Estilo Matemático

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Estilo matemático

Publicado por primera vez el jueves 2 de julio de 2009; revisión sustantiva mié 9 de agosto de 2017

El ensayo comienza con una taxonomía de los principales contextos en los que se ha recurrido a la noción de "estilo" en matemáticas desde principios del siglo XX. Estos incluyen el uso de la noción de estilo en las historias culturales comparativas de las matemáticas, en la caracterización de los estilos nacionales y en la descripción de la práctica matemática. Estos desarrollos se relacionan con el tratamiento más familiar del estilo en la historia y la filosofía de las ciencias naturales, donde se distinguen los estilos "locales" y "metodológicos". Se argumenta que el locus natural del "estilo" en las matemáticas se encuentra entre los estilos "local" y "metodológico" descritos por los historiadores y filósofos de la ciencia. Finalmente, la última parte del ensayo revisa algunos de los principales relatos de estilo en matemáticas, debido a Hacking y Granger,y prueba sus implicaciones epistemológicas y ontológicas.

  • 1. Introducción
  • 2. El estilo como concepto central en las historias culturales comparadas.
  • 3. Estilos nacionales en matemáticas.
  • 4. Matemáticos sobre el estilo.
  • 5. El lugar del estilo
  • 6. Hacia una epistemología del estilo.
  • 7. Conclusión
  • Bibliografía
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Introducción

El objetivo de este ensayo es examinar y analizar la literatura sobre estilo en historia y filosofía de las matemáticas. En particular, el problema de cómo se puede abordar filosóficamente la noción de "estilo" en matemáticas se abordará hacia el final. Aunque este no es uno de los temas canónicos en filosofía de las matemáticas, la presentación aprovechará las discusiones relevantes sobre el estilo en la historia y la filosofía de la ciencia.

Hablar de matemáticas en términos de estilo es un fenómeno bastante común. Uno encuentra tales apelaciones a las características estilísticas en matemáticas a principios del siglo XVII. Bonaventura Cavalieri, por ejemplo, ya en 1635 contrasta sus técnicas indivisibilistas con el estilo Arquímedes:

Sé, de hecho, que todas las cosas mencionadas anteriormente [los propios teoremas de Cavalieri obtenidos por pruebas indivisibilistas] pueden reducirse al estilo de Arquímedes. (En latín original: "Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse". (Cavalieri 1635, 235)).

Más adelante en el siglo es más fácil encontrar ejemplos. Por ejemplo, Leibniz (1701, 270–71) escribe: “El análisis no difiere del estilo de Arquímedes, excepto por las expresiones que son más directas y más apropiadas para el arte del descubrimiento” (francés: “L'analyse ne diffère du style d 'Archimède que dans les expresiones, qui sont plus directes et plus conformes à l'art d'inventer”). Es un hecho interesante que tales eventos son anteriores al uso generalizado de la noción de estilo en la pintura, que solo data de la década de 1660 (los eventos esporádicos, como se señaló en Sauerländer 1983, también se encuentran en el siglo XVI). A principios del siglo XVII, la palabra elegida en la pintura era "manière" (ver Panofsky 1924; traducción al inglés (1968, 240)). Aquí hay un par de ejemplos adicionales de los siglos XIX y XX. Chasles en su Aperçu historique (1837) hablando sobre Monge dice:

Inició una nueva forma de escribir y hablar sobre esta ciencia. El estilo, de hecho, está tan íntimamente unido al espíritu de una metodología que debe avanzar a la par; asimismo, si lo ha anticipado, el estilo necesariamente debe ejercer una poderosa influencia sobre él y sobre el progreso general de la ciencia. (Chasles, 1837, §18, 207)

Otro ejemplo proviene de la evaluación de Edward del enfoque de Dedekind a las matemáticas:

La brillantez de Kronecker no se puede dudar. Si hubiera tenido una décima parte de la capacidad de Dedekind para formular y expresar sus ideas con claridad, su contribución a las matemáticas podría haber sido incluso mayor que la de Dedekind. Como es, sin embargo, su brillantez, en su mayor parte, murió con él. El legado de Dedekind, por otro lado, consistió no solo en importantes teoremas, ejemplos y conceptos, sino en todo un estilo matemático que ha sido una inspiración para cada generación sucesiva. (Edwards 1980, 20)

Obviamente, uno podría acumular citas del mismo tipo (ver, entre otros, Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005, Weiss 1939, Wisan 1981) pero eso no sería muy interesante. Incluso en matemáticas, el estilo abarca desde 'estilos individuales' hasta 'estilos nacionales' y 'estilos epistémicos', entre otros. Lo que se necesita es, en primer lugar, comprender los principales contextos en los que se produce la apelación al "estilo" en matemáticas, aunque este ensayo no contendrá mucha discusión sobre los "estilos individuales" (ejemplos de esto incluirían, para seguir una sugerencia de Enrico Bombieri, los estilos "muy personales" de Euler, Ramanujan, Riemann, Serre y A. Weil).

En muchos casos, la apelación a la noción de estilo se concibe como prestada de las bellas artes y algunos casos se discutirán inmediatamente. Harwood 1993 afirma que "el concepto de estilo fue ideado para clasificar los patrones culturales observados en el estudio de las bellas artes". Wessely 1991 habla de "transferir ese concepto [de estilo] a la historia de la ciencia" (265). Si bien esto podría ser cierto para el siglo XX (véase también Kwa 2012), uno debe tener en cuenta, como se señaló anteriormente, que esta afirmación debe ser calificada para el siglo XVII.

2. El estilo como concepto central en las historias culturales comparadas

A pesar de las advertencias anteriores, es un hecho que algunas apelaciones importantes del siglo XX a la categoría de estilo en matemáticas lo han hecho en referencia a las artes. Esto es especialmente cierto para aquellos autores que fueron motivados por la contabilidad de manera unificada para la producción cultural de la humanidad y que vieron así una uniformidad en los procesos de producción científica y artística. Fue en ese contexto que Oswald Spengler en The Decline of the West (1919, 1921) intentó una morfología de la historia mundial y afirmó que la historia de las matemáticas se caracterizó por diferentes épocas estilísticas que dependían de la cultura que la produjo:

El estilo de cualquier matemática que surge, depende totalmente de la cultura en la que está arraigado, el tipo de humanidad que lo reflexiona. El alma puede aportar sus posibilidades inherentes al desarrollo científico, puede gestionarlas prácticamente, puede alcanzar los niveles más altos en su tratamiento de ellas, pero es bastante impotente para alterarlas. La idea de la geometría euclidiana se actualiza en las primeras formas de adorno clásico, y la del cálculo infinitesimal en las primeras formas de arquitectura gótica, siglos antes de que nacieran los primeros matemáticos eruditos de las respectivas culturas. (Spengler 1919, 59)

No solo existen paralelismos entre las matemáticas y otras producciones artísticas de una cultura. Confiando en la declaración de Goethe de que el matemático completo "siente dentro de sí la belleza de lo verdadero" y en el pronunciamiento de Weierstrass de que "quien no es al mismo tiempo un poeta nunca será un verdadero matemático", Spengler pasó a caracterizar las matemáticas en sí mismo como un arte:

La matemática, entonces, es un arte. Como tal, tiene sus estilos y períodos de estilo. No es, como el laico y el filósofo (que también es un laico en este asunto) imaginan, sustancialmente inalterable, pero sujeto como todo arte a cambios inadvertidos de época en época. (Spengler 1919, 62)

El tratamiento más extenso que se basa en el paralelismo entre el arte y las matemáticas y explota la noción de estilo como categoría central para un análisis de la historia de las matemáticas es la de Max Bense. En un libro titulado apropiadamente Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946), Bense dedicó un capítulo entero (cap. 2) a articular cómo la noción de estilo se aplica a las matemáticas. Para Bense el estilo es forma:

Porque el estilo es forma, forma esencial, y designamos esta forma como "Estética", si controla categóricamente lo sensible, un material. (Bense 1946, 118)

Bense vio la historia del arte y la historia de las matemáticas como aspectos de la historia de la mente [Geistesgeschichte]. De hecho, "el estilo se da donde la imaginación humana y la capacidad de expresión llegan a la creación". Bense ciertamente era propenso a establecer paralelismos entre los estilos en la historia del arte y los estilos en matemáticas (trató especialmente los estilos barroco y romántico en su libro) pero mantuvo, en oposición a Spengler, la naturaleza del arte y las matemáticas separadas. De hecho, reconoció que una historia estilística de las matemáticas no podía reducirse "a una coincidencia entre ciertas tendencias formales matemáticas y los grandes estilos artísticos-visiones del mundo-espirituales de épocas individuales como el Renacimiento, el Clasicismo, el Barroco o el Romanticismo" (p.132;Véanse Fleckenstein 1955 y Wisan 1981 para obtener paralelos más recientes entre el barroco en el arte y las matemáticas del siglo XVII). Se refirió a "Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus" de Felix Klein para señalar que ciertas líneas de desarrollo caracterizadas por Klein podrían verse como señalando estilos en la historia del desarrollo de las matemáticas (ver Klein 1924, 91).

Intentos como el atractivo de Spengler y Bense ciertamente para aquellos teóricos a quienes les gustaría usar la categoría de estilo como una herramienta para describir y tal vez explicar los patrones culturales. Sin embargo, dejan al lector que tiene conocimientos de matemáticas y / o historia del arte escéptico debido a los paralelos usualmente exagerados que se supone que proporcionan evidencia de la cuenta. Por supuesto, esto no es rechazar en última instancia el enfoque o la utilidad de la adecuación de la categoría de estilo en matemáticas, pero a uno le gustaría que su uso esté más directamente relacionado con aspectos de la práctica matemática.

En general, se pueden distinguir dos tipos de teorización que pueden asociarse con tales intentos. El primero es puramente descriptivo, o taxonómico, y se satisface al mostrar ciertos patrones comunes entre cierta área de pensamiento, como las matemáticas y otros productos culturales de una determinada sociedad. El segundo enfoque presupone el primero, pero también indaga sobre las causas que explican la presencia de cierto estilo de pensamiento o producción y normalmente trata de atribuirlo a factores psicológicos o sociológicos. En Spengler y Bense hay elementos de ambos, aunque el énfasis está más en los paralelos que en las causas subyacentes o que explican los paralelos.

Los intentos de extender el uso del concepto de estilo en el arte a otros dominios de los esfuerzos humanos abundan a principios del siglo XX. Un caso bien conocido es el intento sociológico de Mannheim de caracterizar los estilos de pensamiento dentro de diferentes grupos sociales (Mannheim, 1928). Si bien Mannheim no había excluido el pensamiento científico del ámbito del análisis sociológico del conocimiento, no buscó activamente dicho análisis. Por el contrario, Ludwik Fleck practicó un análisis sociológico de la ciencia en el que los "estilos de pensamiento" desempeñaron un papel central. Sin embargo, Fleck se centró en la medicina (Fleck, 1935).

Aquí es importante señalar que la noción de estilo de pensamiento ha recibido, en general, dos desarrollos diferentes en la investigación contemporánea, que también afectan las matemáticas. Primero, existe la noción encontrada en Fleck. Dependiendo de cuán generoso se quiera ser al establecer conexiones, se podría ver que este enfoque de los estilos de pensamiento está relacionado con el trabajo posterior de Kuhn, Foucault y Hacking (ver más abajo para una discusión sobre Hacking). Sin embargo, hay una forma diferente de pensar sobre los estilos de pensamiento, que generalmente se conoce con el nombre de estilos cognitivos. Esta es un área de interés para psicólogos cognitivos y educadores matemáticos (para una visión general de la investigación psicológica en esta área, ver Riding 2000 y Stenberg y Grigorenko 2001). Aquí la atención se centra en la composición psicológica del individuo que muestra preferencia por un cierto estilo cognitivo, ya sea en el aprendizaje, la comprensión o el pensamiento acerca de las matemáticas (es decir, el procesamiento y la organización de la información matemática). La antigua distinción entre matemáticos visuales y analíticos enfatizada por Poincaré (ver Poincaré 1905) sigue siendo parte de la imagen, aunque hay una gran variedad de modelos y clasificaciones. Para una descripción histórica y una propuesta teórica centrada en las matemáticas, ver Borromeo Ferri 2005. La antigua distinción entre matemáticos visuales y analíticos enfatizada por Poincaré (ver Poincaré 1905) sigue siendo parte de la imagen, aunque hay una gran variedad de modelos y clasificaciones. Para una descripción histórica y una propuesta teórica centrada en las matemáticas, ver Borromeo Ferri 2005. La antigua distinción entre matemáticos visuales y analíticos enfatizada por Poincaré (ver Poincaré 1905) sigue siendo parte de la imagen, aunque hay una gran variedad de modelos y clasificaciones. Para una descripción histórica y una propuesta teórica centrada en las matemáticas, ver Borromeo Ferri 2005.

En el área de la historia y la filosofía de las matemáticas, no hay relatos largos de estilos matemáticos que expliquen la aparición de cierto estilo con categorías sociológicas o psicológicas (aunque Netz 1999 ha sido de interés para los teóricos del estilo como un intento de una historia cognitiva de un segmento importante de las matemáticas griegas). Esto contrasta con los libros de historia de las ciencias naturales como Harwood 1993, cuyo objetivo es explicar el surgimiento del estilo de pensamiento de la comunidad genética alemana a través de argumentos sociológicos. Lo más cercano a tal explicación es la concepción de Bieberbach del estilo en las matemáticas como dependiente de factores psicológicos y raciales. Será discutido en la próxima sección sobre estilos nacionales.

3. Estilos nacionales en matemáticas

Algo menos ambicioso que los intentos anteriores de una historia general de producciones culturales humanas o paralelos de largo alcance entre el arte y las matemáticas consiste en el uso de la noción de estilo como categoría historiográfica en la historia de las matemáticas sin una referencia particular al arte u otro ser humano. actividades culturales. Si uno se remonta a principios del siglo XX, se encuentra que a menudo se hace referencia a los "estilos nacionales" para clasificar ciertas características que caracterizan la producción matemática que parecían encajar perfectamente dentro de las líneas nacionales. En la historia de la ciencia, a menudo se han estudiado tales casos de "estilos nacionales". Uno debería recordar aquí el libro de J. Harwood, Styles of Scientific Thought (1993) y las contribuciones de Nye 1986, Maienschein 1991 y Elwick 2007. Un caso de interés para las matemáticas es la oposición entre el estilo francés y alemán en matemáticas estudiado por Herbert Mehrtens.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) describe, en términos de estilos, el conflicto en matemáticas entre "formalistas" y "lógicos" por un lado e "intuicionistas" por otro lado como una batalla entre dos concepciones de las matemáticas (ver también Gray 2008 para una toma crítica del enfoque de Mehrtens mientras enfatiza la transformación "modernista" de las matemáticas). Hilbert y Poincaré se usan como paradigmas para las fuentes de la oposición que más tarde condujeron al debate fundacional de Hilbert-Brouwer en la década de 1920 (sobre la historia del debate de Brouwer-Hilbert, ver Mancosu 1998). Mehrtens también señala que esta oposición no corría necesariamente a lo largo de las líneas nacionales, ya que, por ejemplo, Klein podría verse tan cerca de Poincaré. En efecto,cierto internacionalismo en las matemáticas fue dominante a fines del siglo XIX y principios del siglo XX. Sin embargo, la Primera Guerra Mundial iba a cambiar la situación y dio lugar a fuertes conflictos nacionalistas. Un jugador central en la "nacionalización" de la oposición fue Pierre Duhem, quien opuso el espíritu de delicadeza de los franceses al espíritu de géométrie de los alemanes:

Partir de principios claros … luego progresar paso a paso, pacientemente, minuciosamente, a un ritmo que las reglas de la lógica deductiva disciplinen con extrema severidad: esto es en lo que se destaca el genio alemán; el espíritu alemán es esencialmente esprit de géométrie … Los alemanes son geómetras, no son sutiles [fin]; los alemanes carecen por completo de esprit de finesse. (Duhem 1915, 31–32)

Duhem pretendía que su modelo se aplicara a las ciencias naturales pero también a las matemáticas. Kleinert 1978 demostró que el libro de Duhem era solo una parte de una reacción de los científicos franceses a la declaración de 1914 "Aufruf an die Kulturwelt" firmada por 93 intelectuales alemanes prominentes. Esto condujo al llamado "Krieg der Geister" en el que la polarización entre Alemania y Francia llegó al punto no solo de criticar las formas específicas de hacer uso de la ciencia (por ejemplo, practicar la ciencia con fines militares) sino que también condujo a una caracterización de la ciencia conocimiento esencialmente determinado por las características nacionales. De hecho, esta estrategia fue utilizada básicamente por los franceses para criticar a "La Science Allemande" pero, veinte años después, será utilizada por los alemanes con el reemplazo de "nacional" por "rassisch". El caso más conocido es el de "Deutsche Physik", pero aquí el enfoque estará en "Deutsche Mathematik" (ver también Segal 2003 y Peckhaus 2005).

La forma más extrema de esta confrontación ideológica, que irónicamente revirtió el papel de los alemanes y los franceses en la comparación utilizada por Duhem, se encuentra en los escritos de Ludwig Bieberbach, el fundador de la llamada "Deutsche Mathematik". Partiendo de la destitución de Landau de la Facultad de matemática de Gotinga, Bieberbach intentó racionalizar por qué los estudiantes habían forzado la destitución de Landau. En un Kurzreferat por su discurso, resumió sus objetivos de la siguiente manera:

Mis consideraciones apuntan a describir la influencia de mi propia ciencia, las matemáticas, de la gente [Volkstum], de la sangre y la raza, en el estilo de creación usando varios ejemplos. Para un nacionalsocialista esto, por supuesto, no requiere ninguna prueba. Es más bien una idea de gran evidencia. Porque todas nuestras acciones y pensamientos están enraizados en sangre y raza y reciben de ellos su especificidad. Que existen tales estilos también es familiar para todos los matemáticos. (Bieberbach, 1934a, 235)

En sus dos documentos 1934b y 1934c, afirmó que las matemáticas practicadas por Landau eran ajenas al espíritu alemán. Comparó a Erhard Schmidt y Landau y afirmó que en el primer caso

El sistema está dirigido hacia los objetos, la construcción es orgánica. Por el contrario, el estilo de Landau es extraño a la realidad, antagónico a la vida, inorgánico. El estilo de Erhard Schmidt es concreto, intuitivo y al mismo tiempo satisface todas las demandas lógicas. (Bieberbach 1934b, 237)

Otras oposiciones importantes presentadas por Bieberbach como "evidencia" de sus afirmaciones fueron Gauss vs. Cauchy-Goursat en números complejos; Poincaré vs. Maxwell en física matemática; Landau contra Schmidt; y Jacobi contra Klein.

Al confiar en la psicología de los tipos del famoso psicólogo de Marburg Jaensch, se opuso a los tipos psicológicos judíos / latinos y alemanes. La línea de falla, por así decirlo, estaba entre una matemática impulsada por la intuición, típica de la matemática alemana, y el formalismo supuestamente propugnado por los matemáticos judíos / latinos. Obviamente, Bieberbach se vio obligado a realizar una gran cantidad de gerrymandering para asegurarse de que importantes matemáticos alemanes no terminaran en el lado equivocado de la ecuación (vea lo que dice de Weierstrass, Euler y Hilbert). La base de estas diferencias matemáticas se encontraba en las características raciales:

En mis consideraciones, he tratado de mostrar que en la actividad matemática hay problemas de estilo y que, por lo tanto, la sangre y la raza influyen en la creación matemática. (Bieberbach 1934c, 358–359)

La razón para discutir Bieberbach en este contexto es que su caso ejemplifica un intento de arraigar la noción de estilo en algo más fundamental, como las características nacionales interpretadas en términos de psicología y rasgos raciales. Además, su caso también es de interés, ya que su enfoque del estilo muestra cómo dicha teorización puede ponerse al servicio de un programa político retorcido.

Afortunadamente, hablar de estilos nacionales en matemáticas no tiene que tener en cuenta todas las implicaciones que se encontraron en Bieberbach. De hecho, cuando los historiadores de hoy se refieren a los estilos nacionales, lo hacen sin el nacionalismo que motivó las contribuciones más antiguas. Más bien, se preocupan por describir cómo las culturas "locales" juegan un papel en la constitución del conocimiento (ver también Larvor 2016). Si bien la mayor movilidad y las comunicaciones por correo electrónico dificultan el desarrollo de los estilos nacionales, las condiciones políticas especiales también podrían favorecer la persistencia de dicho estilo. Este es el caso, por ejemplo, del estilo ruso en geometría algebraica y teoría de la representación. Como Robert MacPherson ha señalado al autor,Este caso de estilo nacional merecería una investigación más extensa y sería interesante estudiar cómo la caída de la Unión Soviética impactó este estilo. Por el contrario, una instancia de un estilo nacional que se ha estudiado ampliamente es la de la geometría algebraica de estilo italiano. Este caso ha sido estudiado con cuidado por varios historiadores de las matemáticas y, en particular, por Aldo Brigaglia (véase también Casnati et al. 2016). Por ejemplo, en un artículo reciente, Brigaglia escribe:

Además, la escuela italiana no era estrictamente una "escuela" nacional, sino más bien un estilo de trabajo y una metodología, principalmente con sede en Italia, pero con representantes que se encuentran en otras partes del mundo. (Brigaglia 2001, 189)

Las citas de miedo resaltan el problema de tratar de comprender la diferencia entre 'escuelas', 'estilos', 'metodologías', etc. (ver Rowe 2003) No se ha intentado analizar analíticamente la noción de 'estilo nacional' para la historia de matemáticas, en cualquier caso, nada comparable a lo que Harwood 1993 hace en el primer capítulo de su libro. La situación también se complica por el hecho de que diferentes autores usan diferentes terminologías al tiempo que tal vez se refieren al mismo problema. Por ejemplo, recientemente se ha hablado mucho de 'imágenes de las matemáticas' (Corry 2004a, 2004b, Bottazzini y Dahan Dalmedico, 2001). En la última sección, volveremos a reflexionar sobre estos diferentes usos del estilo en la literatura historiográfica sobre las matemáticas y cómo se comparan con los de las ciencias naturales.

4. Matemáticos sobre el estilo

Hasta ahora, la discusión se ha centrado en el estilo como herramienta para los filósofos de la cultura y para los historiadores de las matemáticas. ¿Pero los matemáticos reconocen la existencia de estilos en matemáticas? Una vez más, no sería difícil dar citas aisladas donde los matemáticos puedan hablar sobre el estilo de los antiguos o el estilo algebraico abstracto o el estilo categorial. En el trabajo lógico, se encuentran ocurrencias de estilo en denominaciones como "matemática constructiva al estilo de Bishop". Lo que es difícil de encontrar son las discusiones sistemáticas de los matemáticos sobre la noción de estilo. El caso de Bieberbach se mencionó anteriormente, pero no se dio una discusión detallada de los ejemplos que presentó como evidencia de diferencias de estilo allí,en parte porque están tan retorcidos por su deseo de brindar apoyo a su punto de vista ideológico que hay razones para dudar de que uno ganaría mucho a través de un análisis de sus estudios de caso.

Una contribución interesante es un artículo de Claude Chevalley de 1935 titulado "Variations du style mathématique". Chevalley da por sentado la existencia del estilo. Él comienza de la siguiente manera:

El estilo matemático, al igual que el estilo literario, está sujeto a fluctuaciones importantes al pasar de una época histórica a otra. Sin duda, cada autor posee un estilo individual; pero también se puede notar en cada época histórica una tendencia general que es bastante reconocible. Este estilo, bajo la influencia de personalidades matemáticas poderosas, está sujeto de vez en cuando a revoluciones que influyen en la escritura y, por lo tanto, en el pensamiento, durante los siguientes períodos. (Chevalley 1935, 375)

Sin embargo, Chevalley no trató de reflexionar sobre la noción de estilo aquí involucrada. Más bien, le preocupaba mostrar mediante un ejemplo importante las características de la transición entre dos estilos de matemática que habían caracterizado el paso de las matemáticas del siglo XIX a los enfoques del siglo XX. El primer estilo descrito por Chevalley es el estilo Weierstrassian, 'el estilo de ε'. Encuentra su "razón de ser" en la necesidad de rigorizar el cálculo alejándose de las incertidumbres relacionadas con nociones como "cantidad infinitamente pequeña", etc. El desarrollo del análisis en el siglo XIX (funciones analíticas, series de Fourier, Gauss ' teorías de superficies, ecuaciones lagrangianas en mecánica, etc.) condujeron a un análisis crítico

del marco algebraico-analítico frente al cual se encontraron; y es a partir de este examen crítico que surgió un estilo matemático completamente nuevo. (Chevalley 1935, 377)

Chevalley continuó señalando el descubrimiento de una función continua diferenciable en ninguna parte, debido a Weierstrass, como el elemento más importante de esta revolución. Como la función de Weierstrass se puede dar en términos de una expansión de Fourier con una apariencia bastante normal, se hizo evidente que muchas demostraciones en matemáticas suponían una condición de cierre que debía establecerse rigurosamente. El concepto de límite, según lo definido por Weierstrass, fue la poderosa herramienta que permitió tales investigaciones. La reconstrucción del análisis llevada a cabo por Weierstrass y sus seguidores resultó ser no solo fundamentalmente exitosa sino también matemáticamente fructífera. Aquí está lo cerca que Chevalley llega a caracterizar este estilo:

El uso por parte de los matemáticos de esta escuela de la definición de límite debido a Weierstrass se puede notar en la apariencia externa de sus escritos. En primer lugar, en el uso intensivo, y en ocasiones inmoderado, de la "ε" equipada con varios índices (esta es la razón por la que hemos hablado anteriormente de un estilo de las "ε" s). En segundo lugar, en el reemplazo progresivo de la igualdad por la desigualdad en las demostraciones, así como en los resultados (teoremas de aproximación, teoremas de límite superior, teoría del aumento, etc.). Este último aspecto nos ocupará porque nos hará comprender las razones que forzaron la superación del estilo de pensamiento de Weierstrassian. De hecho, mientras que la igualdad es una relación que es significativa para los seres matemáticos, la desigualdad solo puede aplicarse a objetos equipados con una relación de orden,prácticamente solo en los números reales. De esta manera, uno fue guiado, para abarcar todo el análisis, para reconstruirlo completamente a partir de los números reales y de las funciones de los números reales. (Chevalley 1935, 378–379)

A partir de este enfoque, también se podría construir el sistema de números complejos como pares de reales y los puntos de espacios en n dimensiones como n -tuplas de reales. Esto dio la impresión de que las matemáticas podrían unificarse mediante definiciones constructivas a partir de los números reales. Sin embargo, las cosas fueron de manera diferente y Chevalley trata de explicar las razones que lo llevaron a abandonar este enfoque "constructivo" en favor de un enfoque axiomático. Varias teorías algebraicas, como la teoría de grupos, dieron lugar a relaciones que no podían construirse a partir de los números reales. Además, la definición constructiva de números complejos era equivalente a fijar un sistema de referencia arbitrario y, por lo tanto, dotar a estos objetos de propiedades que ocultaban su naturaleza real. Por otro lado, uno estaba familiarizado con la axiomatización de la geometría de Hilbert que,aunque riguroso, no tenía el carácter de artificialidad de las teorías constructivas. En este caso, las entidades no se construyen sino que se definen a través de los axiomas. Este enfoque se desarrolló para influir en el análisis mismo. Chevalley mencionó la teoría de la integral de Lebesgue que se obtuvo estableciendo primero qué propiedades tenía que satisfacer la integral y luego mostrando que existía un dominio de objetos que satisfacían esas propiedades. Frechet utilizó la misma idea al establecer las propiedades que caracterizarían la operación de límite, llegando así a una teoría general de los espacios topológicos. Otro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó queEn este caso, las entidades no se construyen sino que se definen a través de los axiomas. Este enfoque se desarrolló para influir en el análisis mismo. Chevalley mencionó la teoría de la integral de Lebesgue que se obtuvo estableciendo primero qué propiedades tenía que satisfacer la integral y luego mostrando que existía un dominio de objetos que satisfacían esas propiedades. Frechet utilizó la misma idea al establecer las propiedades que caracterizarían la operación de límite, llegando así a una teoría general de los espacios topológicos. Otro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó queEn este caso, las entidades no se construyen sino que se definen a través de los axiomas. Este enfoque se desarrolló para influir en el análisis mismo. Chevalley mencionó la teoría de la integral de Lebesgue que se obtuvo estableciendo primero qué propiedades tenía que satisfacer la integral y luego mostrando que existía un dominio de objetos que satisfacían esas propiedades. Frechet utilizó la misma idea al establecer las propiedades que caracterizarían la operación de límite, llegando así a una teoría general de los espacios topológicos. Otro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó queChevalley mencionó la teoría de la integral de Lebesgue que se obtuvo estableciendo primero qué propiedades tenía que satisfacer la integral y luego mostrando que existía un dominio de objetos que satisfacían esas propiedades. Frechet utilizó la misma idea al establecer las propiedades que caracterizarían la operación de límite, llegando así a una teoría general de los espacios topológicos. Otro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó queChevalley mencionó la teoría de la integral de Lebesgue que se obtuvo estableciendo primero qué propiedades tenía que satisfacer la integral y luego mostrando que existía un dominio de objetos que satisfacían esas propiedades. Frechet utilizó la misma idea al establecer las propiedades que caracterizarían la operación de límite, llegando así a una teoría general de los espacios topológicos. Otro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó queOtro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó queOtro ejemplo mencionado por Chevalley es la axiomatización de la teoría de campo dada por Steinitz en 1910. Chevalley concluyó que

La axiomatización de las teorías ha modificado muy profundamente el estilo de los escritos matemáticos contemporáneos. En primer lugar, por cada resultado obtenido, uno siempre necesita descubrir cuáles son las propiedades estrictamente indispensables necesarias para establecerlo. Uno abordará seriamente el problema de dar una demostración mínima de dicho resultado y, para tal efecto, tendrá que delimitar exactamente en qué dominio de las matemáticas está operando de tal manera que rechace los métodos que son ajenos a este dominio, ya que estos últimos son probable que provoque la introducción de hipótesis inútiles. (Chevalley 1935, 382)

Además, la constitución de dominios que se adaptan perfectamente a ciertas operaciones permite establecer teoremas generales sobre los objetos en consideración. De esta manera, uno puede caracterizar las operaciones de análisis infinitesimal algebraicamente pero sin nada de la ingenuidad que había caracterizado los enfoques algebraicos previos.

El artículo de Chevalley es una fuente preciosa de un matemático contemporáneo sobre el tema del estilo. Muestra con fuerza la diferencia entre la aritmetización del análisis de fines del siglo XIX y el enfoque axiomático-algebraico de principios del siglo XX. Sin embargo, tiene sus limitaciones. La noción de estilo no está tematizada como tal y no está claro que las características aducidas para explicar los eventos históricos particulares puedan proporcionar las herramientas generales para analizar otras transiciones en el estilo matemático. Pero tal vez esa debería ser, en todo caso, la tarea de un filósofo de las matemáticas (para un análisis detallado del enfoque de Chevalley sobre el estilo, ver Rabouin 2017).

5. El lugar del estilo

En un libro titulado "Introducción al estilo matematico" (1971), el filósofo español Javier de Lorenzo intentó escribir una historia de las matemáticas (ciertamente parcial) en términos de estilo. Aunque en 1971 el trabajo de Granger, para ser discutido en la sección 5, ya había aparecido, de Lorenzo no lo sabía y la única fuente de estilo que usa es el artículo de Chevalley. De hecho, este libro es simplemente una extensión del estudio de Chevalley para incluir muchos más "estilos" que han aparecido en la historia de las matemáticas. La lista de estilos matemáticos estudiados por de Lorenzo es la siguiente:

  • Estilo geométrico;
  • Estilo poético;
  • Estilo cósmico;
  • Estilo cartesiano-algebraico;
  • El estilo de los indivisibles;
  • Estilo operacional;
  • Estilo Epsilon;
  • Estilos sintéticos vs analíticos en geometría;
  • Estilo axiomático;
  • Estilo formal.

La configuración general recuerda mucho el enfoque de Chevalley y uno buscaría en vano en el libro de De Lorenzo una explicación satisfactoria de qué estilo es. Es cierto que hay algunas observaciones interesantes sobre el papel del lenguaje en la determinación de un estilo, pero falta un análisis filosófico general. Sin embargo, hay un punto importante a destacar con respecto al tratamiento dado por Chevalley y de Lorenzo, que parece apuntar a una característica importante del uso del "estilo" en las matemáticas.

En su artículo "De la catégorie de style en histoire des sciences" (Gayon 1996), y en el posterior Gayon 1999, Jean Gayon presenta los diferentes usos del "estilo" en la historiografía de la ciencia como caídas entre dos campos (en cierto modo él sigue Hacking 1992 aquí). Primero, existe el uso del "estilo científico" por parte de quienes persiguen una "historia local de la ciencia". Por lo general, este tipo de análisis se centra en 'grupos o escuelas locales' o en 'naciones'. Por ejemplo, este tipo de historia enfatiza el componente universal del conocimiento y enfatiza las dificultades involucradas en la traducción de experimentos de un entorno a otro. Se ha demostrado que tales dificultades dependen de las tradiciones 'locales', que incluyen conocimientos técnicos y teóricos específicos que son "fundamentales para establecer, comprender,y analizar el resultado de esos experimentos”(Corry 2004b). En segundo lugar, se utiliza el" estilo científico "ejemplificado en trabajos como" Estilos de pensamiento científico en la tradición europea "de Crombie en 1994. Crombie enumera los siguientes estilos científicos:

  1. postulación en las ciencias matemáticas axiomáticas
  2. exploración experimental y medición de relaciones complejas detectables
  3. modelado hipotético
  4. ordenar una variedad por comparación y taxonomía
  5. análisis estadístico de poblaciones, y
  6. derivación histórica del desarrollo genético (citado de Hacking 1996, 65)

Gayon comenta que esta última noción de 'estilo' podría ser reemplazada por 'método' y que 'los estilos discutidos aquí no tienen nada que ver con los estilos locales'. También comenta que cuando se trata de estilos locales, los grupos que actúan como soporte sociológico para tales análisis son 'grupos de investigación' o 'naciones'. Ha habido mucho énfasis en la historia reciente de las ciencias experimentales en tales factores locales (ver, por ejemplo, Gavroglu 1990 para los 'estilos de razonamiento' de dos laboratorios de baja temperatura, el de Dewar (Londres) y el de Kamerlingh Onnes (Leiden)).

Los historiadores de las matemáticas ahora intentan aplicar estos enfoques historiográficos también a las matemáticas puras. Un intento reciente en esta dirección es el trabajo de Epple en términos de `` configuraciones epistémicas '', como su reciente artículo sobre los primeros trabajos de Alexander y Reidemeister en teoría de nudos (Epple 2004; pero también ver Rowe 2003 y 2004, y Epple 2011). Los grupos de apoyo para tales investigaciones no se denominan 'escuelas' sino 'tradiciones matemáticas' o 'culturas matemáticas'.

¿Qué pasa con la noción 'metodológica' de estilo à la Crombie? ¿Los historiadores de las matemáticas han hecho mucho uso de esto? Además de numerosos tratamientos del primer estilo (método axiomático), no hay mucho en esta área, pero una contribución histórica interesante es el trabajo de Goldstein sobre Frenicle de Bessy (2001). Ella argumenta que las matemáticas puras como las practica Frenicle de Bessy tienen mucho en común con el estilo baconiano de la ciencia experimental. Quizás debería mencionarse aquí que las matemáticas experimentales son ahora un campo floreciente que pronto podría encontrar su historiador (vea Baker 2008 para una explicación filosófica de las matemáticas experimentales y Sørensen 2016 para un análisis en términos de culturas matemáticas). Este tiende a ser un tema de gran interés para los filósofos, ya que incide en cuestiones de método matemático. El problema se puede expresar simplemente de la siguiente manera: además de lo que Crombie enumera como estilo metodológico (a) [axiomático], ¿qué otros estilos se persiguen en la práctica matemática? Corfield 2003 toca el problema en la introducción de su libro "Hacia una filosofía de las matemáticas 'reales'" cuando él, refiriéndose a la lista Crombie anterior, dice:

Hacking aplaude la inclusión de Crombie de (a) como `` restaurar las matemáticas a las ciencias '' (Hacking 1996) después de la separación de los positivistas lógicos, y extiende el número de sus estilos a dos al admitir el estilo algorítmico de las matemáticas indias y árabes. Estoy contento con esta línea de argumento, especialmente si evita que las matemáticas sean vistas como una actividad totalmente diferente a cualquier otra. De hecho, los matemáticos también se involucran en los estilos (b) (ver capítulo 3), (c) y (d) [7] y en la línea de (e) los matemáticos están analizando actualmente las estadísticas de los ceros de la función zeta de Riemann. (Corfield 2003, 19)

En la nota 7, Corfield menciona el comentario de John Thompson en el sentido de que la clasificación de grupos simples finitos es un ejercicio de taxonomía.

No es el objetivo de este ensayo abordar directamente el vasto conjunto de problemas que surgen de las citas anteriores. Pero debe señalarse que estos temas representan un territorio fresco y estimulante para una epistemología descriptiva de las matemáticas y que ya se han realizado algunos trabajos en esta dirección (ver Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

Finalmente, ¿cómo combinar los estilos 'local' y 'metodológico' con lo que se encuentra en Chevalley y de Lorenzo? En el caso de las matemáticas, hay buena evidencia de que el lugar más natural para los "estilos" se ubica, por así decirlo, entre estas dos categorías. De hecho, en general, los estilos matemáticos van más allá de cualquier comunidad local definida en términos sociológicos más simples (nacionalidad, membresía directa en una escuela, etc.) y son tales que el grupo de apoyo solo puede caracterizarse por el método específico de investigación que se persigue. Por otro lado, el método no es tan universal como para ser identificable como uno de los seis métodos descritos por Crombie o en la lista extendida dada por Hacking. Aquí hay algunos ejemplos posibles, donde los nombres adjuntos a cada posición no deberían inducir a error al lector a pensar que se trata simplemente de estilos 'individuales'.

  1. Técnicas directas vs indirectas en geometría (Cavalieri y Torricelli vs. Arquímedes)
  2. Enfoques algebraicos vs. geométricos en análisis en los siglos XVII y XVIII (Euler vs. McLaurin)
  3. Enfoques geométricos versus analíticos en análisis complejos en el siglo XIX (Riemann vs. Weierstrass)
  4. Enfoques conceptuales versus computacionales en la teoría de números algebraicos (Dedekind vs. Kronecker)
  5. Estilos estructurales versus intuitivos en geometría algebraica (escuela alemana vs. escuela italiana)

Por supuesto, podría ser el caso de que también en la historia y la filosofía de la ciencia hay niveles de estilo 'intermedios' como los que se describen aquí (un ejemplo que viene a la mente es el 'estilo newtoniano' en física matemática) pero El hecho de que Jean Gayon no los detectó como centrales parece señalar el hecho de que la situación en la historia y la filosofía de las matemáticas es bastante diferente, ya que estos estilos 'intermedios' son aquellos que se han discutido más a fondo y que corresponden a los estilos analizados. por Chevalley y de Lorenzo. Además, las discusiones sobre las culturas matemáticas locales tienden a prescindir del concepto de estilo.

6. Hacia una epistemología del estilo

El problema de una epistemología del estilo quizás se puede plantear de la siguiente manera. ¿Están los elementos estilísticos presentes en el discurso matemático desprovistos de valor cognitivo y, por lo tanto, solo son parte de la coloración del discurso matemático o pueden considerarse más íntimamente relacionados con su contenido cognitivo? La noción de coloración aquí proviene de Frege, quien distinguió en "El pensamiento" entre la condición de verdad de una declaración y aquellos aspectos de la declaración que podrían proporcionar información sobre el estado mental del hablante o el oyente, pero no contribuyen a sus condiciones de verdad.. En lenguaje natural, los elementos típicos de la coloración son expresiones de arrepentimiento como "desafortunadamente". "Desafortunadamente, está nevando" tiene las mismas condiciones de verdad que "está nevando" y "desafortunadamente", en la primera oración, es solo una parte de la coloración. Jacques y Monique Dubucs han generalizado esta distinción a las pruebas en "La couleur des preuves" (Dubucs y Dubucs 1994) donde abordan el problema de una "retórica de las matemáticas", un problema bastante cercano al de un análisis de estilo. Doblando la retórica tradicional como 'residualista', ya que solo tiene en cuenta fenómenos de importancia no cognitiva, como la ornamentación, etc. del texto matemático, pero deja intacto el objeto (como el contenido de una demostración), exploraron las opciones para un "retórica más ambiciosa de las matemáticas".ya que solo tiene en cuenta los fenómenos de importancia no cognitiva, como la ornamentación, etc. del texto matemático, pero deja intacto el objeto (como el contenido de una demostración), exploraron las opciones para una "retórica matemática" más ambiciosa.ya que solo tiene en cuenta los fenómenos de importancia no cognitiva, como la ornamentación, etc. del texto matemático, pero deja intacto el objeto (como el contenido de una demostración), exploraron las opciones para una "retórica matemática" más ambiciosa.

De este modo, se puede comenzar a articular la primera posición que se puede defender con respecto al significado epistemológico del estilo. Es una posición que niega al estilo cualquier rol cognitivo esencial y lo reduce a un fenómeno de coloración subjetiva. Según esta posición, las variaciones estilísticas solo revelarían diferencias superficiales de expresión que dejarían intacto el contenido del discurso.

Se han defendido dos posiciones más ambiciosas en la literatura sobre el contenido cognitivo del estilo. El primero parece ser compatible con una forma de platonismo o realismo en matemáticas, mientras que el segundo definitivamente se opone a él. A lo que se alude son las dos propuestas principales disponibles en la literatura, a saber, las de Granger 1968 y Hacking 1992, que ahora se describirán brevemente.

El Ensayo de Granger sobre una filosofía del estilo (Essai d'une philosophie du style 1968) es el esfuerzo más sistemático y elaborado para desarrollar una teoría del estilo para las matemáticas. El programa de Granger es tan ambicioso y rico que una discusión exhaustiva de la estructura de su libro y de sus análisis detallados necesitaría un documento por sí mismo. Debido a la limitación de espacio, el objetivo aquí es dar una idea aproximada de en qué consiste el proyecto y mostrar que el papel epistemológico del estilo defendido por Ganger es compatible con un realismo sobre entidades o estructuras matemáticas.

El objetivo de Granger es proporcionar un análisis de la 'práctica científica'. Define la práctica como "una actividad considerada con su contexto complejo, y en particular las condiciones sociales que le dan sentido en un mundo efectivamente experimentado (vécu)" (1968, 6). La ciencia la define como "construcción de modelos abstractos, consistentes y efectivos, de los fenómenos" (13). Por lo tanto, una práctica científica tiene componentes 'universales' o 'generales' y componentes 'individuales'. El análisis de la práctica científica requiere al menos tres tipos de investigaciones:

  1. Hay muchas formas de estructurar, mediante modelos, un fenómeno determinado; y los mismos modelos pueden aplicarse a diferentes fenómenos. Además, las construcciones científicas, incluidas las matemáticas, revelan una cierta "unidad estructural". Ambos aspectos serán el tema de un análisis estilístico.
  2. La segunda investigación se refiere a una "característica científica", cuyo objetivo es estudiar los componentes psicológicos que son relevantes en la individualización de la práctica científica;
  3. La tercera investigación se refiere al estudio de la 'contingencia' de la creación científica, siempre ubicada en el espacio y el tiempo.

Los tres aspectos serían necesarios para un análisis de la 'práctica científica', pero en su libro Granger solo se enfoca en 1. ¿Dónde entran el estilo y las matemáticas? La matemática se presenta como una de las áreas de investigación que puede someterse a un análisis estilístico de la ciencia (el libro de Granger proporciona aplicaciones no solo a las matemáticas sino también a la lingüística y las ciencias sociales). ¿Qué hay del estilo? Toda práctica social, según Granger, puede estudiarse desde el punto de vista del estilo. Esto incluye acción política, creación artística y actividad científica. Por lo tanto, existe una estilística general que tratará de capturar las características estilísticas más generales de tales actividades y luego más análisis estilísticos 'locales' como el proporcionado por Granger para actividades científicas. Obviamente,El concepto de estilo aquí invocado debe ser mucho más abarcador que el que generalmente se asocia con este término y, de hecho, uno que aplicaría a áreas tales como la actividad política o la actividad científica no solo metafórica, sino más bien "connatural" a tales actividades.

El análisis de Granger del estilo matemático abarca los capítulos 2, 3 y 4 de su libro. El capítulo 2 trata del estilo euclidiano y la noción de magnitud; capítulo 3 con la oposición entre 'estilo cartesiano y estilo desarguiano' (sobre el estilo cartesiano ver también Rabouin 2017); finalmente, el capítulo 4 se refiere al "nacimiento del estilo vectorial". Todos estos análisis se centran en el concepto de "magnitud geométrica".

Uno tiene una buena idea de lo que busca Granger simplemente mirando un ejemplo que describe en su prefacio. Este es un ejemplo sobre los números complejos.

El estilo, según Granger, es una forma de imponer estructura a una experiencia. La experiencia debe ser tomada aquí para ir más allá de la experiencia empírica. En general, el tipo de experiencia al que recurre el matemático no es empírico. De esta experiencia provienen los componentes "intuitivos" que están estructurados en la actividad matemática. Pero no se debe pensar que existe una "intuición" a la que, por así decirlo externamente, se aplica una forma. La actividad matemática da lugar al mismo tiempo a la formación y al contenido en el contexto de una determinada experiencia.

El estilo nos aparece aquí, por un lado, como una forma de introducir los conceptos de una teoría, de conectarlos, de unificarlos; y, por otro lado, como una forma de delimitar lo que la intuición contribuye a la determinación de estos conceptos. (Granger 1968, 20)

Como ejemplo, Granger ofrece tres formas de introducir los números complejos; las tres formas explican las propiedades estructurales que caracterizan la estructura algebraica en cuestión. La primera forma introduce los números complejos mediante representación trigonométrica usando ángulos y direcciones. El segundo los presenta como operadores aplicados a los vectores. En el primer caso, uno define un número complejo como un par de números reales y las propiedades aditivas son inmediatas. Por el contrario, en el segundo caso, son las propiedades multiplicativas las que se aprovechan de inmediato. Pero, y esta es la tercera forma, también se pueden introducir números complejos mediante matrices cuadradas regulares. Esto lleva a ver los números complejos como un sistema de polinomios en x módulo x 2 +1.

Estas diferentes formas de comprender un concepto, de integrarlo en un sistema operativo y de asociarle algunas implicaciones intuitivas, de las cuales habrá que delimitar el alcance exacto, constituyen lo que llamamos aspectos del estilo. Es evidente que el contenido estructural de la noción no se ve afectado aquí, que el concepto qua objeto matemático subsiste de manera idéntica a través de estos efectos de estilo. Sin embargo, no siempre es así y encontraremos posiciones estilísticas que demandan verdaderas variaciones conceptuales. Lo que cambia siempre, en cualquier caso, es la orientación del concepto hacia este o aquel uso, esta o aquella extensión. Por lo tanto, el estilo juega un papel tal vez esencial tanto con respecto a la dialéctica del desarrollo interno de las matemáticas como a su relación con mundos de objetos más concretos. (Granger 1968, 21).

Por lo tanto, en la teoría de Granger, los estilos matemáticos son modos de presentación o modos de comprender las estructuras matemáticas. Al menos en algunos casos, estos efectos del estilo no afectan a los objetos o estructuras matemáticas, aunque afectarán el modo cognitivo en el que son aprehendidos, por lo tanto, afectarán la forma en que podrían extenderse, aplicarse en diversas áreas, etc. Simpatiza con un kantismo sin un sujeto trascendental, y por lo tanto piensa en el estilo como constitutivo, parece que su posición es al menos compatible con una forma de realismo sobre las entidades matemáticas. Este no parece ser el caso de la tercera y última posición epistemológica a debatir, lo que se debe a Ian Hacking.

Como se señaló anteriormente, Hacking, siguiendo a Crombie, ha propuesto investigar la noción de estilo como una "nueva herramienta analítica" para la historia y la filosofía de la ciencia. Su preferencia es hablar de estilos de razonamiento (ver también Mancosu 2005) en oposición a los estilos de pensamiento de Fleck o los estilos de pensamiento de Crombie (su preferencia más reciente es hablar de 'Estilos de pensamiento y acción científica' para la discusión más reciente de El programa de Hacking en el momento de escribir este documento ve Kusch 2010 y el número especial de Estudios en Historia y Filosofía de la Ciencia (número 43, 2012), incluido Hacking 2012 y varias otras contribuciones). La razón es que la piratería quiere alejarse del nivel psicológico del razonamiento y trabajar con el nivel más "objetivo" de argumentos. Define explícitamente su proyecto como una continuación del proyecto de Kant destinado a explicar cómo es posible la objetividad. Y, de hecho, la posición de Hacking rechaza el realismo y adopta un papel fuertemente constitutivo para el estilo. Según Hacking, los estilos se definen por un conjunto de condiciones necesarias (no intenta, sabiamente, proporcionar condiciones suficientes):

No hay oraciones que sean candidatas a la verdad, ni objetos identificados independientemente para ser correctos, antes del desarrollo de un estilo de razonamiento. Cada estilo de razonamiento presenta una gran cantidad de novedades que incluyen nuevos tipos de: Objetos; evidencia; oraciones, nuevas formas de ser candidato a la verdad o la falsedad; leyes o, en cualquier caso, modalidades; posibilidades También se debe notar, en ocasiones, nuevos tipos de clasificación y nuevos tipos de explicación. (Hackeo 1992, 11)

Debe quedar claro que esta noción de estilo, al igual que la de Granger, atribuye un papel muy importante al estilo como fundamento de la objetividad de toda un área de actividad científica, pero que, a diferencia de la de Granger, está comprometida ontológicamente con un rechazo del realismo. Los estilos son esenciales en la constitución de los objetos matemáticos y estos últimos no tienen una forma de existencia independiente de ellos. La piratería no ha discutido ampliamente los estudios de caso de la historia de las matemáticas, aunque uno de sus trabajos (Hacking 1995) trata de cuatro imágenes construccionistas de las matemáticas (la palabra "construccionismo" está tomada de Nelson Goodman) y muestra qué tan bien encajan con su imagen de 'estilos de pensamiento'. Por implicación, también está claro que las posiciones realistas más sólidamente comprometidas no encajarán bien con la versión de Hacking de los estilos de razonamiento.

Por lo tanto, se han considerado tres posibles modelos para explicar el papel epistemológico de los "estilos" en las matemáticas. Seguramente hay muchas más posiciones posibles esperando ser articuladas, pero hasta ahora esto es todo lo que se puede encontrar en la literatura.

7. Conclusión

Como se señaló al principio, el tema del estilo matemático no es una de las áreas canónicas de investigación en filosofía de la matemática. De hecho, esta entrada es el primer intento de abarcar en un solo documento las múltiples contribuciones a este tema. Sin embargo, debería estar claro ahora que la reflexión sobre el estilo matemático está presente en la actividad filosófica contemporánea y merece ser tomada en serio. Pero el trabajo apenas comienza. Se necesitan muchos más estudios de casos de estilos matemáticos y una articulación más clara de las consecuencias epistemológicas y ontológicas producidas por diferentes conceptualizaciones del estilo. Además, nos gustaría ver una mejor integración de todo este trabajo con el trabajo sobre estilos cognitivos que se encuentra en la psicología cognitiva y la educación matemática. Finalmente, castañas filosóficas estándar,tales como la relación de la forma y el contenido con el estilo, y la relación del estilo con la normatividad y la intencionalidad también tendrían que abordarse (para una muy buena discusión de tales temas en estética, ver Meskin 2005).

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