Matemática Constructiva

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Matemática constructiva

Publicado por primera vez el martes 18 de noviembre de 1997; revisión sustantiva mié 30 de mayo de 2018

La matemática constructiva se distingue de su contraparte tradicional, la matemática clásica, por la interpretación estricta de la frase "existe" como "podemos construir". Para trabajar de manera constructiva, necesitamos reinterpretar no solo el cuantificador existencial sino todos los conectivos y cuantificadores lógicos como instrucciones sobre cómo construir una prueba de la declaración que involucra estas expresiones lógicas.

En este artículo presentamos las matemáticas constructivas modernas basadas en la interpretación BHK de los conectores y cuantificadores lógicos. Discutimos cuatro variedades principales de matemáticas constructivas, con énfasis particular en las dos variedades asociadas con Errett Bishop y Per Martin-Löf, que pueden considerarse como sistemas constructivos mínimos. Luego describimos el progreso en matemática inversa (informal) constructiva, un programa de investigación que busca identificar principios, como el teorema del abanico de Brouwer, que, sumado a las variedades constructivas mínimas, facilitan pruebas de importantes teoremas analíticos. Después de una breve discusión sobre álgebra constructiva, economía y finanzas, la entrada termina con dos apéndices: uno sobre ciertos principios lógicos que se mantienen en las matemáticas clásicas, intuitivas y recursivas y que, sumado a Bishop 's las matemáticas constructivas, facilitan la prueba de ciertos teoremas de análisis útiles; y uno que discute enfoques para un desarrollo constructivo de topología general.

  • 1. Introducción
  • 2. La interpretación constructiva de la lógica.
  • 3. Variedades de matemática constructiva

    • 3.1 Matemáticas intuicionistas
    • 3.2 Matemáticas constructivas recursivas
    • 3.3 Matemáticas constructivas del obispo
    • 3.4 Teoría constructiva del tipo de Martin-Löf
  • 4. El axioma de elección
  • 5. Matemática inversa constructiva

    5.1 Teoremas del ventilador en CRM

  • 6. Topología constructiva
  • 7. Economía matemática constructiva y finanzas
  • 8. Observaciones finales
  • Bibliografía

    • Referencias
    • Literatura relacionada
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Introducción

Antes de que los matemáticos afirmen algo (que no sea un axioma) se supone que han demostrado que es cierto. ¿Qué quieren decir entonces los matemáticos cuando afirman una disyunción (P / vee Q), donde (P) y (Q) son afirmaciones sintácticamente correctas en algún lenguaje matemático (formal o informal)? Una interpretación natural, aunque, como veremos, no la única, de esta disyunción es que no solo (al menos) se cumple una de las declaraciones (P, Q), sino que también podemos decidir cuál de ellas se cumple. Así, así como los matemáticos afirmarán (P) solo cuando hayan decidido que (P) se cumple al probarlo, pueden afirmar (P / vee Q) solo cuando puedan producir una prueba de (P) o bien producir uno de (Q).

Con esta interpretación, sin embargo, nos encontramos con un problema grave en el caso especial donde (Q) es la negación, (neg P), de (P). Afirmar (neg P) es mostrar que (P) implica una contradicción (como (0 = 1)). Pero a menudo será que los matemáticos no tienen ni una prueba de (P) ni una de (neg P). Para ver esto, solo necesitamos reflexionar sobre la siguiente conjetura de Goldbach (GC):

Cada entero par (gt 2) se puede escribir como una suma de dos primos, que sigue sin probarse ni refutarse a pesar de los mejores esfuerzos de muchos de los principales matemáticos desde que se planteó por primera vez en una carta de Goldbach a Euler en 1742. Nos vemos obligados a concluir que, bajo la interpretación de decidabilidad muy natural de P (vee P), solo un optimista obstinado puede mantener una creencia en la ley del medio excluido (LEM):

Para cada declaración (P), se mantiene (P) o (neg P).

La lógica clásica evita esto ampliando la interpretación de la disyunción: interpreta (P / vee Q) como (neg (neg P / wedge / neg Q)), o en otras palabras, "es contradictorio que tanto (P) como (Q) sean falsos ". A su vez, esto conduce a la interpretación idealista de la existencia, en la que (exist xP (x)) significa (neg / forall x / neg P (x)) ("es contradictorio que (P (x)) sea falso para cada (x) "). Es sobre estas interpretaciones de disyunción y existencia que los matemáticos han construido el gran y aparentemente inexpugnable edificio de las matemáticas clásicas que sirve de base para las ciencias físicas, sociales y (cada vez más) biológicas. Sin embargo, las interpretaciones más amplias tienen un costo: por ejemplo, cuando pasamos de nuestra interpretación inicial y natural de (P / vee Q) al uso irrestricto del idealista,(neg (neg P / wedge / neg Q)), las matemáticas resultantes generalmente no pueden interpretarse dentro de modelos computacionales como la teoría de funciones recursivas.

Este punto se ilustra con un ejemplo muy usado, la proposición:

Existen números irracionales (a, b) tales que (a ^ b) es racional.

Una elegante prueba clásica es la siguiente. Cualquiera de (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) es racional, en cuyo caso tomamos (a = b = / sqrt {2}); o bien (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) es irracional, en cuyo caso tomamos (a = / sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) y (b = / sqrt {2}) (ver Dummett 1977 [2000], 6). Pero tal como está, esta prueba no nos permite determinar cuál de las dos opciones del par ((a, b)) tiene la propiedad requerida. Para determinar la elección correcta de ((a, b)), tendríamos que decidir si (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) es racional o irracional, lo cual es precisamente para Empleemos nuestra interpretación inicial de la disyunción con (P), la afirmación “(sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) es racional”.

Aquí hay otra ilustración de la diferencia entre interpretaciones. Considere la siguiente declaración simple sobre el conjunto (bR) de números reales:

) tag {*} forall x / in / bR (x = 0 / vee x / ne 0),)

donde, por razones que divulgamos en breve, (x / ne 0) significa que podemos encontrar un número racional (r) con (0 / lt r / lt / abs {x}). Una interpretación computacional natural de (*) es que tenemos un procedimiento que, aplicado a cualquier número real (x), nos dice que (x = 0) o bien nos dice que (x / ne 0) (Por ejemplo, dicho procedimiento podría generar 0 si (x = 0) y 1 si (x / ne 0).) Sin embargo, dado que la computadora puede manejar números reales solo por medio de aproximaciones racionales finitas, tiene el problema del flujo insuficiente, en el cual un número positivo suficientemente pequeño puede ser malinterpretado como 0 por la computadora; entonces no puede haber un procedimiento de decisión que justifique la declaración (*). En otras palabras, no podemos esperar que (*) se mantenga bajo nuestra interpretación computacional natural del cuantificador (forall) y el conectivo (vee).

Examinemos esto desde otro ángulo. Deje que (G (n)) actúe como una forma abreviada de la afirmación "(2n + 2) es una suma de dos primos", donde (n) se extiende sobre los enteros positivos y define una secuencia binaria infinita (ba = (a_1, a_2, / ldots)) de la siguiente manera:

[a_n = / begin {cases} 0 & / text {if} G (n) text {contiene para todos} k / le n \\ 1 & / text {if} neg G (n) text {contiene para algunos} k / le n \\ / end {casos})

No hay duda de que (ba) es una secuencia computacionalmente bien definida, en el sentido de que tenemos un algoritmo para calcular (a_n) para cada (n): verifique los números pares (4, 6,8, / ldots, 2n + 2) para determinar si cada uno de ellos es una suma de dos primos; en ese caso, configure (a_n = 0), y en el caso contrario, configure (a_n = 1). Ahora considere el número real cuyo (n) th dígito binario es (a_n):

) begin {align *} x & = (0 / cdot a_1 a_2 / cdots) _ {2} & = 2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots \& = / sum_ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {- n} a_n. / end {align *})

Si (*) se mantiene bajo nuestra interpretación computacional, entonces podemos decidir entre las siguientes dos alternativas:

  • (2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots = 0), lo que implica que (a_n = 0) para cada (n);
  • podemos encontrar un número entero positivo (N) tal que (2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots / gt 2 ^ {- N}).

En el último caso, probando (a_1, / ldots, a_N), podemos encontrar (n / le N) tal que (a_n = 1). Así, la interpretación computacional de (*) nos permite decidir si existe (n) tal que (a_n = 1); en otras palabras, nos permite decidir el estado de la Conjetura de Goldbach. Un ejemplo de este tipo, que muestra que una prueba constructiva de algún resultado clásico (P) nos permitiría resolver la conjetura de Goldbach (y, por argumentos similares, muchos otros problemas hasta ahora abiertos, como la hipótesis de Riemann), se llama un ejemplo de Brouwerian, o incluso un contraejemplo de Brouwerian para, la declaración (P) (aunque no es un contraejemplo en el sentido normal de esa palabra).

El uso de la Conjetura de Goldbach aquí es puramente dramático. Porque, el argumento del párrafo anterior se puede modificar para mostrar que, bajo nuestra interpretación computacional, (*) implica el principio limitado de omnisciencia (LPO):

Para cada secuencia binaria ((a_1, a_2, / ldots)) ya sea (a_n = 0) para todos (n) o si no existe (n) tal que (a_n = 1), que generalmente se considera un principio esencialmente no constructivo por varias razones. Primero, su interpretación recursiva, Hay un algoritmo recursivo que, aplicado a cualquier secuencia binaria definida recursivamente ((a_1, a_2, / ldots)), genera 0 si (a_n = 0) para todos (n) y genera 1 si (a_n = 1) para algunos (n), es demostrablemente falso dentro de la teoría de la función recursiva, incluso con la lógica clásica (ver Bridges y Richman [1987], Capítulo 3); así que si queremos permitir una interpretación recursiva de todas nuestras matemáticas, entonces no podemos usar LPO. En segundo lugar, hay una teoría modelo (modelos de Kripke) en la que se puede demostrar que LPO no es derivable constructivamente (Bridges y Richman [1987], Capítulo 7).

2. La interpretación constructiva de la lógica

A estas alturas, debería estar claro que un desarrollo computacional completo de las matemáticas no permite las interpretaciones idealistas de la disyunción y la existencia de las que depende la mayoría de las matemáticas clásicas. Para trabajar de manera constructiva, necesitamos volver de las interpretaciones clásicas a las constructivas naturales:

(vee) (o): para probar (P / vee Q) debemos tener una prueba de (P) o una prueba de (Q).
(wedge) (y): para probar (P / wedge Q) debemos tener tanto una prueba de (P) como una prueba de (Q).
(Rightarrow) (implica): una prueba de (P / rightarrow Q) es un algoritmo que convierte cualquier prueba de (P) en una prueba de (Q).
(neg) (no): para probar (neg P) debemos mostrar que (P) implica (0 = 1).
(exist) (existe): para probar (exist xP (x)) debemos construir un objeto (x) y demostrar que (P (x)) es válido.
(forall) (para cada / todos): una prueba de (forall x / en SP (x)) es un algoritmo que, aplicado a cualquier objeto (x) y a los datos que prueban que (x / en S), demuestra que (P (x)) se mantiene.

Estas interpretaciones de BHK (el nombre refleja su origen en el trabajo de Brouwer, Heyting y Kolmogorov) pueden hacerse más precisas utilizando la noción de realizabilidad de Kleene; ver (Dummett [1977/2000], 222–234; Beeson [1985], Capítulo VII).

¿Qué tipo de cosas estamos buscando si nos tomamos en serio el desarrollo de las matemáticas de tal manera que cuando un teorema afirma la existencia de un objeto (x) con una propiedad (P), entonces la prueba del teorema encarna algoritmos para construir (x) y para demostrar, mediante cualquier cálculo que sea necesario, que (x) tiene la propiedad (P). Aquí hay algunos ejemplos de teoremas, cada uno seguido de una descripción informal de los requisitos para su prueba constructiva.

  1. Para cada número real (x), ya sea (x = 0) o (x / ne 0). Requisito de prueba: un algoritmo que, aplicado a un número real dado (x), decide si (x = 0) o (x / ne 0). Tenga en cuenta que, para tomar esta decisión, el algoritmo podría usar no solo los datos que describen (x) sino también los datos que muestran que (x) es en realidad un número real.
  2. Cada subconjunto no vacío (S) de (bR) que está limitado anteriormente tiene un límite superior mínimo.

    Requisito de prueba: un algoritmo que, aplicado a un conjunto (S) de números reales, un miembro (s) de (S) y un límite superior para (S),

    1. calcula un objeto (b) y muestra que (b) es un número real;
    2. muestra que (x / le b) para cada (x / en S); y
    3. dado un número real (b '\ lt b), calcula un elemento (x) de (S) tal que (x / gt b').
  3. Si (f) es un mapeo continuo con valores reales en el intervalo cerrado ([0,1]) tal que (f (0) cdot f (1) lt 0), entonces existe (x) tal que (0 / lt x / lt 1) y (f (x) = 0).

    Requisito de prueba: un algoritmo que, aplicado a la función (f), un módulo de continuidad para (f) y los valores (f (0)) y (f (1)),

    1. calcula un objeto (x) y muestra que (x) es un número real entre 0 y 1; y
    2. muestra que (f (x) = 0).
  4. Si (f) es un mapeo continuo con valores reales en el intervalo cerrado ([0,1]) tal que (f (0) cdot f (1) lt 0), entonces para cada (varepsilon / gt 0) existe (x) tal que (0 / lt x / lt 1) y (abs {f (x)} lt / varepsilon).

    Requisito de prueba: un algoritmo que, aplicado a la función (f), un módulo de continuidad para (f), los valores (f (0)) y (f (1)), y un número positivo (varepsilon),

    1. calcula un objeto (x) y muestra que (x) es un número real entre 0 y 1; y
    2. muestra que (abs {f (x)} lt / varepsilon).

Ya tenemos razones para dudar de que (A) tenga una prueba constructiva. Si se pueden cumplir los requisitos de prueba para (B), entonces, dada cualquier enunciado matemático (P), podemos aplicar nuestra prueba de (B) para calcular una aproximación racional (z) al supremum (sigma) del conjunto

[S = {0 } cup {x / in / bR: P / wedge x = 1 })

con error (lt / bfrac {1} {4}). Entonces podemos determinar si (z / gt / bfrac {1} {4}), en cuyo caso (sigma / gt 0), o (z / lt / bfrac {3} {4}), cuando (sigma / lt 1). En el primer caso, existe (x / en S) con (x / gt 0), por lo que debemos tener (x = 1) y por lo tanto (P). En el caso (sigma / lt 1), tenemos (neg P). Así (B) implica la ley del medio excluido.

Sin embargo, en la teoría constructiva de Bishop de los números reales, basada en secuencias de Cauchy con una tasa de convergencia preasignada, podemos probar el siguiente principio constructivo de límite superior mínimo:

Sea (S) un subconjunto no vacío de (bR) que está limitado anteriormente. Entonces (S) tiene un límite superior mínimo si y solo si se encuentra en orden superior, en el sentido de que para todos los números reales (alpha, / beta) con (alpha / lt / beta), (beta) es un límite superior para (S) o existe (x / en S) con (x / gt / alpha) (Bishop & Bridges [1985], p. 37, Propuesta (4.3)).

De paso, mencionamos un desarrollo alternativo de la teoría constructiva de (bR) basada en la aritmética de intervalos; ver el Capítulo 2 de Bridges & Vîță [2006].

Cada una de las declaraciones (C) y (D), que son clásicamente equivalentes, es una versión del Teorema del valor intermedio. En estas declaraciones, un módulo de continuidad para (f) es un conjunto (Omega) de pares ordenados ((varepsilon, / delta)) de números reales positivos con las siguientes dos propiedades:

  • para cada (varepsilon / gt 0) existe (delta / gt 0) tal que ((varepsilon, / delta) in / Omega)
  • para cada ((varepsilon, / delta) in / Omega), y para todos (x, y / in [0,1]) con (abs {x - y} lt / delta), tenemos (abs {f (x) - f (y)} lt / varepsilon).

La declaración (C) implica otro principio esencialmente no constructivo, el principio menos limitado de la omnisciencia (LLPO):

Para cada secuencia binaria ((a_1, a_2, / ldots)) con como máximo un término igual a 1, ya sea (a_n = 0) para todos los pares (n) o bien (a_n = 0) para todos los impares (n).

El enunciado (D), una forma débil de (C), se puede probar de manera constructiva, utilizando un argumento de reducción a la mitad de intervalo de un tipo estándar. El siguiente teorema de valor intermedio constructivo más fuerte, que es suficiente para la mayoría de los propósitos prácticos, se prueba utilizando un argumento de reducción a la mitad de intervalo aproximado:

Sea (f) un mapeo continuo de valores reales en el intervalo cerrado ([0,1]) tal que (f (0) cdot f (1) lt 0). Supongamos también que (f) es localmente distinto de cero, en el sentido de que para cada (x / en [0,1]) y cada (r / gt 0), existe (y) tal que (abs {x - y} lt r) y (f (y) ne 0). Entonces existe (x) tal que (0 / lt x / lt 1) y (f (x) = 0).

La situación del teorema del valor intermedio es típica de muchos en el análisis constructivo, donde encontramos un teorema clásico con varias versiones constructivas, algunas o todas las cuales pueden ser equivalentes bajo la lógica clásica.

Hay un principio omnisciencia cuyo estado constructivo es menos clara que la de LPO y LLPO -a saber, el principio de Markov (MP):

Para cada secuencia binaria ((a_n)), si es contradictorio que todos los términos (a_n) sean iguales a 0, entonces existe un término igual a 1.

Este principio es equivalente a una serie de proposiciones clásicas simples, incluidas las siguientes:

  • Para cada número real (x), si es contradictorio que (x) sea igual a 0, entonces (x / ne 0) (en el sentido que mencionamos anteriormente).
  • Para cada número real (x), si es contradictorio que (x) sea igual a 0, entonces existe (y / in / bR) tal que (xy = 1).
  • Para cada mapeo continuo uno (f: [0,1] rightarrow / bR), si (x / ne y), entonces (f (x) ne f (y)).

El principio de Markov representa una búsqueda ilimitada: si tiene una prueba de que todos los términos (a_n) siendo 0 conduce a una contradicción, entonces, al probar los términos (a_1, a_2, a_3, / ldots) a su vez, está garantizado para encontrar un término igual a 1; pero esta garantía no se extiende a una garantía de que encontrará el término deseado antes del fin del universo. La mayoría de los practicantes de las matemáticas constructivas ven el principio de Markov con al menos sospecha, si no es que con absoluta incredulidad. Dichos puntos de vista se ven reforzados por la observación de que hay un Modelo de Kripke que muestra que MP no es derivable constructivamente (Bridges y Richman [1987], 137-138).

3. Variedades de matemática constructiva

El deseo de retener la posibilidad de una interpretación computacional es una motivación para usar las reinterpretaciones constructivas de los conectivos y cuantificadores lógicos que proporcionamos anteriormente; pero no es exactamente la motivación de los pioneros del constructivismo en matemáticas. En esta sección veremos algunos de los diferentes enfoques del constructivismo en matemáticas en los últimos 130 años.

3.1 Matemáticas intuicionistas

A fines del siglo XIX, ciertos individuos, especialmente Kronecker y Poincaré, habían expresado dudas o incluso desaprobación de los métodos idealistas y no constructivos utilizados por algunos de sus contemporáneos; pero es en los escritos polémicos de LEJ Brouwer (1881-1966), comenzando con su tesis doctoral de Amsterdam, Brouwer [1907], y continuando durante los próximos cuarenta y siete años, que los fundamentos de un enfoque preciso y sistemático de las matemáticas constructivas fueron puestos. En la filosofía de Brouwer, conocida como intuicionismo, las matemáticas son una creación libre de la mente humana, y un objeto existe si y solo si puede construirse (mentalmente). Si uno toma esa postura filosófica, entonces uno se siente inexorablemente atraído por la interpretación constructiva anterior de los conectivos y cuantificadores lógicos:porque ¿cómo podría una prueba de la imposibilidad de la inexistencia de un determinado objeto (x) describir una construcción mental de (x)?

Brouwer no fue el expositor más claro de sus ideas, como se muestra en la siguiente cita:

La matemática surge cuando el tema de la dualidad, que resulta del paso del tiempo, se abstrae de todos los acontecimientos especiales. La forma vacía restante [la relación de (n) a (n + 1)] del contenido común de todas estas dos dualidades se convierte en la intuición original de las matemáticas y se repite ilimitadamente creando nuevas materias matemáticas. (citado en Kline [1972], 1199–2000)

Una versión moderna de la opinión de Brouwer fue dada por Errett Bishop (Bishop [1967], p. 2):

La principal preocupación de las matemáticas es el número, y esto significa los enteros positivos. Nos sentimos sobre el número como Kant se sentía sobre el espacio. Los enteros positivos y su aritmética se presuponen por la naturaleza misma de nuestra inteligencia y, estamos tentados a creer, por la naturaleza misma de la inteligencia en general. El desarrollo de los enteros positivos a partir del concepto primitivo de la unidad, el concepto de una unidad contigua y el proceso de inducción matemática conlleva una convicción completa. En palabras de Kronecker, los enteros positivos fueron creados por Dios.

Por oscuros que pudieran ser los escritos de Brouwer, una cosa siempre fue clara: para él, las matemáticas tenían prioridad sobre la lógica. Se podría decir, como lo hizo Hermann Weyl en el siguiente pasaje, que Brouwer vio las matemáticas clásicas como defectuosas precisamente en su uso de la lógica clásica sin referencia a las matemáticas subyacentes:

Según la visión y lectura de la historia de [Brouwer], la lógica clásica se abstraía de las matemáticas de los conjuntos finitos y sus subconjuntos. … Olvidando este origen limitado, uno confundió luego esa lógica con algo anterior y anterior a todas las matemáticas, y finalmente lo aplicó, sin justificación, a las matemáticas de conjuntos infinitos. Esta es la caída y el pecado original de la teoría de conjuntos, por lo cual es justamente castigada por las antinomias. No es sorprendente que hayan aparecido tales contradicciones, sino que aparecieron en una etapa tan tardía del juego. (Weyl [1946])

En particular, este mal uso de la lógica condujo a pruebas de existencia no constructivas que, en palabras de Weyl, "informan al mundo que existe un tesoro sin revelar su ubicación".

Para describir la lógica utilizada por el matemático intuicionista, primero fue necesario analizar los procesos matemáticos de la mente, a partir de los cuales se podía extraer la lógica. En 1930, el alumno más famoso de Brouwer, Arend Heyting, publicó un conjunto de axiomas formales que caracterizan tan claramente la lógica utilizada por el intuicionista que se han convertido universalmente en los axiomas de la lógica intuicionista (Heyting [1930]). Estos axiomas capturaron la interpretación informal BHK de los conectivos y cuantificadores que dimos anteriormente.

Las matemáticas intuitivas difieren de otros tipos de matemáticas constructivas en su interpretación del término "secuencia". Normalmente, una secuencia en matemáticas constructivas viene dada por una regla que determina, de antemano, cómo construir cada uno de sus términos; Se puede decir que dicha secuencia es legal o predeterminada. Brouwer generalizó esta noción de una secuencia para incluir la posibilidad de construir los términos uno por uno, la elección de cada término se hizo libremente, o sujeto solo a ciertas restricciones estipuladas de antemano. La mayoría de las manipulaciones de secuencias no requieren que sean predeterminadas, y pueden realizarse en estas secuencias de elección libre más generales.

Por lo tanto, para el intuicionista, un número real (bx = (x_1, x_2, / ldots)) - esencialmente, una secuencia Cauchy de números racionales - no necesita ser dada por una regla: sus términos (x_1, x_2, / ldots), son simplemente números racionales, construidos sucesivamente, sujetos solo a algún tipo de restricción de Cauchy como la siguiente utilizada por Bishop [1967]:

) forall m / forall n / left) abs {x_m - x_n} le / left (frac {1} {m} + / frac {1} {n} right) right])

Una vez que las secuencias de libre elección son admitidas en las matemáticas, entonces, tal vez para la sorpresa inicial de uno, hay ciertos principios fuertes de elección. Sea (P) un subconjunto de (bN ^ { bN} times / bN) (donde (bN) denota el conjunto de números naturales y, para los conjuntos (A) y (B, B ^ A) denota el conjunto de asignaciones de (A) a (B)), y supongamos que para cada (ba / in / bN ^ { bN}) existe (n / in / bN) tal que ((ba, n) in P). Desde un punto de vista constructivo, esto significa que tenemos un procedimiento, aplicable a las secuencias, que calcula (n) para cualquier (ba) dado. Según Brouwer, la construcción de un elemento de (bN ^ { bN}) es para siempre incompleta: una secuencia genérica (ba) es puramente extensional, en el sentido de que en un momento dado no podemos saber nada acerca de (ba) que no sea un conjunto finito de sus términos. De ello se deduce que nuestro procedimiento debe poder calcular, a partir de una secuencia inicial finita ((a_0, / ldots, a_N)) de los términos de (ba), un número natural (n) tal que (P (ba, n)). Si (bb / in / bN ^ { bN}) es una secuencia tal que (b_ {k} = a_ {k}) para (0 / le k / le N), entonces nuestro procedimiento debe devolver el mismo (n) para (bb) como lo hace para (ba). Esto significa que (n) es una función continua de (ba) con respecto a la topología en (bN ^ { bN}) dada por la métricaEsto significa que (n) es una función continua de (ba) con respecto a la topología en (bN ^ { bN}) dada por la métricaEsto significa que (n) es una función continua de (ba) con respecto a la topología en (bN ^ { bN}) dada por la métrica

) varrho: (ba, / bb) rightsquigarrow / inf {2 ^ {- n}: a_k = b_k / text {for} 0 / le k / le n }.)

Por lo tanto, nos conducen al siguiente principio de elección continua, que dividimos en una parte de continuidad y una parte de elección.

CC1: cualquier función desde (bN ^ { bN}) hasta (bN) es continua.

CC2: Si (P / subseteq / bN ^ { bN} times / bN), y para cada (ba / in / bN ^ { bN}) existe (n / in / bN) tal que ((ba, n) en P), entonces hay una función (f: / bN ^ { bN} rightarrow / bN) tal que ((ba, f (ba)) in P) para todos (ba / in / bN ^ { bN}).

Si (P) y (f) son como en CC2, entonces decimos que (f) es una función de elección para (P).

Los principios de omnisciencia LPO y LLPO son demostrablemente falsos bajo las hipótesis CC1–2; pero MP es consistente con eso. Entre las consecuencias notables de CC1–2 están las siguientes.

  • Cualquier función desde (bN ^ { bN}) o (2 ^ { bN}) a un espacio métrico es puntualmente continua.
  • Cada asignación de un espacio métrico separable completo no vacío a un espacio métrico es puntualmente continuo.
  • Cada mapa desde la línea real (bR) a sí mismo es puntual continuo.
  • Sea (X) un espacio normativo separable completo, (Y) un espacio normado y ((u_n)) una secuencia de asignaciones lineales desde (X) a (Y) de tal manera que cada vector unitario (x) de (X),) phi (x) = / sup { Vert u_n (x) rVert: n / in / bN }) existe Entonces existe (c / gt 0) tal que (lVert u_n (x) rVert / le c) para todos (n / in / bN) y todos los vectores unitarios (x) de (X) (Principio de delimitación uniforme).

Cada una de estas afirmaciones parece contradecir los teoremas clásicos conocidos. Sin embargo, la comparación con las matemáticas clásicas no debe hacerse superficialmente: para entender que no hay una contradicción real aquí, debemos apreciar que el significado de términos como "función" e incluso "número real" en matemáticas intuitivas es bastante diferente de eso en el entorno clásico. (En la práctica, las matemáticas intuicionistas no se pueden comparar, fácil y directamente, con las matemáticas clásicas).

La introspección de Brouwer sobre la naturaleza de las funciones y el continuo lo condujo a un segundo principio que, a diferencia del de la elección continua, es clásicamente válido. Este principio requiere un poco más de antecedentes para su explicación.

Para cualquier conjunto (S) denotamos por (S ^ *) el conjunto de todas las secuencias finitas de elementos de (S), incluida la secuencia vacía (()). Si (alpha = (a_1, / ldots, a_n)) está en (S ^ *), entonces (n) se llama la longitud de (alpha) y se denota por (abs { alpha}). Si (m / in / bN), y (alpha) es una secuencia finita o infinita en (S) de longitud al menos (m), entonces denotamos por (bar { alpha} (m)) la secuencia finita que consiste en los primeros (m) términos de (alpha). Tenga en cuenta que (bar { alpha} (0) = ()) y (abs { bar { alpha} (0)}) = 0. Si (alpha / en S ^ *) y (beta = / bar { alpha} (m)) para algunos (m), decimos que (alpha) es una extensión de (beta), y que (beta) es una restricción de (alpha).

Se dice que un subconjunto (sigma) de (S) es desmontable (de (S)) si

) forall x / in S (x / in / sigma / vee x / not / in / sigma).)

Un subconjunto desmontable (sigma) de (bN ^ *) se llama ventilador si

  • está cerrado bajo restricción: para cada (alpha / in / bN ^ *) y cada (n), si (bar { alpha} (n) in S), entonces (barra { alpha} (k) en S) siempre que (0 / le k / le n); y
  • para cada (alpha / in / sigma), el conjunto) { alpha ^ * n / in S: n / in / bN }) es finito o vacío, donde (alpha ^ * n) denota la secuencia finita obtenida al unir el número natural (n) a los términos de (alpha).

Una ruta en un ventilador (sigma) es una secuencia (alpha), finita o infinita, de modo que (bar { alpha} (n) in / sigma) para cada (n). Decimos que una ruta (alpha) está bloqueada por un subconjunto (B) si hay alguna restricción de (alpha) en (B); si no hay restricción de (alpha) en (B), decimos que (alpha) falla (B). Un subconjunto (B) de un ventilador (sigma) se llama barra para (sigma) si cada ruta infinita de (sigma) está bloqueada por (B); una barra (B) para (sigma) es uniforme si existe (n / in / bN) de modo que cada ruta de longitud (n) esté bloqueada por (B).

Por fin podemos establecer el siguiente principio de intuición de Brouwer, el teorema del ventilador para barras desmontables (FT (_ D)):

Cada barra desmontable de un ventilador es uniforme.

En su forma contrapositiva clásica, FT (_ D) se conoce como el Lema de König: si para cada (n) existe un camino de longitud (n) que falla (B), entonces existe un infinito camino que pierde (B) (véase Dummett 1977 [2000], 49–53). (Por supuesto, clásicamente la condición de separabilidad es superflua). Es simple construir un contraejemplo brouweriano para el Lema de König.

Brouwer en realidad postuló el teorema del ventilador sin la restricción de la capacidad de separación de la barra. Los intentos de demostrar que un teorema de abanico más general se basa constructivamente en un análisis de cómo podríamos saber que un subconjunto es una barra, y llevó a Brouwer a una noción de inducción de barra; esto se discute en la Sección 3.6 de la entrada sobre intuicionismo en la filosofía de las matemáticas; Otra buena referencia para la inducción de barras es Van Atten (2004). Volveremos a los teoremas de los fanáticos en la Sección 4.

De las muchas aplicaciones de los principios de Brouwer, la más famosa es su teorema de continuidad uniforme (que se deduce de las consecuencias puntuales de continuidad de CC1-2 juntas, una forma de teorema de abanico más general que FT (_ D)):

Cada mapeo desde un espacio métrico compacto (es decir, completo, totalmente limitado) a un espacio métrico es uniformemente continuo.

Se advierte al lector una vez más que interprete esto cuidadosamente dentro del marco intuicionista de Brouwer, y que no salte a la conclusión errónea de que el intuicionismo contradice las matemáticas clásicas. Es más sensato considerar los dos tipos de matemáticas como incomparables. Para mayor discusión, vea la entrada sobre lógica intuicionista.

Desafortunadamente, y tal vez inevitablemente, ante la oposición de matemáticos de estatura como Hilbert, la escuela intuitiva de matemática y filosofía de Brouwer se involucró cada vez más en lo que, al menos para los matemáticos clásicos, parecía ser una especulación casi mística sobre la naturaleza. del pensamiento constructivo, en detrimento de la práctica de la matemática constructiva misma. Esta desafortunada polarización entre los brouwerianos y los hilbertianos culminó en el notorio Grundlagenstreit de la década de 1920, cuyos detalles se pueden encontrar en las biografías de Brouwer por van Dalen [1999, 2005] y van Stigt [1990].

3.2 Matemáticas constructivas recursivas

A fines de la década de 1940, el matemático ruso AA Markov comenzó el desarrollo de una forma alternativa de matemática constructiva (RUSS), que es, esencialmente, teoría de función recursiva con lógica intuicionista (Markov [1954], Kushner [1985]). En esta variedad, los objetos se definen por medio de numeraciones de Gödel, y los procedimientos son todos recursivos; La principal distinción entre RUSS y el análisis recursivo clásico desarrollado después de que el trabajo de Turing, Church y otros en 1936 aclarara la naturaleza de los procesos computables es que la lógica utilizada en RUSS es intuicionista.

Un obstáculo que enfrenta el matemático que intenta enfrentarse a RUSS es que, expresado en el lenguaje de la teoría de la recursividad, no es fácil de leer; de hecho, al abrir una página de las excelentes conferencias de Kushner [1985], uno podría ser perdonado por preguntarse si esto es análisis o lógica. (Esta observación debe ser moderada con referencia a los dos libros relativamente legibles sobre análisis recursivo clásico de Aberth [1980, 2001].) Afortunadamente, uno puede llegar al corazón de RUSS mediante un enfoque axiomático debido a Richman [1983] (véase también Capítulo 3 de Bridges & Richman [1987]).

Primero, definimos un conjunto (S) para que sea contable si hay una asignación de un subconjunto desmontable de (bN) en (S). Con la lógica intuicionista no podemos probar que cada subconjunto de (bN) sea desmontable (se invita al lector a proporcionar un ejemplo brouweriano para demostrar esto). Los subconjuntos contables de (bN) en el enfoque axiomático de Richman son las contrapartidas de conjuntos recursivamente enumerables en el desarrollo normal de RUSS.

Por una función parcial en (bN) nos referimos a un mapeo cuyo dominio es un subconjunto de (bN); si el dominio es (bN) en sí, entonces llamamos a la función una función parcial total en (bN). El enfoque de Richman para RUSS se basa en la lógica intuicionista y un solo axioma de funciones parciales computables (CPF):

Hay una enumeración (phi_0, / phi_1, / ldots) del conjunto de todas las funciones parciales desde (bN) a (bN) con dominios contables.

Es notable lo que se puede deducir limpia y rápidamente usando este principio. Por ejemplo, podemos probar el siguiente resultado, que casi inmediatamente muestra que LLPO, y por lo tanto LPO, son falsos en la configuración recursiva.

Hay una función parcial total (f: / bN / times / bN / rightarrow {0,1 }) tal que

  • para cada (m) existe como máximo uno (n) tal que (f (m, n) = 1); y
  • para cada función parcial total (f: / bN / rightarrow {0,1 }), existe (m, k) en (bN) tal que (f (m, 2k + f (m)) = 1).

Sin embargo, son de mayor interés los resultados como los siguientes en RUSS.

  • Teorema de Specker (Specker [1949]): existe una secuencia estrictamente creciente ((r_1, r_2, / ldots)) de números racionales en el intervalo cerrado ([0,1]) tal que para cada (x / in / bR) existen (N / in / bN) y (delta / gt 0) de modo que (abs {x - r_n} ge / delta) para todos (n / ge N).
  • Para cada (varepsilon / gt 0), existe una secuencia ((I_1, I_2, / ldots)), de intervalos abiertos delimitados en (bR) de modo que) begin {align} etiqueta {i} bR & / subseteq / bigcup_ {n = 1} ^ { infty} I_n, / text {and} / \ tag {ii} sum_ {n = 1} ^ N / abs {I_n} & / lt / varepsilon / text {para cada} N. / end {align}) (Esta secuencia de intervalos se llama (varepsilon) - cubierta singular de (bR).)
  • Existe una función continua puntual (f: [0,1] rightarrow / bR) que no es uniformemente continua.
  • Existe una función uniformemente continua de valor positivo (f: [0,1] rightarrow / bR) cuyo infimum es 0.

Desde un punto de vista clásico, estos resultados encajan cuando uno se da cuenta de que palabras como "función" y "número real" deben interpretarse como "función recursiva" y "número real recursivo", respectivamente. Tenga en cuenta que el segundo de los cuatro teoremas recursivos anteriores es un contraejemplo recursivo fuerte a la propiedad de compacidad de cobertura abierta de la línea real (recursiva); y el cuarto es un contraejemplo recursivo del teorema clásico de que cada mapeo uniformemente continuo de un conjunto compacto en (bR) alcanza su infimum.

3.3 Matemáticas constructivas del obispo

El progreso en todas las variedades de matemáticas constructivas fue relativamente lento durante la próxima década y media. Lo que se necesitaba para elevar el perfil del constructivismo en matemáticas era un matemático clásico de primer nivel para demostrar que era posible un desarrollo constructivo exhaustivo del análisis profundo sin un compromiso con los principios no clásicos de Brouwer o con la maquinaria de la teoría de la función recursiva. Esta necesidad se cumplió en 1967, con la aparición de la monografía de Errett Bishop, Fundamentos del análisis constructivo [1967], producto de un sorprendente par de años en los que, trabajando en el estilo informal pero riguroso utilizado por analistas normales, Bishop proporcionó un desarrollo constructivo de una gran parte del análisis del siglo XX, incluido el Teorema de Stone-Weierstrass, el Hahn-Banach y los teoremas de separación,el teorema espectral para operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, los teoremas de convergencia de Lebesgue para integrales abstractas, la medida de Haar y la transformada abstracta de Fourier, los teoremas ergódicos y los elementos de la teoría del álgebra de Banach. (Véase también Bishop & Bridges [1985].) Por lo tanto, de un solo golpe, mintió a la opinión comúnmente expresada con tanta fuerza por Hilbert:

Tomar el principio del medio excluido del matemático sería lo mismo, por ejemplo, que proscribir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños. (Hilbert [1928])

El BISH matemático de Bishop no solo tiene la ventaja de la legibilidad: si abre el libro de Bishop en cualquier página, lo que ve es claramente reconocible como análisis, incluso si, de vez en cuando, sus movimientos en el curso de una prueba pueden parecer extraños para uno estudió el uso de la ley del medio excluido, pero, a diferencia de las matemáticas intuitivas o recursivas, admite muchas interpretaciones diferentes. Las matemáticas intuitivas, las matemáticas constructivas recursivas e incluso las matemáticas clásicas proporcionan modelos de BISH. De hecho, los resultados y las pruebas en BISH pueden interpretarse, con a lo sumo enmiendas menores, en cualquier modelo razonable de matemática computable, como, por ejemplo, la Teoría de la efectividad de tipo dos de Weihrauch (Weihrauch [2000]; Bauer [2005]).

¿Cómo se logra esta interpretación múltiple? Al menos en parte por la negativa de Bishop a precisar su noción primitiva de "algoritmo" o, en sus palabras, "rutina finita". Esta negativa ha llevado a la crítica de que su enfoque carece de la precisión que un lógico esperaría normalmente de un sistema fundamental. Sin embargo, esta crítica se puede superar observando más de cerca lo que los practicantes de BISH realmente hacen cuando prueban teoremas: en la práctica, hacen matemáticas con lógica intuicionista. La experiencia muestra que la restricción a la lógica intuicionista siempre obliga a los matemáticos a trabajar de una manera que, al menos informalmente, puede describirse como algorítmica; entonces las matemáticas algorítmicas parecen ser equivalentes a las matemáticas que usan solo lógica intuicionista. Si ese es el caso,entonces podemos practicar matemáticas constructivas usando lógica intuicionista en cualquier objeto matemático razonablemente definido, no solo en una clase de "objetos constructivos".

Esta visión, más o menos, parece haber sido presentada por primera vez por Richman [1990, 1996]. Tomando la lógica como la característica principal de las matemáticas constructivas, no refleja la primacía de las matemáticas sobre la lógica que era parte de la creencia de Brouwer, Heyting, Markov, Bishop y otros pioneros del constructivismo. Por otro lado, captura la esencia de las matemáticas constructivas en la práctica.

Así, uno podría distinguir entre el constructivismo ontológico de Brouwer y otros que son conducidos a las matemáticas constructivas a través de la creencia de que los objetos matemáticos son creaciones mentales, y el constructivismo epistemológico de Richman y aquellos que ven las matemáticas constructivas como caracterizadas por su metodología, basada en el uso de lógica intuicionista. Por supuesto, el primer enfoque del constructivismo conduce inevitablemente al segundo; y este último ciertamente no es inconsistente con una ontología brouweriana.

Para hacer matemática real necesitamos más que solo lógica intuicionista. Para Bishop, los componentes básicos de las matemáticas fueron los enteros positivos (véase la cita de Bishop [1967] en la Sección 3.1 anterior). Entre los primeros sistemas formales para BISH se encontraban los fundamentos axiomáticos de Myhill [1975] basados en nociones primitivas de número, conjunto y función; Sistema de Feferman [1975] para las matemáticas explícitas; y la teoría de conjuntos intuitiva ZF de Friedman [1977]. Las dos bases formales más favorecidas de BISH en esta etapa son la teoría de conjuntos CZF de Aczel y Rathjen [2000], y la teoría del tipo intuicionista de Martin-Löf [1975, 1984].

3.4 Teoría constructiva del tipo de Martin-Löf

Antes de finalizar nuestro recorrido por las variedades de las matemáticas constructivas modernas, visitamos una cuarta variedad, basada en la teoría de tipo intuitiva (ML) de Per Martin-Löf. Martin-Löf publicó sus Notas sobre matemáticas constructivas [1968], basadas en conferencias que había dado en Europa en 1966-1968; Por lo tanto, su participación en el constructivismo en las matemáticas se remonta al menos al período en que Bishop escribió los Fundamentos del análisis constructivo. El libro de Martin-Löf está en el espíritu de RUSS, en lugar de BISH; de hecho, su autor no tuvo acceso al libro de Bishop hasta que terminó su propio manuscrito. Martin-Löf más tarde dirigió su atención a su teoría de los tipos como base para las matemáticas constructivas al estilo de Bishop.

Aquí, en sus propias palabras, hay una explicación informal de las ideas subyacentes a ML:

Pensaremos en objetos matemáticos o construcciones. Cada objeto matemático es de cierto tipo o tipo [… y] siempre se da junto con su tipo. … Un tipo se define al describir lo que tenemos que hacer para construir un objeto de ese tipo. … Dicho de otra manera, un tipo está bien definido si entendemos … lo que significa ser un objeto de ese tipo. Así, por ejemplo, (bN / rightarrow / bN) [funciones de (bN) a (bN)] es un tipo, no porque conozcamos funciones teóricas de números particulares como las primitivas recursivas, sino porque creemos que entendemos la noción de función teórica de números en general. (Martin-Löf [975])

En particular, en este sistema cada proposición puede representarse como un tipo: a saber, el tipo de pruebas de la proposición. Por el contrario, cada tipo determina una proposición: a saber, la proposición de que el tipo en cuestión está habitado. Entonces, cuando pensamos en cierto tipo (T) como una proposición, interpretamos la fórmula

[x / en T)

como "(x) es una prueba de la proposición (T)".

Martin-Löf continúa construyendo nuevos tipos, como productos cartesianos y uniones disjuntas, de los antiguos. Por ejemplo, el producto cartesiano

[(Pi x / en A) B (x))

es el tipo de funciones que toman un objeto arbitrario (x) de tipo (A) en un objeto de tipo (B (x)). En la interpretación de proposiciones como pruebas, donde (B (x)) representa una proposición, el producto cartesiano anterior corresponde a la proposición universal

[(forall x / en A) B (x).)

Martin-Löf distingue cuidadosamente entre pruebas y derivaciones: un objeto de prueba es testigo del hecho de que alguna proposición ha sido probada; mientras que una derivación es el registro de la construcción de un objeto de prueba. Además, ejerce dos formas básicas (una no se atreve a decir "tipos" aquí) de juicio. El primero es una relación entre objetos de prueba y proposiciones, el segundo es una propiedad de algunas proposiciones. En el primer caso, el juicio es uno que un objeto de prueba (a) es testigo de una proposición (A), o uno que dos objetos de prueba (a) y (b) son igual y ambos atestiguan que (A) ha sido probado. El primer caso de la segunda forma de juicio establece que una proposición (A) está bien formada, y el segundo registra que dos proposiciones (A) y (B) son iguales.

Existe un conjunto de reglas cuidadoso y altamente detallado para formalizar el LD. No entraremos en eso aquí, pero remitiremos al lector a otras fuentes como Sambin y Smith [1998].

Cuando realmente se hace matemática constructiva en la teoría de tipos, a menudo se necesita equipar conjuntos (tipos) completamente presentados con una relación de equivalencia, la combinación se conoce como setoide. Las asignaciones son funciones que respetan esas relaciones de equivalencia. Esto está muy de acuerdo con la forma en que Bishop presentó su teoría informal de conjuntos. Los tipos dependientes de Martin-Löf son útiles para construir subconjuntos. Por ejemplo, los números reales se pueden construir usando el tipo (Sigma) (ver Martin-Löf [1984]):

[(Sigma x / in / bN _ + / rightarrow / bQ) (Pi m / in / bN _ +) (Pi n / in / bN _ +) left) abs {x_ {m} - x_ {n }} le / left (frac {1} {m} + / frac {1} {n} right) right],)

Un elemento de este tipo (B) es, por lo tanto, un par que consiste en una secuencia convergente (bx) de racionales y una prueba (p) de que es convergente. Una relación de equivalencia adecuada ({ sim}) en (R) se define tomando ((x, p) sim (y, q)) como media

) forall m / in / bN_ + / left (abs {x_ {m} - y_ {m}} le / frac {2} {m} right).)

El setoide resultante de los números reales es (bR = (R, { sim})). Podemos demostrar fácilmente que

) forall x / in / bR \, / exist n / in Z (n / lt x / lt n + 2))

y luego, utilizando el axioma de tipo teórico de elección (ver la Sección 4 a continuación), encuentre una función (f: / bR / rightarrow / bZ) tal que (f (x) lt x / lt f (x) +2). Sin embargo, no hay razón para creer que la función (f) respeta las relaciones de equivalencia, es decir, que (f (x) = f (y)) se cumple si (x / sim y).

Cada prueba constructiva incorpora un algoritmo que, en principio, puede extraerse y relanzarse como un programa de computadora; Además, la prueba constructiva es en sí misma una verificación de que el algoritmo es correcto, es decir, cumple con sus especificaciones. Una ventaja importante del enfoque formal de Martin-Löf para las matemáticas constructivas es que facilita enormemente la extracción de programas de las pruebas. Esto ha llevado a un trabajo serio en la implementación de las matemáticas constructivas en varios lugares (ver Martin-Löf [1980], Constable [1986], Hayashi y Nakano [1988], Schwichtenberg [2009]). Algunas implementaciones recientes de la teoría de tipos para la extracción de pruebas son Coq y Agda (ver los enlaces en Otros recursos de Internet).

4. El axioma de elección

El axioma completo de elección puede expresarse de la siguiente manera:

Si (A, B) son conjuntos habitados, y (S) un subconjunto de (A / times B) tal que

) forall x / en A \, / existe y / en B ((x, y) en S),)

entonces existe una función de elección (f: A / rightarrow B) tal que

) forall x / en A ((x, f (x)) en S).)

Ahora, si esto se mantiene bajo una interpretación constructiva, entonces para un determinado (x / en A), el valor (f (x)) de la función de elección dependerá no solo de (x) sino también en los datos que prueban que (x) pertenece a (A.) En general, no podemos esperar producir una función de elección de este tipo. Sin embargo, la interpretación BHK de las hipótesis en el axioma es que hay un algoritmo (mathcal {A}) que, aplicado a cualquier (x / en A), produce un elemento (y / en B) tal que ((x, y) en S). Si (A) es un conjunto completamente presentado, uno para el cual no se requiere ningún trabajo más allá de la construcción de cada elemento en el conjunto para demostrar que el elemento realmente pertenece a (A), entonces podríamos esperar razonablemente que el algoritmo (mathcal {A}) para ser una función de elección. En la teoría de tipos de Martin-Löf, cada conjunto se presenta por completo y,de acuerdo con la interpretación de BHK, el axioma de elección es derivable.

Por otro lado, en matemáticas al estilo de Bishop, los conjuntos completamente presentados ––– o, en su terminología, básicos ––– son raros, un ejemplo es (bN); entonces podríamos esperar que el axioma de elección no sea derivable. De hecho, como lo demostraron Diaconescu [1975] y Goodman & Myhill [1978], y prefigurado por el propio Bishop en el problema 2 en la página 58 de Bishop 1967, el axioma de elección implica la ley del medio excluido. Claramente, el teorema de Diaconescu-Goodman-Myhill se aplica solo bajo el supuesto de que no todos los conjuntos se presentan por completo.

Los matemáticos constructivos que no trabajan en ML generalmente rechazan el axioma de elección completo, pero adoptan el axioma de elección contable, en el que el dominio de elección es (bN) y la elección dependiente. Pero algunos prefieren trabajar sin una opción contable, ya que hablar de una infinidad de opciones sin dar una regla presenta una dificultad que es igual de grande si el infinito es o no numerable. Curiosamente, Lebesgue hizo precisamente este punto en una carta a Borel (véase Moore [2013], página 316):

Estoy completamente de acuerdo con Hadamard cuando afirma que hablar de una infinidad de opciones sin dar una regla presenta una dificultad que es igual de grande si el infinito es o no numerable.

El efecto de abandonar incluso la elección contable es la exclusión de muchos teoremas que, tal como están, se prueban utilizando argumentos secuenciales basados en la elección. Pero aquellos que abogan por evitar la elección argumentarán que evitar la elección te obliga a formular mejor las cosas.

Un caso particular de interés es el Teorema fundamental del álgebra: cada polinomio complejo tiene al menos una raíz en el plano complejo. Richman [2000] ha demostrado que sin una opción contable, aunque solo podemos construir raíces aisladas (posiblemente múltiples), podemos construir aproximaciones cercanas arbitrarias al conjunto múltiple de raíces. Tal enfoque se centra en encontrar una factorización lineal aproximada del polinomio, en lugar de encontrar aproximaciones separadas para cada una de sus raíces.

Para un análisis más detallado del axioma de elección en la teoría de conjuntos y la teoría de tipos, véase Martin-Löf [2006], y las entradas de SEP sobre teoría de categorías, teoría de tipos y teoría de tipos intuitiva.

5. Matemática inversa constructiva

En la década de 1970, Harvey Friedman inició un programa de investigación de matemática inversa, con el objetivo de clasificar los teoremas matemáticos de acuerdo con su equivalencia a uno de un pequeño número de principios de teoría de conjuntos (Friedman 1975). Esta clasificación revela interesantes, a veces notables, diferencias en la complejidad de la teoría de la prueba. Por ejemplo, aunque el teorema de Ascoli-Arzelà se usa en la prueba estándar del teorema de existencia de Peano para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (Hurewicz [1958], página 10), un análisis matemático inverso muestra que el primero es equivalente a un estrictamente más fuerte principio teórico de conjuntos que el equivalente al teorema de Peano (Simpson [1984], Teoremas 3.9 y 4.2). El tratado estándar sobre la matemática inversa clásica es (Simpson [1999/2009]).

A comienzos de este siglo, Veldman (ver Otros recursos de Internet), en los Países Bajos e Ishihara [2005, 2006], en Japón, inició de forma independiente un programa de matemática inversa constructiva (CRM), basado en la intuición, más que en la clásica. lógica. (Tenga en cuenta, sin embargo, que el primer trabajo publicado en la era moderna de CRM es probablemente el de Julian y Richman [1984], que estaba veinte años adelantado a su tiempo). En esta sección del artículo, describimos un enfoque menos formal CRM, en el estilo y marco de BISH. El objetivo de ese programa CRM es clasificar los teoremas en los tres modelos estándar, CLASS, INT y RUSS, de acuerdo con los principios que debemos y necesitamos agregar a BISH para probarlos.

Hacemos hincapié en que nos limitamos aquí al CRM informal, en el que damos por sentado los principios de construcción de funciones y conjuntos descritos en los primeros capítulos de Bishop [1967] u Bishop & Bridges [1985], y trabajamos en el sector informal., aunque riguroso, el estilo del analista practicante, algebraista, topólogo, …

En la práctica, CRM se divide naturalmente en dos partes. En el primero de ellos, consideramos un teorema (T) de INT o RUSS, y tratamos de encontrar algún principio, válido en ese modelo y que no sea (T), cuya adición a BISH es necesaria y suficiente para Una prueba constructiva de (T). En la segunda parte de CRM, tratamos con un teorema (T) de CLASE que sospechamos que no es constructivo, y tratamos de demostrar que (T) es equivalente, sobre BISH, a uno de varios conocidos esencialmente. principios no constructivos, como MP, LLPO, LPO o LEM. Para un ejemplo de esta parte de CRM, mencionamos nuestra prueba anterior de que el principio clásico de límite superior mínimo implica, y por lo tanto es equivalente a, LEM.

Por cierto, hay un fuerte argumento para que Brouwer [1921] sea el primero en tratar las ideas de matemática inversa: sus contraejemplos brouwerianos (vea el que usa la conjetura de Goldbach, en la Sección 1 anterior) se encuentran directamente en la segunda parte de CRM. Incluso si Brouwer no declarara esos ejemplos como equivalencias lógicas, sino como implicaciones del tipo

[P / Rightarrow / text {algún principio no constructivo},)

Es difícil creer que él no sabía que el lado derecho implicaba el izquierdo en tales casos.

5.1 Teoremas del ventilador en CRM

Para ilustrar la primera parte de CRM, ahora nos concentramos en teoremas del tipo

) text {BISH} vdash / text {FT} _? / Leftrightarrow T,)

donde FT (_?) es alguna forma del teorema del ventilador de Brouwer, y (T) es un teorema de INT. Para hacerlo, necesitamos distinguir entre ciertos tipos de barra para el ventilador binario completo (2 ^ *) (el conjunto de todas las secuencias finitas en ({0,1 })).

Deje que (alpha / equiv (alpha_1, / alpha_2, / ldots)) sea una secuencia binaria finita o infinita. La concatenación de (alpha) con otra cadena (beta) es

) alpha ^ { frown} beta / equiv (alpha_1, / alpha_2, / ldots, / alpha_n, / beta_1, / ldots, / beta_m).)

Para (b) en ({0,1 }) escribimos (alpha ^ { frown} b) en lugar de (alpha ^ { frown} (b)). Por a (mathsf {c}) - subconjunto de (2 ^ *) queremos decir un subconjunto (B) de (2 ^ *) tal que

) tag {1} B = {u / in 2 ^ *: / forall v / in 2 ^ * (u ^ { frown} v / in D) })

para algún subconjunto desmontable (D) de (2 ^ *). Cada subconjunto desmontable de (2 ^ *) es un subconjunto (mathsf {c}). Por otro lado, por un (Pi ^ {0} _1) - subconjunto de (2 ^ *) queremos decir un subconjunto (B) de (2 ^ *) con la siguiente propiedad: existe un subconjunto desmontable (S) de (2 ^ * / times / bN) tal que

) forall u / in 2 ^ * \, / forall n / in / bN \, ((u, n) in S / Rightarrow (u ^ { frown} 0, n) in S / wedge (u ^ { fruncir el ceño} 1, n) en S))

y

[B = {u / in 2 ^ *: / forall n / in / bN ((u, n) in S) }.)

Cada (mathsf {c}) - subconjunto (B) de (2 ^ *) es un subconjunto (Pi ^ {0} _1): simplemente tome (S = D / times / bN), donde (D) es un subconjunto desmontable de (2 ^ *) tal que (1) se mantiene.

Si (?) Denota una propiedad de subconjuntos de (2 ^ *), entonces el teorema del abanico de Brouwer para (?) - bars nos dice que cada barra con la propiedad (?) Es una barra uniforme. Estamos particularmente interesados en el teorema del ventilador para barras desmontables (ya discutido en la Sección 3.1):

FT (_ D): cada barra desmontable del ventilador binario completo es uniforme;

El teorema del ventilador para (mathsf {c}) - barras (es decir, barras que son (mathsf {c}) - subconjuntos):

FT (_ { mathsf {c}}): cada barra c del abanico binario completo es uniforme;

El teorema del ventilador para (Pi ^ {0} _1) - barras (es decir, barras que son (Pi ^ {0} _1) - subconjuntos):

FT (_ { Pi ^ {0} _1}): Cada (Pi ^ {0} _1) - la barra del abanico binario completo es uniforme;

y el teorema completo de los fanáticos:

FT: Cada barra del abanico binario completo es uniforme.

Tenga en cuenta que, en relación con BISH, FT (Rightarrow) FT (_ { Pi ^ {0} _1} Rightarrow) FT (_ c / Rightarrow) FT (_ D).

Lubarsky y Diener [2014] han demostrado que estas implicaciones son estrictas.

Por lo general, queremos demostrar que FT (_?) Es equivalente, sobre BISH, a la proposición de que, para cada conjunto (S) de un tipo apropiado, alguna propiedad puntual del formulario

) tag {2} forall x / en S / existe t / en TP (s, t))

en realidad se mantiene uniformemente en la forma

) tag {3} existe t / en T / forall s / en SP (s, t).)

Nuestra estrategia para atacar este problema es doble. Primero, dado un conjunto (S) del tipo apropiado, construimos un subconjunto (N) de (2 ^ *) tal que

  • si (2) se mantiene, entonces (B) es una barra, y
  • si (B) es una barra uniforme, entonces (3) se mantiene.

Esto, sin embargo, es solo la mitad de la solución. Para demostrar que la implicación de (3) a (2) implica FT (_?), Consideramos un subconjunto (B) de (2 ^ *) y construimos un conjunto correspondiente (S) tal que

  • si (B) es una barra, entonces (2) se mantiene, y
  • si (3) se mantiene, entonces (B) es una barra uniforme.

El ejemplo canónico de tales resultados es el de Julian y Richman [1984], en el que (S) es el conjunto de valores de un mapeo dado uniformemente continuo (f: [0,1] rightarrow / bR, T) es el conjunto de números reales positivos, y

[P (s, t) equiv (s / ge t).)

La propiedad puntual que consideramos es

) forall x / en [0,1] existe t / gt 0 (f (x) ge t),)

siendo su versión uniforme

) existe t / gt 0 / forall x / en [0,1] (f (x) ge t).)

Los resultados de Julian-Richman son los siguientes.

Teorema 1: Sea (f: [0,1] rightarrow / bR) ser uniformemente continuo. Entonces existe un subconjunto desmontable (B) de (2 ^ *) tal que

  • si (f (x) gt 0) para cada (x / en [0,1]), entonces (B) es una barra, y
  • si (B) es una barra uniforme, entonces (inf f / gt 0).

Teorema 2: Sea (B) un subconjunto desmontable de (2 ^ *). Entonces existe un uniformemente continuo (f: [0,1] rightarrow / bR) tal que

  • si (B) es una barra, entonces (f (x) gt 0) para cada (x / in [0,1]), y
  • si inf (f / gt 0), entonces (B) es una barra uniforme.

Las pruebas de estos dos teoremas son sutiles y difíciles; ver Julian y Richman [1984].

Los dos teoremas de Julian-Richman juntos revelan que, en relación con BISH, el teorema del ventilador FT (_ D) es equivalente al principio de positividad, POS:

Cada función de valor positivo y uniformemente continua en ([0,1]) tiene un infimum positivo.

De ello se deduce que POS es derivable en INT, en el que el teorema del ventilador completo, no solo FT (_ D), es un principio estándar. La situación es tranquila, todo lo contrario en RUSS, donde existe una barra desmontable de (2 ^ *) que no es uniforme y una función continua uniformemente de valor positivo en ([0,1]) que tiene un valor mínimo igual a 0; véanse los capítulos 5 y 6 de Bridges & Richman [1987].

Berger e Ishihara [2005] han tomado una ruta indirecta diferente para establecer la equivalencia de POS y FT (_ c). Establecen una cadena de equivalencias entre POS, FT (_ c) y cuatro principios del tipo "si hay como máximo un objeto con propiedad (P), entonces hay uno de esos objetos". Los cuatro principios de existencia única son:

CIN!: Cada secuencia descendente de subconjuntos cerrados cerrados habitados de un espacio métrico compacto con como máximo un punto común tiene una intersección habitada (teorema de intersección de Cantor con unicidad). Tenga en cuenta que un subconjunto (S) de un espacio métrico ((X, / rho)) se encuentra si para cada (x) en (X) existe la distancia mínima de (x) a (S).

MIN!: Cada función uniformemente continua y de valor real en un espacio métrico compacto con un punto mínimo como máximo tiene un punto mínimo.

WKL! Cada árbol infinito con como máximo una rama infinita tiene una rama infinita (el débil lema de König con unicidad).

¡REPARAR!: Cada función uniformemente continua desde un espacio métrico compacto en sí mismo con un punto fijo como máximo y con puntos fijos aproximados tiene un punto fijo.

En, por ejemplo, el último de estos, decimos que un mapa (f) de un espacio métrico ((X, / varrho)) en sí mismo

  • tiene como máximo un punto fijo si (varrho (f (x), x) + / varrho (f (y), y) gt 0) siempre que (varrho (x, y) gt 0);
  • tiene puntos fijos aproximados si para cada (varepsilon / gt 0) existe (x / in X) tal que (varrho (f (x), x) lt / varepsilon).

Un gran problema abierto en CRM es el de encontrar una forma del teorema del ventilador que sea equivalente, sobre BISH, al teorema de continuidad uniforme para ([0,1]), UCT (_ {[0,1]}): cada mapeo continuo puntual de ([0,1]) en (bR) es uniformemente continuo, la proposición para la cual Brouwer desarrolló originalmente su prueba del teorema del abanico. (Tenga en cuenta que UCT (_ {[0,1]}) es equivalente, en relación con BISH, al teorema de continuidad general uniforme para espacios métricos: cada mapeo continuo puntual de un espacio métrico completo y totalmente limitado en un espacio métrico es uniformemente continuo. Véase, por ejemplo, Loeb [2005].)

De los resultados de Berger [2006] se desprende que

BISH (vdash) UCT (_ {[0,1]} Rightarrow) FT (_ c).

Además, Diener y Loeb (2008) han demostrado que

BISH (vdash) FT (_ { Pi ^ {0} _1} Rightarrow) UCT (_ {[0,1]}).

Sin embargo, no sabemos si alguna de estas implicaciones puede ser reemplazada por una bi-implicación. Quizás UCT (_ {[0,1]}), y por lo tanto el teorema de continuidad uniforme completo para espacios métricos compactos, es equivalente, en relación con BISH, a alguna versión natural, pero aún no identificada, del teorema del abanico.

Para material adicional sobre el teorema del abanico en matemática inversa constructiva, ver, por ejemplo, Berger & Bridges [2007]; Diener [2008, 2012]; Diener y Loeb [2009]; y Diener y Lubarsky [2014]. En Dent [2013], hay un diagrama claro, aunque complejo, que ilustra las interconexiones entre los teoremas de los fanáticos, la continuidad y los principios de omnisciencia (ver Otros recursos de Internet).

Los lectores interesados pueden abordar el tema de la matemática inversa constructiva con mayor detalle en el siguiente documento complementario:

El principio de Ishihara (BDN) y la propiedad anti-Specker

6. Álgebra constructiva y topología

Los matemáticos constructivos han tendido a concentrar sus esfuerzos en el campo del análisis, con un éxito considerable como testigo de la riqueza del análisis funcional desarrollado en Bishop [1967]. Esto no significa que, por ejemplo, el álgebra haya quedado al margen de la empresa constructiva: el material en la monografía de Mines et al [1986] puede considerarse como una contraparte algebraica sustancial del análisis constructivo realizado por Bishop. Mucho más recientemente, Lombardi y Quitté [2011] han publicado el primer gran volumen de un trabajo propuesto de dos volúmenes sobre álgebra constructiva. Sin embargo, al no ser expertos en álgebra y ser conscientes del peligro de hacer que este artículo sea demasiado largo para llamar la atención del lector, optamos por no analizar el análisis constructivo o el álgebra en detalle; más bien, en el siguiente documento complementario,pasamos a la topología constructiva, describiendo algunos enfoques bastante diferentes a ese tema:

Enfoques de topología constructiva

7. Economía matemática constructiva y finanzas

Las investigaciones en economía matemática constructiva se remontan a una serie de documentos sobre preferencia, utilidad y demanda desde 1982 en adelante; ver Puentes [1999]. En su tesis doctoral, Hendtlass [2013] debilitó sustancialmente las condiciones para la existencia de una función de demanda; También produjo una gran cantidad de resultados en la teoría del punto fijo y sus aplicaciones, en particular a las constructivizaciones de dos pruebas clásicas de la existencia de un equilibrio económico.

En 2015, Berger y Svindland comenzaron un proyecto de investigación sobre finanzas matemáticas constructivas, en Ludwig-Maximilians-Universität en Munich. Primero demostraron que el teorema fundamental sobre fijación de precios de activos, el teorema del hiperplano de separación y el Principio de Markov son constructivamente equivalentes (Berger y Svindland [2016]). Su trabajo más reciente se ha concentrado en cómo eludir la no constructividad del teorema clásico del valor extremo para demostrar la existencia de puntos extremos para funciones en presencia de propiedades de convexidad incluso relativamente débiles (Berger y Svindland [2016a]). Su proyecto sugiere que las finanzas matemáticas, como la economía matemática, pueden ser una rica fuente de teoremas constructivos elegantes y prácticos.

8. Observaciones finales

La ruta tradicional tomada por los matemáticos que desean analizar el contenido constructivo de las matemáticas es la que sigue la lógica clásica; Para evitar decisiones, como si un número real es igual o no a 0, que una computadora real no puede tomar, el matemático debe mantenerse dentro de límites algorítmicos estrictos, como los formados por la teoría de la función recursiva. Por el contrario, la ruta tomada por el matemático constructivo sigue la lógica intuicionista, que automáticamente se ocupa de las decisiones computacionalmente inadmisibles. Esta lógica (junto con un marco teórico de conjunto o tipo apropiado) es suficiente para mantener las matemáticas dentro de límites constructivos. Por lo tanto, el matemático es libre de trabajar en el estilo natural de un analista, algebraista (por ejemplo, Mines et al. [1988]), geómetra, topólogo (por ejemplo, Bridges &Vîță [2011], Sambin, de próxima publicación) u otro matemático normal, siendo las únicas restricciones impuestas por la lógica intuicionista. Como Bishop y otros han demostrado, la creencia tradicional promulgada por Hilbert y aún hoy ampliamente difundida, de que la lógica intuicionista impone restricciones que hacen imposible el desarrollo de las matemáticas serias, es evidentemente falsa: grandes partes de las matemáticas modernas y profundas pueden ser, y tener estado, producido por métodos puramente constructivos. Además, el vínculo entre las matemáticas constructivas y la programación es muy prometedor para la futura implementación y desarrollo de las matemáticas abstractas en la computadora. La creencia tradicional promulgada por Hilbert y aún hoy ampliamente difundida, de que la lógica intuicionista impone restricciones que hacen imposible el desarrollo de las matemáticas serias, es evidentemente falsa: grandes partes de las matemáticas modernas y profundas pueden ser, y han sido, producidas por métodos puramente constructivos.. Además, el vínculo entre las matemáticas constructivas y la programación es muy prometedor para la futura implementación y desarrollo de las matemáticas abstractas en la computadora. La creencia tradicional promulgada por Hilbert y aún hoy ampliamente difundida, de que la lógica intuicionista impone restricciones que hacen imposible el desarrollo de las matemáticas serias, es evidentemente falsa: grandes partes de las matemáticas modernas y profundas pueden ser, y han sido, producidas por métodos puramente constructivos.. Además, el vínculo entre las matemáticas constructivas y la programación es muy prometedor para la futura implementación y desarrollo de las matemáticas abstractas en la computadora. El vínculo entre las matemáticas constructivas y la programación es muy prometedor para la futura implementación y desarrollo de las matemáticas abstractas en la computadora. El vínculo entre las matemáticas constructivas y la programación es muy prometedor para la futura implementación y desarrollo de las matemáticas abstractas en la computadora.

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Otros recursos de internet

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