas definiciones contextuales, cuando requieren un teorema de "existencia" de la forma (exist x / forall y (y / in x / equiv / ldots y / ldots)), en para justificar la introducción de un término singular ({y / mid / ldots y / ldots }). (Dada la ley de extensionalidad, se deduce de (exist x / forall y (y / in x / equiv / ldots y / ldots)) que existe un conjunto único de este tipo.) La relación de pertenencia a clases (in) se define en PM definiendo primero una relación similar entre objetos y funciones proposicionales:) tag * {∗ 20 · 02} x / in (phi / bang / hat {z}) ldot {=} ldot / phi / bang x / quad / Df) o, en notación moderna: [x / in / lambda z / phi z = _ {df} phi x)

∗ 20 · 01 y ∗ 20 · 02 juntos se utilizan para definir la noción más familiar de pertenencia a una clase. La expresión formal "(y / in { hat {z} (phi z) })" ahora puede verse como un contexto en el que se produce el término de clase; luego se elimina mediante la definición contextual ∗ 20 · 01. (Ejercicio)

PM también tiene letras griegas para las clases: (alpha, / beta, / gamma), etc. Estas aparecerán como variables ligadas (reales), variables aparentes (libres) y en resúmenes para funciones proposicionales verdaderas de las clases, como en (phi / hat { alpha}). Solo las definiciones de las variables griegas ligadas aparecen en el cuerpo del texto, las otras se definen informalmente en la Introducción:) tag * {∗ 20 · 07} (alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) o, en notación moderna,) forall / alpha \, f / alpha = _ { df} forall / phi f {z / mid / phi z }) donde (phi) es una función predicativa.

Por lo tanto, las variables de clase universalmente cuantificadas se definen en términos de cuantificadores que van más allá de las funciones predicativas. Del mismo modo para la cuantificación existencial:) tag * {∗ 20 · 071} (exist / alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (exist / phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) o, en notación moderna,) exist / alpha \, f / alpha = _ {df} exist / phi f {z / mid / phi z }) donde (phi) es una función predicativa.

Se definen las expresiones con una variable griega a la izquierda de (in):) tag * {∗ 20 · 081} alpha / in / psi / bang / hat { alpha} ldot {=} ldot / psi / bang / alpha / quad / Df)

Estas definiciones no cubren todas las posibles apariciones de variables griegas. En la Introducción a PM, se proponen otras definiciones de (f / alpha) y (f / hat { alpha}), pero se observa que las definiciones son de alguna manera peculiares y no aparecen en el cuerpo de la obra. La definición considerada para (f / hat { alpha}) es:

[f / hat { alpha} ldot {=} ldot (exist / psi) sdot / hat { phi} bang x / equiv_x / psi / bang x / sdot f { psi / bang / sombrero {z} })

o, en notación moderna,) lambda / alpha \, f / alpha = _ {df} lambda / phi f {x / mid / phi x })

Es decir, (f / hat { alpha}) es una expresión que nombra la función que lleva una función (phi) a una proposición que afirma (f) de la clase de (phi) s. (La notación moderna muestra que en la definición propuesta de (f / hat { alpha}) en notación PM, no deberíamos esperar (alpha) en los definiens, ya que es realmente una variable enlazada en (f / hat { alpha}); de manera similar, no deberíamos esperar (phi) en el definiendum porque es una variable ligada en los definiens.) También podríamos esperar definiciones como ∗ 20 · 07 y ∗ 20 · 071 para mantener en los casos en que la letra romana “(z)” se reemplaza por una letra griega. Por lo tanto, las definiciones en PM no están completas, pero es posible adivinar cómo se extenderían para cubrir todas las ocurrencias de letras griegas. Esto completaría el proyecto de la teoría de clases “sin clases” al mostrar cómo todas las charlas sobre clases pueden reducirse a la teoría de funciones proposicionales.

10. Prolegómenos a la aritmética cardinal

Aunque los estudiantes de filosofía generalmente no leen más de ∗ 20 en la tarde, este es de hecho el punto donde realmente comienza la "construcción" de las matemáticas. ∗ 21 presenta la "Teoría general de las relaciones" (la teoría de las relaciones en extensión; en la lógica contemporánea, estos se tratan como conjuntos de pares ordenados, siguiendo a Wiener). (hat {x} hat {y} psi (x, y)) es la relación entre (x) y (y) que se obtiene cuando (psi (x, y)) es verdad. En notación moderna, representamos esto como el conjunto de pares ordenados ({ langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) }), que se lee: el conjunto de pares ordenados (langle x, y / rangle) que son tales que (x) lleva la relación (psi) a (y).

La siguiente definición contextual (∗ 21 · 01) permite eliminar el término de relación (hat {x} hat {y} psi (x, y)) de las ocurrencias en el contexto (f):

[f { hat {x} hat {y} psi (x, y) } ldot {=} colondot (exist / phi) colon / phi / bang (x, y) ldot { equiv_ {x, y}} ldot / psi (x, x) colon f { phi / bang (hat {u}, / hat {v}) } quad / Df)

o en notación moderna:

[f { langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) } = _ {df} exist / phi) forall xy (phi (x, y) equiv / psi (x, y)) amp f (lambda u / lambda v / phi (u, v))])

donde (phi) es una función predicativa de (u) y (v).

Principia no analiza las relaciones (o funciones matemáticas) en términos de conjuntos de pares ordenados, sino que toma la noción de función proposicional como primitiva y define las relaciones y funciones en términos de ellas. Las letras mayúsculas ({R}, {S}) y ({T}), etc., se usan después de ∗ 21 para representar estas "relaciones en extensión", y se distinguen de las funciones proposicionales por ser escrito entre los argumentos. Por lo tanto, es (psi (x, y)) con argumentos después del símbolo de función proposicional, pero (xRy). De ∗ 21 funciones "(phi) y (psi)", etc., desaparecen y solo las relaciones en extensión, ({R}), ({S}) y ({T }), etc., aparecen en las páginas de Principia. Si bien las funciones proposicionales pueden ser ciertas para los mismos objetos pero no ser idénticas, no hay dos relaciones en extensión que sean verdaderas para los mismos objetos. La lógica de Principia es, por lo tanto, "extensional", desde la página 200 en el volumen I, hasta el final en el Volumen III.

∗ 22 sobre el "Cálculo de clases" presenta la teoría de conjuntos elementales de intersecciones, uniones y el conjunto vacío, que a menudo es toda la teoría de conjuntos utilizada en matemáticas elementales de otros tipos. El estudiante que busca la teoría de conjuntos de Principia para compararlo, por ejemplo, con el sistema Zermelo-Fraenkel, tendrá que mirar varios números más adelante en el texto. El Axioma de Elección se define en ∗ 88 como el "Axioma Multiplicativo" y una versión del Axioma del Infinito aparece en ∗ 120 en el Volumen II como "Hacha Infinita". La teoría de conjuntos de Principia se acerca más a los axiomas de Zermelo de 1908 entre los diversos sistemas de axiomas familiares, lo que significa que carece del Axioma de Fundación y el Axioma de Reemplazo de los axiomas de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ahora estándar. El sistema de Principia difiere de manera importante del de Zermelo en que está formulado en la teoría simple de los tipos. Como resultado, por ejemplo, no hay cuantificadores que abarquen todos los conjuntos, y hay un conjunto de todas las cosas (para cada tipo).

∗ 30 sobre “Funciones descriptivas” proporciona el análisis de Whitehead y Russell de las funciones matemáticas en términos de relaciones y descripciones definidas. Frege había usado la noción de función, en el sentido matemático, como una noción básica en su sistema lógico. Así, un "concepto" fregeano es una función de los objetos como argumentos a uno de los dos "valores de verdad" como sus valores. Un concepto produce el valor "Verdadero" para cada objeto al que se aplica el concepto y "Falso" para todos los demás. Russell, desde 1904, mucho antes de la escritura de Principia había preferido analizar las funciones en términos de la relación entre cada argumento y valor, y la noción de "unicidad". Con el simbolismo moderno, su punto de vista se expresaría de la siguiente manera. Para cada función (lambda xf (x)), habrá alguna relación (en extensión) (R),tal que el valor de la función para un argumento (a), es decir (f (a)), será el individuo único que llevará la relación (R) a (a). (Actualmente, reducimos las funciones a una relación binaria entre el argumento en primer lugar y el valor en segundo lugar). El resultado es que no hay símbolos de función en Principia. Como dicen Whitehead y Russell, las expresiones matemáticas familiares como "(sin / pi / 2)" se analizarán con una relación y una descripción definida, como una "función descriptiva". La "función descriptiva", (R'y) (la (R) de (y)), se define de la siguiente manera:) El resultado es que no hay símbolos de función en Principia. Como dicen Whitehead y Russell, las expresiones matemáticas familiares como "(sin / pi / 2)" se analizarán con una relación y una descripción definida, como una "función descriptiva". La "función descriptiva", (R'y) (la (R) de (y)), se define de la siguiente manera:) El resultado es que no hay símbolos de función en Principia. Como dicen Whitehead y Russell, las expresiones matemáticas familiares como "(sin / pi / 2)" se analizarán con una relación y una descripción definida, como una "función descriptiva". La "función descriptiva", (R'y) (la (R) de (y)), se define de la siguiente manera:

) tag * {∗ 30 · 01} R'y = (atoi x) xRy / quad / Df)

Concluimos esta sección presentando una serie de ejemplos destacados de estos números posteriores a continuación, con su significado intuitivo, ubicación en PM, definición en PM y un equivalente moderno. (Algunos de estos números son teoremas en lugar de definiciones). Sin embargo, tenga en cuenta que el equivalente moderno a veces diferirá lógicamente de la versión original en PM, como tratar las relaciones como conjuntos de pares ordenados, etc. En su explicación de la lógica de Principia, WV Quine (1951) objeta la complejidad e incluso la redundancia de gran parte de este simbolismo. Sin embargo, estas fórmulas se pueden resolver con una aplicación paso a paso de las definiciones.

Para cada número de fórmula, presentamos la información en el siguiente formato:

Símbolo de PM

(Significado intuitivo) [Ubicación]

Definición PM

Equivalente moderno

(alpha / subset / beta)

((alpha) es un subconjunto de (beta)) [∗ 22 · 01]

(x / in / alpha / ldot { supset_x} ldot x / in / beta)

(alpha / subseteq / beta)

(alpha / cap / beta)

(la intersección de (alpha) y (beta)) [∗ 22 · 02]

(hat {x} (x / in / alpha / sdot x / in / beta))

(alfa / cap / beta)

(alpha / cup / beta)

(la unión de (alpha) y (beta)) [∗ 22 · 03]

(hat {x} (x / in / alpha / lor x / in / beta))

(alfa / cup / beta)

(-\alfa)

(el complemento de (alpha)) [∗ 22 · 04]

(hat {x} (x / osim / in / alpha)) [es decir, (hat {x} osim (x / in / alpha)) por ∗ 20 · 06]

({x / mid x / not / in / alpha })

(Alfa Beta)

((alpha) menos (beta)) [∗ 22 · 05]

(alpha / cap - / beta)

({x / mid x / in / alpha / amp x / not / en / beta })

(mathrm {V})

(la clase universal) [∗ 24 · 01]

(hat {x} (x) = (x))

(mathrm {V}) o ({x / mid x = x })

(Lambda)

(la clase vacía) [∗ 24 · 02]

(- / mathrm {V})

(varnothing)

(R'y)

(el (R) de (y)) (una función descriptiva) [∗ 30 · 01]

((atoi x) (xRy))

(f ^ {- 1} (y)), donde (f = { langle x, y / rangle / mid Rxy })

(breve {R})

(lo contrario de (R)) [∗ 31 · 02]

(hat {x} hat {z} (zRx))

({ langle x, z / rangle / mid Rzx })

(overrightarrow {R} 'y)

(los predecesores R de (y)) [∗ 32 · 01]

(hat {x} (xRy))

({x / mid Rxy })

(overleftarrow {R} 'x)

(los R-sucesores de (x)) [∗ 32 · 02]

(hat {z} (xRz))

({z / mid Rxz })

(DR)

(el dominio de (R)) [∗ 33 · 11]

(hat {x} {(exist y) sdot xRy })

({x / mid / exist yRxy })

(backd'R)

(el rango de (R)) [∗ 33 · 111]

(hat {z} {(exist x) sdot xR z })

({z / mid / exist x Rxz })

(C'R)

(el campo de (R)) [∗ 33 · 112]

(hat {x} {(exist y): xRy / ldot { lor} ldot yRx })

({x / mid / exist y (xRy / lor yRx) })

(R / mid S)

(el producto relativo de (R) y (S)) [∗ 34 · 01]

(hat {x} hat {z} {(exist y) sdot xRy / sdot ySz })

({ langle x, z / rangle / mid / exist y (xRy / amp ySz) })

(R / restricción / beta)

(la restricción de (R) a (beta)) [∗ 35 · 02]

(hat {x} hat {z} [xRz / sdot z / in / beta])

({ langle x, z / rangle / mid z / in / beta / amp Rxz })

(alpha / uparrow / beta)

(el producto cartesiano de (alpha) y (beta)) [∗ 35 · 04]

(hat {x} hat {z} [x / in / alpha / sdot z / in / beta)]

(alpha X / beta), o ({ langle x, z / rangle / mid x / in / alpha / amp z / in / beta })

(R '' / beta)

(la proyección de (beta) por (R)) [∗ 37 · 01]

(hat {x} {(exist y) sdot y / in / beta / sdot x Ry })

({x / mid / exist y (y / in / beta / amp Rxy) })

(iota'x)

(singleton de x) [∗ 51 · 11]

(hat {z} (z = x))

({x })

(mathbf {1})

(el número cardinal 1) [∗ 52 · 01]

(hat { alpha} {(exist x) sdot x = / iota'x })

({x / mid / exist y \; (x = {y }) }) (la clase de todos los singletons)

(mathbf {2})

(el número cardinal 2) [∗ 54 · 02]

(hat { alpha} {(exist x, y) sdot x / neq y / sdot / alpha = / iota'x / cup / iota'y })

({x / mid / exist y / exist z (y / neq z / amp x = {y } cup {z }) }) (la clase de todos los pares)

(x / downarrow y)

(la pareja ordinal de (x) y (y)) [∗ 55 · 01]

(iota'x / uparrow / iota'y)

(langle x, y / rangle) (el par ordenado (langle x, y / rangle))

Nota: La edición abreviada en rústica de PM a ∗ 56 solo llega hasta aquí, por lo que las definiciones restantes solo han estado disponibles para aquellos con acceso a los tres volúmenes completos de PM.
(alpha / rightarrow / beta)

[∗ 70 · 01]

(hat {R} (overrightarrow {R} “\ backd 'R / subset / alpha / sdot / overleftarrow {R}“D'R / subset / beta)

(f: / alpha / rightarrow / beta) (las funciones (f) de (alpha) a (beta))

(alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta)

(la clase de relaciones de similitud entre (alpha) y (beta)) [∗ 73 · 01]

(1 / rightarrow 1 / cap / overleftarrow {D} '\ alpha / cap / overleftarrow { backd } '\ beta)

({f / mid f: / alpha / stackrel {1-1} { longrightarrow} beta })

(mathrm {sm})

(la relación de similitud) [∗ 73 · 02]

(hat { alpha} hat { beta} (exist! / alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta))

(alpha / approx / beta)

(R _ *)

(el ancestral de (R)) [∗ 90 · 01]

(hat {x} hat {y} {x / en C 'R / colon / breve {R} “\ mu / subset / mu / sdot x / in / mu / ldot { supset _ { mu}} ldot y / in / mu })

Ahora escrito (R ^ *) esto sigue la definición de Frege: (y) está en todos la (R) - clases hereditarias (x) está en.

11. Aritmética en el Volumen II

El Volumen II de Principia Mathematica comienza con la Parte III, "Aritmética cardinal". Las nociones de números cardinales se desarrollan en general, extendiéndose a cardenales infinitos. En consecuencia, la teoría de los números naturales, que se denominan “Cardenales inductivos” en PM, se introduce con una serie de definiciones de casos especiales de nociones que se introducen primero en forma general y se aplican a cualquier número o clase. Por ejemplo, la suma de números naturales, como en la famosa prueba de que 1 + 1 = 2 en ∗ 110 · 04 se prueba con el caso especial de la suma de clases que se aplica a los números cardinales, '(+ _ c)'. Estas definiciones, que concluyen con la aparición del Axioma del Infinito en ∗ 120 · 03 concluirán esta introducción al simbolismo de Principia Mathematica.

(mathrm {N_c})

(los números cardinales) [∗ 100 · 01]

(overrightarrow { mathrm {sm}})

Esta es en realidad la relación entre una clase y su número cardinal.

({x / mid / forall y (y / in x / leftrightarrow / forall z / forall wz, w / in y / leftrightarrow z / aprox w)) }) Los

números cardinales son clases de clases equinumerosas (similares).

(mathbf {0})

(el número cardinal 0) [∗ 101 · 01]

(0 = / mathrm {N_c} '\ Lambda)

({ varnothing })

La clase de todas las clases equinumerosas con el conjunto vacío es solo el singleton que contiene el conjunto vacío

(alpha + / beta)

(la suma aritmética de (alpha) y (beta)) [∗ 110 · 01]

(downarrow (Lambda / cap / beta) “\ iota“\ alpha / cup (Lambda / cap (alpha) downarrow “\ iota“\ beta))

Esta es la unión de (alpha) y (beta) después de que se separan al emparejar cada elemento de (beta) con ({ alpha }) y cada elemento de (alpha) con ({ beta }). Las clases (alpha) y (beta) se cruzan con la clase vacía, (Lambda), para ajustar el tipo de los elementos de la suma.

((beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }))

(mu + _c / nu)

(la suma cardinal de (mu) y (nu)) [∗ 110 · 02]

(hat { xi} {(exist / alpha, / beta) sdot / mu = / mathrm {N_0 c} '\ alpha / sdot / nu = / mathrm {N_0 c}' / beta / sdot / xi \, / mathrm {sm} (alpha + / beta) }) La

suma cardinal es la suma aritmética de "cardenales homogéneos", cardenales de tipo uniforme, con los que (alpha) y (beta) están relacionados por (mathrm {N_0 c}) (definido en sí [∗ 103 · 01]).

({x / mid x / approx (beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }) })

El lector ahora puede apreciar por qué este teorema elemental no se prueba hasta la página 83 del Volumen II de PM:

) tag * {∗ 110 · 643} 1 + _c 1 = 2)

Whitehead y Russell comentan que “la proposición anterior es ocasionalmente útil. Se usa al menos tres veces, en … . Este chiste nos recuerda que la teoría de los números naturales, tan central en las obras de Frege, aparece en PM como solo un caso especial de una teoría general de los números cardinales y ordinales e incluso clases más generales de estructuras isomorfas.

Este estudio de la notación en PM concluye con la definición de los números naturales y una declaración del Axioma del Infinito, que permite la prueba de los otros axiomas de la Aritmética de Peano como, nuevamente, casos especiales de nociones más generales.

NC inducir

(los cardenales inductivos) [∗ 120 · 01]

(hat { alpha} { alpha ({+ _ c} 1) _ * 0 })

({x / mid 0 S ^ * x })

Los cardenales inductivos son los "números naturales", son 0 y todos esos números cardinales que están relacionados con 0 por los ancestros de la "relación sucesora" (S), donde (xSy) por si acaso (y = x +1).

Hacha infinita

(el Axioma del Infinito) [∗ 120 · 03]

(alpha / in / text {NC induct} sdot / supset _ { alpha} sdot / exist! / alpha)

(forall y ({x / mid 0S ^ * x } supset y / neq / varnothing))

El Axioma del Infinito afirma que todos los cardenales inductivos no están vacíos. (Recuerde que 0 = ({ varnothing }), por lo que 0 no está vacío.) El Axioma del Infinito no es una "proposición primitiva", sino que se debe enumerar como una "hipótesis" cuando se usa, es decir como antecedente de un condicional, donde se dirá que el consecuente depende del axioma. Técnicamente no es un axioma de PM ya que [∗ 120 · 03] es una definición, ¡así que esto es solo una notación adicional en PM!

12. Conclusión

Las definiciones hasta ∗ 120 · 03 constituyen solo aproximadamente la mitad de las definiciones en PM. Las últimas ocho páginas (667–674) del Volumen I de la segunda edición (1925) consisten en una "Lista de definiciones" completa de los tres volúmenes. La correspondencia en los archivos de Bertrand Russell sugiere que esta lista puede haber sido compilada por Dorothy Wrinch. La lista se puede utilizar para rastrear cada una de las expresiones definidas de PM hasta la notación discutida en esta entrada.

Bibliografía

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  • Whitehead, AN y B. Russell, 1927, Principia Mathematica a ∗ 56, Cambridge: Cambridge University Press.

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Otros recursos de internet

  • Principia Mathematica, reproducido en la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan.
  • "On Denoting" de Russell, de la reimpresión en Logic and Knowledge (R. Marsh, ed., 1956) del artículo original en Mind 1905, escrito en HTML por Cosma Shalizi (Centro para el Estudio de Sistemas Complejos, U. Michigan)

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