El Desarrollo Temprano De La Teoría De Conjuntos

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El desarrollo temprano de la teoría de conjuntos

Publicado por primera vez el martes 10 de abril de 2007; revisión sustantiva jue 18 jun.2020

La teoría de conjuntos es uno de los mayores logros de las matemáticas modernas. Básicamente, todos los conceptos matemáticos, métodos y resultados admiten la representación dentro de la teoría de conjuntos axiomática. Así, la teoría de conjuntos ha desempeñado un papel bastante único al sistematizar las matemáticas modernas y al abordar de forma unificada todas las preguntas básicas sobre argumentos matemáticos admisibles, incluida la cuestión espinosa de los principios de existencia. Esta entrada cubre en resumen el proceso complicado por el cual la teoría de conjuntos surgió, cubriendo aproximadamente los años 1850 a 1930.

En 1910, Hilbert escribió que la teoría de conjuntos es

esa disciplina matemática que hoy ocupa un papel destacado en nuestra ciencia e irradia [ausströmt] su poderosa influencia en todas las ramas de las matemáticas. [Hilbert 1910, 466; traducción por autor de entrada]

Esto ya sugiere que, para discutir la historia temprana, es necesario distinguir dos aspectos de la teoría de conjuntos: su papel como lenguaje fundamental y depósito de los principios básicos de las matemáticas modernas; y su papel como una rama independiente de las matemáticas, clasificada (hoy) como una rama de la lógica matemática. Ambos aspectos se consideran aquí.

La primera sección examina los orígenes y el surgimiento de las matemáticas teóricas establecidas alrededor de 1870; Esto es seguido por una discusión sobre el período de expansión y consolidación de la teoría hasta 1900. La Sección 3 ofrece una mirada al período crítico en las décadas de 1897 a 1918, y la Sección 4 trata del tiempo desde Zermelo hasta Gödel (desde la teoría a la metateoría), con especial atención a la teoría de conjuntos descriptiva, a menudo ignorada, pero crucial.

  • 1. Emergencia
  • 2. Consolidación
  • 3. Período crítico
  • 4. De Zermelo a Gödel
  • Bibliografía

    • Obras citadas
    • Otras lecturas
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Emergencia

El concepto de un conjunto parece engañosamente simple, al menos para el matemático capacitado, y hasta tal punto que se hace difícil juzgar y apreciar correctamente las contribuciones de los pioneros. Lo que les costó mucho esfuerzo producir, y tomó a la comunidad matemática un tiempo considerable para aceptar, nos puede parecer bastante explicativo o incluso trivial. Al principio, deben tenerse en cuenta tres conceptos erróneos históricos que están muy extendidos en la literatura:

  1. No es el caso de que el infinito real fuera universalmente rechazado antes de Cantor.
  2. Las vistas de la teoría de conjuntos no surgieron exclusivamente del análisis, sino que también surgieron en álgebra, teoría de números y geometría.
  3. De hecho, el surgimiento de las matemáticas de teoría de conjuntos precedió a las contribuciones cruciales de Cantor.

Todos estos puntos quedarán claros en lo que sigue.

La noción de una colección es tan antigua como contar, y las ideas lógicas sobre las clases han existido desde al menos el "árbol de pórfido" (siglo III EC). Por lo tanto, se hace difícil clasificar los orígenes del concepto de conjunto. Pero conjuntos son ni colecciones en el sentido cotidiano de esta palabra, ni “clases” en el sentido de los lógicos antes de la mitad del 19 º siglo. El elemento clave que falta es la objetividad: un conjunto es un objeto matemático, para ser operado como cualquier otro objeto (el conjunto (mathbf {N}) es tanto 'una cosa' como el número 3). Para aclarar este punto, Russell empleó la útil distinción entre una clase como muchos (esta es la idea tradicional) y una clase como uno (o conjunto).

Ernst Zermelo, una figura crucial en nuestra historia, dijo que la teoría históricamente había sido "creada por Cantor y Dedekind" [Zermelo 1908, 262]. Esto sugiere un buen criterio pragmático: uno debe comenzar con autores que hayan influido significativamente en las concepciones de Cantor, Dedekind y Zermelo. En su mayor parte, este es el criterio adoptado aquí. Sin embargo, como cada regla exige una excepción, el caso de Bolzano es importante e instructivo, a pesar de que Bolzano no influyó significativamente en los escritores posteriores.

En 19 ª zonas de habla alemana del siglo, hubo algunas tendencias intelectuales que promovieron la aceptación del infinito actual (por ejemplo, un renacimiento del pensamiento de Leibniz). A pesar de la advertencia de Gauss de que el infinito solo puede ser una forma de hablar, algunas figuras menores y tres principales (Bolzano, Riemann, Dedekind) precedieron a Cantor al aceptar completamente el infinito real en matemáticas. Esos tres autores fueron activos en la promoción de una formulación teórica de ideas matemáticas, con la contribución de Dedekind en un buen número de escritos clásicos (1871, 1872, 1876/77, 1888) de importancia central.

Cronológicamente, Bernard Bolzano fue el primero, pero casi no ejerció influencia. La alta calidad de su trabajo en lógica y los fundamentos de las matemáticas es bien conocida. Un libro titulado Paradoxien des Unendlichen fue publicado póstumamente en 1851. Aquí Bolzano argumentó en detalle que una gran cantidad de paradojas que rodean el infinito son lógicamente inofensivas, y montó una defensa contundente del infinito real. Propuso un argumento interesante que intenta probar la existencia de conjuntos infinitos, lo que se compara con el argumento posterior de Dedekind (1888). Aunque empleó distinciones complicadas de diferentes tipos de conjuntos o clases, Bolzano reconoció claramente la posibilidad de poner dos conjuntos infinitos en correspondencia uno a uno, como se puede hacer fácilmente, por ejemplo, con los intervalos ([0, 5]) y ([0, 12]) por la función (5y = 12x). Sin embargo,Bolzano se resistió a la conclusión de que ambos conjuntos son "iguales con respecto a la multiplicidad de sus partes" [1851, 30-31]. Con toda probabilidad, las ideas tradicionales de medición todavía eran demasiado poderosas en su forma de pensar y, por lo tanto, se perdió el descubrimiento del concepto de cardinalidad (sin embargo, uno puede considerar ideas no cantorianas, sobre las cuales ver Mancosu 2009).

El caso de Bolzano sugiere que una liberación de los conceptos métricos (que vino con el desarrollo de las teorías de la geometría proyectiva y especialmente de la topología) debía tener un papel crucial para hacer posible el punto de vista abstracto de la teoría de conjuntos. Bernhard Riemann propuso ideas visionarias sobre la topología y sobre basar todas las matemáticas en la noción de conjunto o "múltiple" en el sentido de clase (Mannigfaltigkeit), en su famosa conferencia inaugural "Sobre las hipótesis que se encuentran en los fundamentos de la geometría" (1854 / 1868a). También característico de Riemann fue un gran énfasis en las matemáticas conceptuales, particularmente visible en su enfoque del análisis complejo (que nuevamente se profundizó en la topología). Para dar solo el ejemplo más simple,Riemann fue un entusiasta seguidor de la idea de Dirichlet de que una función debe concebirse como una correspondencia arbitraria entre valores numéricos, sea representable por una fórmula o no; Esto significaba dejar atrás los tiempos en que una función se definía como una expresión analítica. A través de este nuevo estilo de matemática, y a través de su visión de un nuevo rol para conjuntos y un programa completo para desarrollar topología, Riemann fue una influencia crucial tanto en Dedekind como en Cantor (ver Ferreirós 1999). Riemann fue una influencia crucial tanto en Dedekind como en Cantor (ver Ferreirós 1999). Riemann fue una influencia crucial tanto en Dedekind como en Cantor (ver Ferreirós 1999).

El período de cinco años 1868-1872 vio una proliferación de propuestas de teoría de conjuntos en Alemania, tanto que podríamos considerarlo como el nacimiento de las matemáticas de teoría de conjuntos. La conferencia de geometría de Riemann, impartida en 1854, fue publicada por Dedekind en 1868, junto con el artículo de Riemann sobre series trigonométricas (1854 / 1868b, que presentó la integral de Riemann). Este último fue el punto de partida para un trabajo profundo en análisis real, comenzando el estudio de funciones discontinuas "en serio". El joven Georg Cantor entró en esta área, lo que lo llevó al estudio de los conjuntos de puntos. En 1872 Cantor introdujo una operación sobre conjuntos de puntos (ver más abajo) y pronto estaba reflexionando sobre la posibilidad de iterar esa operación hasta el infinito y más allá: era la primera visión del reino transfinito.

Mientras tanto, Richard Dedekind propuso otro desarrollo importante en 1871. En el contexto de su trabajo sobre teoría de números algebraicos, Dedekind introdujo un punto de vista esencialmente teórico de conjuntos, definiendo campos e ideales de números algebraicos. Estas ideas se presentaron en una forma muy madura, haciendo uso de operaciones de conjuntos y de mapeos de preservación de estructuras (ver un pasaje relevante en Ferreirós 1999: 92–93; Cantor empleó la terminología de Dedekind para las operaciones en su propio trabajo sobre teoría de conjuntos alrededor de 1880 [1999: 204]). Considerando el anillo de enteros en un campo dado de números algebraicos, Dedekind definió ciertos subconjuntos llamados "ideales" y operaba estos conjuntos como objetos nuevos. Este procedimiento fue la clave de su enfoque general del tema. En otros trabajos, trató muy clara y precisamente las relaciones de equivalencia, los conjuntos de particiones,homomorfismos y automorfismos (sobre la historia de las relaciones de equivalencia, ver Asghari 2018). Por lo tanto, muchos de los procedimientos habituales de la teoría de conjuntos de las matemáticas del siglo XX se remontan a su trabajo. Varios años después (en 1888), Dedekind publicaría una presentación de los elementos básicos de la teoría de conjuntos, haciendo un poco más explícito las operaciones en conjuntos y mapeos que había estado utilizando desde 1871.

Al año siguiente, Dedekind publicó un artículo [1872] en el que proporcionó un análisis axiomático de la estructura del conjunto (mathbf {R}) de números reales. Lo definió como un campo ordenado que también está completo (en el sentido de que todos los cortes de Dedekind en (mathbf {R}) corresponden a un elemento en (mathbf {R})); la integridad en ese sentido tiene como consecuencia el axioma de Arquímedes. Cantor también proporcionó una definición de (mathbf {R}) en 1872, empleando secuencias de números racionales de Cauchy, lo que fue una elegante simplificación de la definición ofrecida por Carl Weierstrass en sus conferencias. La forma de axioma de integridad que Weierstrass prefería era el principio de Bolzano de que una secuencia de intervalos cerrados anidados en (mathbf {R}) (una secuencia tal que ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}] subset [a_ {m}, b_ {m}])) "contiene" al menos un número real (o, como diríamos,tiene una intersección no vacía).

Las definiciones de Cantor y Dedekind de los números reales se basaban implícitamente en la teoría de conjuntos, y se puede ver en retrospectiva que implican la asunción de un principio de conjunto de poderes. Ambos tomaron como dado el conjunto de números racionales, y para la definición de (mathbf {R}) confiaron en una cierta totalidad de conjuntos infinitos de números racionales (ya sea la totalidad de las secuencias de Cauchy o de todos los cortes de Dedekind). Con esto, también, la crítica constructivista de la teoría de conjuntos comenzó a surgir, ya que Leopold Kronecker comenzó a hacer objeciones a tales procedimientos infinitos. Simultáneamente, comenzó un estudio de la topología de (mathbf {R}), en particular en el trabajo de Weierstrass, Dedekind y Cantor. El enfoque de la teoría de conjuntos también fue explotado por varios autores en los campos de análisis real y análisis complejo (por ejemplo, Hankel, du Bois-Reymond, HJS Smith, U. Dini) y por Dedekind en un trabajo conjunto con Weber (1882), pionero de la geometría algebraica.

Los conjuntos derivados de Cantor son de particular interés (para el contexto de esta idea en el análisis real, véase, por ejemplo, Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Cantor tomó como dada la "esfera conceptual" de los números reales, y consideró subconjuntos arbitrarios (P), a los que llamó "conjuntos de puntos". Un número real (r) se denomina punto límite de (P), cuando todos los vecindarios de (r) contienen puntos de (P). Esto solo puede suceder si (P) es infinito. Con ese concepto, debido a Weierstrass, Cantor pasó a definir el conjunto derivado (P ') de (P), como el conjunto de todos los puntos límite de (P). En general, (P ') puede ser infinito y tener sus propios puntos límite (véase el artículo de Cantor en Ewald [1996, vol. 2, 840ff], especialmente p. 848). Por lo tanto, uno puede iterar la operación y obtener más conjuntos derivados (P ''), (P '' ') … (P ^ {(n)}) … Es fácil dar ejemplos de un conjunto (P) que dará lugar a conjuntos derivados no vacíos (P ^ {(n)}) para todos los finitos (n). (Un ejemplo bastante trivial es (P = / mathbf {Q} _ {[0,1]}), el conjunto de números racionales en el intervalo de la unidad; en este caso (P '= [0,1] = P '').) Por lo tanto, se puede definir (P ^ {(infty)}) como la intersección de todos (P ^ {(n)}) para finito (n). Este fue el primer encuentro de Cantor con iteraciones transfinitas. Este fue el primer encuentro de Cantor con iteraciones transfinitas. Este fue el primer encuentro de Cantor con iteraciones transfinitas.

Luego, a fines de 1873, se produjo un descubrimiento sorprendente que abrió completamente el reino de lo transfinito. En correspondencia con Dedekind (véase Ewald 1996, vol. 2), Cantor hizo la pregunta de si los conjuntos infinitos (mathbf {N}) de los números naturales y (mathbf {R}) de números reales pueden ser colocado en correspondencia uno a uno. En respuesta, Dedekind ofreció una prueba sorprendente de que el conjunto (A) de todos los números algebraicos es numerable (es decir, hay una correspondencia biunívoca con (mathbf {N})). Unos días después, Cantor pudo demostrar que la suposición de que (mathbf {R}) es numerable conduce a una contradicción. Con este fin, empleó el principio de integridad de Bolzano-Weierstrass mencionado anteriormente. Por lo tanto, había demostrado que hay más elementos en (mathbf {R}) que en (mathbf {N}) o (mathbf {Q}) o (A),en el sentido preciso de que la cardinalidad de (mathbf {R}) es estrictamente mayor que la de (mathbf {N}).

2. Consolidación

La teoría de conjuntos comenzaba a convertirse en un ingrediente esencial del nuevo enfoque "moderno" de las matemáticas. Pero este punto de vista fue cuestionado, y su consolidación tomó bastante tiempo. El estilo algebraico de Dedekind solo comenzó a encontrar seguidores en la década de 1890; David Hilbert estaba entre ellos. El suelo estaba mejor preparado para las teorías modernas de las funciones reales: los matemáticos italianos, alemanes, franceses y británicos contribuyeron durante la década de 1880. Y las nuevas opiniones fundamentales fueron tomadas por Peano y sus seguidores, por Frege hasta cierto punto, por Hilbert en la década de 1890 y luego por Russell.

Mientras tanto, Cantor pasó los años 1878 a 1885 publicando obras clave que ayudaron a convertir la teoría de conjuntos en una rama autónoma de las matemáticas. Escribamos (A / equiv B) para expresar que los dos conjuntos (A), (B) se pueden poner en correspondencia uno a uno (tienen la misma cardinalidad). Después de probar que los números irracionales se pueden poner en correspondencia uno a uno con (mathbf {R}) y, sorprendentemente, que también (mathbf {R} ^ {n} equiv / mathbf {R }), Cantor conjeturó en 1878 que cualquier subconjunto de (mathbf {R}) sería numerable ((equiv / mathbf {N})) o (equiv / mathbf {R}). Esta es la primera y más débil forma de la famosa hipótesis del continuo. Durante los años siguientes, Cantor exploró el mundo de los conjuntos de puntos, presentando varias ideas topológicas importantes (por ejemplo, conjunto perfecto, conjunto cerrado, conjunto aislado),y llegó a resultados como el teorema de Cantor-Bendixson.

Un conjunto de puntos (P) se cierra si su conjunto derivado (P '\ subseteq P), y perfecto iff (P = P'). El teorema de Cantor-Bendixson establece que un conjunto de puntos cerrados puede descomponerse en dos subconjuntos (R) y (S), de modo que (R) es numerable y (S) es perfecto (de hecho, (S) es el conjunto derivado (a) th de (P), para un ordinal contable (a)). Debido a esto, se dice que los conjuntos cerrados tienen la propiedad de conjunto perfecta. Además, Cantor pudo demostrar que los conjuntos perfectos tienen el poder del continuo (1884). Ambos resultados implicaron que la hipótesis del continuo es válida para todos los conjuntos de puntos cerrados. Muchos años después, en 1916, Pavel Aleksandrov y Felix Hausdorff pudieron demostrar que la clase más amplia de conjuntos Borel también tiene la propiedad de conjunto perfecta.

Su trabajo en conjuntos de puntos llevó a Cantor, en 1882, a concebir los números transfinitos (ver Ferreirós 1999: 267 y sigs.) Este fue un punto de inflexión en su investigación, ya que a partir de entonces estudió la teoría de conjuntos abstractos independientemente de las preguntas más específicas que tienen que ver con los conjuntos de puntos y su topología (hasta mediados de la década de 1880, estas preguntas habían sido prominentes en su agenda). Posteriormente, Cantor se centró en los números cardinales y ordinales transfinitos, y en los tipos de orden general, independientemente de las propiedades topológicas de (mathbf {R}).

Los ordinales transfinitos se introdujeron como nuevos números en un importante artículo matemático-filosófico de 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (tenga en cuenta que Cantor todavía utiliza el término de Riemann Mannigfaltigkeit o 'múltiple' para denotar conjuntos). Cantor los definió mediante dos "principios generadores": el primero (1) produce el sucesor (a + 1) para cualquier número dado (a), mientras que el segundo (2) estipula que hay un número (b) que sigue inmediatamente después de cualquier secuencia de números dada sin un último elemento. Por lo tanto, después de todos los números finitos, por (2), el primer número transfinito, (omega) (léase: omega); y esto es seguido por (omega + 1), (omega + 2),…, (omega + / omega = / omega / cdot 2),…, (omega / cdot n), (omega / cdot n +1),…, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1),…, (omega ^ { omega }), … y así sucesivamente. Cada vez que aparece una secuencia sin el último elemento, uno puede continuar y, por así decirlo, saltar a una etapa superior con (2).

La introducción de estos nuevos números parecía una especulación ociosa para la mayoría de sus contemporáneos, pero para Cantor cumplían dos funciones muy importantes. Con este fin, clasificó los ordinales transfinitos de la siguiente manera: la "primera clase de números" consistía en los ordinales finitos, el conjunto (mathbf {N}) de números naturales; la "segunda clase de números" estaba formada por ω y todos los números que la seguían (incluidos (omega ^ { omega}), y muchos más) que solo tienen un conjunto numerable de predecesores. Esta condición crucial fue sugerida por el problema de probar el teorema de Cantor-Bendixson (ver Ferreirós 1995). Sobre esa base, Cantor podría establecer los resultados de que la cardinalidad de la "segunda clase de números" es mayor que la de (mathbf {N}); y que no existe cardinalidad intermedia. Por lo tanto, si escribe (textit {card} (mathbf {N}) = / aleph_ {0}) (lea:aleph zero), sus teoremas justificaban llamar a la cardinalidad de la "segunda clase de números" (aleph_ {1}).

Después de la segunda clase de números viene una "tercera clase de números" (todos los ordinales transfinitos cuyo conjunto de predecesores tiene cardinalidad (aleph_ {1})); Se puede demostrar que la cardinalidad de esta nueva clase de números es (aleph_ {2}). Y así. La primera función de los ordinales transfinitos era, por lo tanto, establecer una escala bien definida de cardinalidades transfinitas crecientes. (La notación aleph utilizada anteriormente fue introducida por Cantor solo en 1895). Esto hizo posible formular con mucha más precisión el problema del continuo; La conjetura de Cantor se convirtió en la hipótesis de que (textit {card} (mathbf {R}) = / aleph_ {1}). Además, confiando en los ordinales transfinitos, Cantor pudo probar el teorema de Cantor-Bendixson, completando los resultados en conjuntos de puntos que había estado elaborando durante estos años cruciales. El teorema de Cantor-Bendixson establece:los conjuntos cerrados de (mathbf {R} ^ n) (generalizables a espacios polacos) tienen la propiedad de conjunto perfecta, de modo que cualquier conjunto cerrado (S) en (mathbf {R} ^ n) puede ser escrito únicamente como la unión disjunta de un conjunto perfecto (P) y un conjunto contable (R). Además, (P) es (S ^ α) para α ordinal contable.

El estudio de los ordinales transfinitos dirigió la atención de Cantor hacia conjuntos ordenados, y en particular conjuntos bien ordenados. Un conjunto (S) está bien ordenado por una relación <iff <es un orden total y cada subconjunto de (S) tiene un elemento mínimo en el <orden. (Los números reales no están bien ordenados en su orden habitual: solo considere un intervalo abierto. Mientras tanto, (mathbf {N}) es el conjunto infinito bien ordenado más simple). Cantor argumentó que los ordinales transfinitos realmente merecen el nombre de números, porque expresan el "tipo de orden" de cualquier conjunto bien ordenado posible. Observe también que fue fácil para Cantor indicar cómo reordenar los números naturales para hacerlos corresponder a los tipos de orden (omega + 1), (omega + 2), …, (omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), …, (omega ^ 2), …, (omega ^ { omega}), … y así sucesivamente.(Por ejemplo, reordenando (mathbf {N}) en la forma: 2, 4, 6, …, 5, 15, 25, 35, …, 1, 3, 7, 9, … obtenemos un conjunto que tiene tipo de orden (omega / cdot 3).)

Observe también que la hipótesis del continuo, si es cierta, implicaría que el conjunto (mathbf {R}) de números reales puede estar bien ordenado. Cantor estaba tan comprometido con este punto de vista, que presentó la hipótesis adicional de que cada conjunto puede estar bien ordenado como "una ley fundamental y trascendental del pensamiento". Algunos años más tarde, Hilbert llamó la atención tanto a la Hipótesis de Continuum como al problema de ordenamiento como el Problema 1 en su célebre lista de 'Mathematische Probleme' (1900). Hacerlo fue una forma inteligente de enfatizar la importancia de la teoría de conjuntos para el futuro de las matemáticas y la fecundidad de sus nuevos métodos y problemas.

En 1895 y 1897, Cantor publicó sus últimos dos artículos. Fueron una presentación bien organizada de sus resultados sobre los números transfinitos (cardenales y ordinales) y su teoría, y también sobre tipos de orden y conjuntos bien ordenados. Sin embargo, estos documentos no aportaron nuevas ideas significativas. Desafortunadamente, Cantor tenía dudas sobre una tercera parte que había preparado, que habría discutido cuestiones muy importantes que tienen que ver con el problema del buen orden y las paradojas (ver más abajo). Sorprendentemente, Cantor tampoco incluyó en los documentos de 1895/97 un teorema que había publicado algunos años antes, conocido simplemente como Teorema de Cantor: dado cualquier conjunto (S), existe otro conjunto cuya cardinalidad es mayor (esto es el conjunto de potencia (mathcal {P} (S)), como ahora decimos: Cantor utilizó en su lugar el conjunto de todas las funciones de la forma (f):(S / rightarrow {0, 1 }), que es equivalente). En el mismo artículo corto (1892), Cantor presentó su famosa prueba de que (mathbf {R}) no es numerable por el método de diagonalización, un método que luego extendió para probar el Teorema de Cantor. (Una forma de argumento relacionada había aparecido anteriormente en el trabajo de P. du Bois-Reymond [1875], ver entre otros [Wang 1974, 570] y [Borel 1898], Nota II.)

Mientras tanto, otros autores estaban explorando las posibilidades abiertas por la teoría de conjuntos para los fundamentos de las matemáticas. Lo más importante fue la contribución de Dedekind (1888) con una presentación profunda de la teoría de los números naturales. Formuló algunos principios básicos de la teoría de conjuntos (y mapeo); dio axiomas para el sistema numérico natural; demostró que la inducción matemática es concluyente y las definiciones recursivas son perfectas; desarrolló la teoría básica de la aritmética; introdujo los cardenales finitos; y demostró que su sistema de axiomas es categórico. Su sistema tenía cuatro axiomas. Dada una función φ definida en (S), un conjunto (N / subseteq S) y un elemento distinguido (1 / en N), son los siguientes:

) begin {align} tag {α} & / phi (N) subset N \\ / tag {β} & N = / phi_ {o} {1 } / \ tag {γ} & 1 / not / in / phi (N) / \ tag {δ} & / textrm {la función} phi / textrm {es inyectiva.} end {align})

La condición (β) es crucial ya que garantiza la minimidad para el conjunto de números naturales, lo que explica la validez de las pruebas por inducción matemática. (N = / phi_ {o} {1 }) se lee: (N) es la cadena de singleton {1} bajo la función φ, es decir, el cierre mínimo de {1} bajo la función φ. En general, se considera la cadena de un conjunto (A) bajo un mapeo arbitrario γ, denotado por (gamma_ {o} (A)); En su folleto, Dedekind desarrolló una teoría interesante de tales cadenas, que le permitió probar el teorema de Cantor-Bernstein. La teoría luego fue generalizada por Zermelo y aplicada por Skolem, Kuratowski, etc.

En los años siguientes, Giuseppe Peano dio un tratamiento más superficial (pero también más famoso) de los números naturales, empleando el nuevo lenguaje simbólico de la lógica, y Gottlob Frege elaboró sus propias ideas, que sin embargo fueron víctimas de las paradojas. Un libro importante inspirado en el estilo de pensamiento de teoría de conjuntos fue Grundlagen der Geometrie (1899) de Hilbert, que llevó la "matemática de los axiomas" un paso más allá de Dedekind a través de un rico estudio de sistemas geométricos motivados por preguntas sobre la independencia de sus axiomas. El libro de Hilbert dejó en claro la nueva metodología axiomática que se había ido configurando en relación con los nuevos métodos de teoría de conjuntos, y la combinó con las tendencias axiomáticas que provienen de la geometría proyectiva.

Sin embargo, como dijimos antes, hubo muchas críticas a los métodos infinitos de teoría de conjuntos. Ya en 1870, Kronecker había comenzado a expresar comentarios críticos de una inclinación constructivista que, muchos años después, se haría eco de destacados pensadores como Brouwer o Wittgenstein. La orientación crítica de Kronecker apuntaba en la forma de renunciar al sistema de números reales y al análisis clásico, a favor de una forma de análisis más estricta: ejemplos del siglo XX de esto serían análisis predicativos (H. Weyl se basa en nociones básicas de Poincaré, ver Feferman 1988).) y análisis intuicionista (Brouwer). Incluso Weierstrass tenía objeciones (al menos en 1874) contra la idea de distinguir tamaños de infinito, y eso en la cara de las pruebas de Cantor. Abundan los ejemplos,y así, durante la década de 1900, muchos matemáticos expresaron dudas sobre ideas clave y métodos de teoría de conjuntos. Un caso prototipo es E. Borel, quien después de presentar las ideas de Cantor en Francia [1898], comenzó a sospechar cada vez más de la teoría de conjuntos (las cinco cartas intercambiadas por él y Baire, Lebesgue, Hadamard en 1905 se han hecho famosas; ver Ewald [1996], vol. 2]). Pero también están los casos de Poincaré, Weyl, Skolem, etc. Entre los filósofos, el ejemplo más destacado es Wittgenstein, que condenó la teoría de conjuntos para construir sobre el "sinsentido" del simbolismo ficticio, sugiriendo "imágenes erróneas", etc. Hadamard en 1905 se hizo famoso; ver Ewald [1996, vol. 2]). Pero también están los casos de Poincaré, Weyl, Skolem, etc. Entre los filósofos, el ejemplo más destacado es Wittgenstein, que condenó la teoría de conjuntos para construir sobre el "sinsentido" del simbolismo ficticio, sugiriendo "imágenes erróneas", etc. Hadamard en 1905 se hizo famoso; ver Ewald [1996, vol. 2]). Pero también están los casos de Poincaré, Weyl, Skolem, etc. Entre los filósofos, el ejemplo más destacado es Wittgenstein, que condenó la teoría de conjuntos para construir sobre el "sinsentido" del simbolismo ficticio, sugiriendo "imágenes erróneas", etc.

3. Período crítico

A fines del siglo XIX, era una idea generalizada que las matemáticas puras no son más que una forma elaborada de aritmética. Por lo tanto, era habitual hablar sobre la "aritmetización" de las matemáticas y cómo había traído los más altos estándares de rigor. Con Dedekind e Hilbert, este punto de vista condujo a la idea de fundamentar todas las matemáticas puras en la teoría de conjuntos. Los pasos más difíciles para presentar este punto de vista habían sido el establecimiento de una teoría de los números reales y una reducción teórica de los números naturales. Ambos problemas habían sido resueltos por el trabajo de Cantor y Dedekind. Pero precisamente cuando los matemáticos celebraban que finalmente se había alcanzado el "rigor total", surgieron serios problemas para los fundamentos de la teoría de conjuntos. Primero Cantor, y luego Russell, descubrieron las paradojas en la teoría de conjuntos.

Cantor fue llevado a las paradojas al haber introducido la "esfera conceptual" de los números transfinitos. Cada ordinal transfinito es el tipo de orden del conjunto de sus predecesores; por ejemplo, ω es el tipo de orden de ({0, 1, 2, 3, / ldots }), y (omega + 2) es el tipo de orden de ({0, 1, 2, 3, / ldots, / omega, / omega +1 }). Por lo tanto, a cada segmento inicial de la serie de ordinales, corresponde un ordinal inmediatamente mayor. Ahora, la "serie completa" de todos los ordinales transfinitos formaría un conjunto bien ordenado, y al mismo le correspondería un nuevo número ordinal. Esto es inaceptable, ya que este ordinal (o) debería ser mayor que todos los miembros de la "serie completa", y en particular (o <o). Esto generalmente se llama la paradoja de Burali-Forti, o la paradoja de los ordinales (aunque el propio Burali-Forti no pudo formularlo claramente,ver Moore y Garciadiego 1981).

Aunque es concebible que Cantor haya encontrado esa paradoja ya en 1883, inmediatamente después de introducir los ordinales transfinitos (para argumentos a favor de esta idea, ver Purkert e Ilgauds 1987 y Tait 2000), la evidencia indica claramente que no fue hasta 1896. / 97 que encontró este argumento paradójico y se dio cuenta de sus implicaciones. En este momento, también fue capaz de emplear el Teorema de Cantor para producir la paradoja de Cantor, o la paradoja de los alephs: si existiera un "conjunto de todos" los números cardinales (alephs), el Teorema de Cantor aplicado a él daría un nuevo aleph (aleph), de modo que (aleph <\ aleph). El gran teórico de conjuntos se dio cuenta perfectamente de que estas paradojas eran un golpe fatal para los enfoques "lógicos" de los conjuntos favorecidos por Frege y Dedekind. Cantor enfatizó que sus puntos de vista estaban "en oposición diametral" a la de Dedekind, y en particular a su "ingenua suposición de que todas las colecciones bien definidas, o sistemas, también son 'sistemas consistentes'" (ver la carta a Hilbert, 15 de noviembre, 1899, en Purkert e Ilgauds 1987: 154). (Contrariamente a lo que se ha afirmado a menudo, la ambigua definición de conjunto de Cantor en su artículo de 1895 tenía la intención de ser "diametralmente opuesta" a la comprensión de los lógicos de los conjuntos, a menudo llamada teoría de conjuntos "ingenua", que podría llamarse más propiamente la concepción dicotómica de conjuntos, siguiendo una sugerencia de Gödel.)(Contrariamente a lo que se ha afirmado a menudo, la ambigua definición de conjunto de Cantor en su artículo de 1895 tenía la intención de ser "diametralmente opuesta" a la comprensión de los lógicos de los conjuntos, a menudo llamada teoría de conjuntos "ingenua", que podría llamarse más propiamente la concepción dicotómica de conjuntos, siguiendo una sugerencia de Gödel.)(Contrariamente a lo que se ha afirmado a menudo, la ambigua definición de conjunto de Cantor en su artículo de 1895 tenía la intención de ser "diametralmente opuesta" a la comprensión de los lógicos de los conjuntos, a menudo llamada teoría de conjuntos "ingenua", que podría llamarse más propiamente la concepción dicotómica de conjuntos, siguiendo una sugerencia de Gödel.)

Cantor pensó que podría resolver el problema de las paradojas distinguiendo entre "multiplicidades consistentes" o conjuntos y "multiplicidades inconsistentes". Pero, en ausencia de criterios explícitos para la distinción, esto era simplemente una respuesta verbal al problema. Consciente de las deficiencias en sus nuevas ideas, Cantor nunca publicó un último artículo que había estado preparando, en el que planeaba discutir las paradojas y el problema del buen orden (sabemos bastante bien el contenido de este documento inédito, como cantó en correspondencia con Dedekind e Hilbert; ver las cartas de 1899 a Dedekind en Cantor 1932, o Ewald 1996: vol. 2). Cantor presentó un argumento que se basaba en la paradoja "Burali-Forti" de los ordinales, y tenía como objetivo demostrar que cada conjunto puede estar bien ordenado. Este argumento fue redescubierto más tarde por el matemático británico PEB Jourdain, pero está abierto a críticas porque funciona con "multiplicidades inconsistentes" (término de Cantor en las cartas antes mencionadas).

Las paradojas de Cantor convencieron a Hilbert y Dedekind de que había dudas importantes sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos. Hilbert formuló una paradoja propia (Peckhaus y Kahle 2002), y discutió el problema con los matemáticos en su círculo de Gotinga. Ernst Zermelo fue llevado así a descubrir la paradoja del "conjunto" de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos (Rang y Thomas 1981). Esto fue descubierto independientemente por Bertrand Russell, quien fue guiado por un estudio cuidadoso del Teorema de Cantor, que estaba profundamente en conflicto con la creencia de Russell en un conjunto universal. Algún tiempo después, en junio de 1902, comunicó la "contradicción" a Gottlob Frege, quien estaba completando su propio fundamento lógico de la aritmética, en una conocida carta [van Heijenoort 1967, 124]. La reacción de Frege dejó muy claro el profundo impacto de esta contradicción en el programa lógico. “¿Puedo hablar siempre de una clase, de la extensión de un concepto? Y si no, ¿cómo puedo saber las excepciones? Frente a esto, "No puedo ver cómo la aritmética podría tener una base científica, cómo los números podrían concebirse como objetos lógicos" (Frege 1903: 253).

La publicación del Volumen II de Frege's Grundgesetze (1903), y sobre todo el trabajo de Russell The Principles of Mathematics (1903), hizo que la comunidad matemática fuera plenamente consciente de la existencia de las paradojas de la teoría de conjuntos, de su impacto e importancia. Hay evidencia de que, hasta entonces, incluso Hilbert y Zermelo no habían apreciado completamente el daño. Observe que la paradoja de Russell-Zermelo opera con nociones muy básicas: negación y establecer conceptos de membresía que habían sido ampliamente considerados como puramente lógicos. El "conjunto" (R = {x: x / not / in x }) existe de acuerdo con el principio de comprensión (que permite que cualquier oración abierta determine una clase), pero si es así, (R / in R / textit {iff} R / not / en R). Es una contradicción directa con el principio favorecido por Frege y Russell.

Obviamente, era necesario aclarar los fundamentos de la teoría de conjuntos, pero la situación general no lo hizo una tarea fácil. Los diferentes puntos de vista competitivos eran ampliamente divergentes. Cantor tenía una comprensión metafísica de la teoría de conjuntos y, aunque tenía una de las mejores visiones del campo, no podía ofrecer una base precisa. Era claro para él (como lo había sido, algo misteriosamente, para Ernst Schröder en su Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1891) que uno tiene que rechazar la idea de un Conjunto Universal, favorecido por Frege y Dedekind. Frege y Russell basaron su enfoque en el principio de comprensión, que se mostró contradictorio. Dedekind evitó ese principio, pero postuló que el Universo Absoluto era un conjunto, una "cosa" en su sentido técnico de Gedankending;y unió esa suposición con la plena aceptación de subconjuntos arbitrarios.

Esta idea de admitir subconjuntos arbitrarios había sido una de las inspiraciones profundas de Cantor y Dedekind, pero ninguno de ellos lo había tematizado. (Aquí, su comprensión moderna del análisis jugó un papel fundamental pero implícito, ya que trabajaron dentro de la tradición de Dirichlet-Riemann de funciones "arbitrarias"). En cuanto a la concepción iterativa ahora famosa, había algunos elementos (particularmente en el trabajo de Dedekind, con su desarrollo iterativo del sistema numérico, y sus puntos de vista sobre "sistemas" y "cosas"), pero fue notoriamente ausente de muchos de los autores relevantes. Típicamente, por ejemplo, Cantor no repitió el proceso de formación de conjuntos: tendía a considerar conjuntos de elementos homogéneos, elementos que se suponía que pertenecían "en alguna esfera conceptual" (ya sea números, puntos o funciones,o incluso partículas físicas, pero no entremezcladas). La concepción iterativa fue sugerida por primera vez por Kurt Gödel en [1933], en conexión con el trabajo técnico de von Neumann y Zermelo unos años antes; Gödel insistiría en la idea en su conocido artículo sobre el problema continuo de Cantor. Llegó solo post facto, después de que se habían desarrollado y sistematizado completamente cantidades muy sustanciales de teoría de conjuntos.

Esta variedad de puntos de vista en conflicto contribuyó mucho a la confusión general, pero había más. Además de las paradojas discutidas anteriormente (paradojas teóricas de conjuntos, como decimos), la lista de paradojas "lógicas" incluía un conjunto completo de otras más (luego llamadas "semánticas"). Entre ellas se encuentran las paradojas debidas a Russell, Richard, König, Berry, Grelling, etc., así como la antigua paradoja mentirosa debida a Epiménides. Y los diagnósticos y las curas propuestas para el daño fueron tremendamente variadas. Algunos autores, como Russell, pensaron que era esencial encontrar un nuevo sistema lógico que pudiera resolver todas las paradojas a la vez. Esto lo llevó a la teoría del tipo ramificado que formó la base de Principia Mathematica (3 volúmenes, Whitehead y Russell 1910–1913), su trabajo conjunto con Alfred Whitehead. Otros autores, como Zermelo,creía que la mayoría de esas paradojas se disolvían tan pronto como se trabajaba dentro de un sistema axiomático restringido. Se concentraron en las paradojas de la "teoría de conjuntos" (como hemos hecho anteriormente), y fueron conducidos a buscar sistemas axiomáticos de teoría de conjuntos.

Más importante aún, las preguntas dejadas abiertas por Cantor y enfatizadas por Hilbert en su primer problema de 1900 causaron un acalorado debate. En el Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg, 1904, Gyula (Julius) König propuso una prueba muy detallada de que la cardinalidad del continuo no puede ser ninguno de los alephs de Cantor. Su prueba solo fue errónea porque había confiado en un resultado previamente "probado" por Felix Bernstein, un estudiante de Cantor e Hilbert. Felix Hausdorff tardó algunos meses en identificar la falla y corregirla al establecer adecuadamente las condiciones especiales bajo las cuales el resultado de Bernstein era válido (ver Hausdorff 2001, vol. 1). Una vez corregido de este modo, el teorema de König se convirtió en uno de los pocos resultados que restringe las posibles soluciones del problema continuo, lo que implica, por ejemplo,que (textit {tarjeta} (mathbf {R})) no es igual a (aleph _ { omega}). Mientras tanto, Zermelo pudo presentar una prueba de que cada conjunto puede estar bien ordenado, utilizando el Axioma de Elección [1904]. Durante el año siguiente, destacados matemáticos en Alemania, Francia, Italia e Inglaterra discutieron el Axioma de Elección y su aceptabilidad.

El Axioma de elección establece: Para cada conjunto (A) de conjuntos no vacíos, existe un conjunto que tiene exactamente un elemento en común con cada conjunto en (A). Esto comenzó toda una era durante la cual el Axioma de Elección fue tratado con más cuidado como una hipótesis dudosa (ver el monumental estudio de Moore 1982). Y eso es irónico, ya que, entre todos los principios habituales de la teoría de conjuntos, el Axioma de Elección es el único que hace cumplir explícitamente la existencia de algunos subconjuntos arbitrarios. Pero, por importante que haya sido esta idea para motivar a Cantor y Dedekind, y por muy enredada que esté con el análisis clásico, muchos otros autores rechazaron infinitos subconjuntos arbitrarios. Entre los más influyentes en el período siguiente, uno debe enfatizar los nombres de Russell, Hermann Weyl y, por supuesto, Brouwer.

La elección fue, durante mucho tiempo, un axioma controvertido. Por un lado, es de amplio uso en matemáticas y, de hecho, es clave para muchos teoremas importantes de análisis (esto se fue aclarando gradualmente con trabajos como Sierpiński [1918]). Por otro lado, tiene consecuencias poco intuitivas, como la paradoja de Banach-Tarski, que dice que la bola unitaria puede dividirse en muchas 'piezas' (subconjuntos), que luego pueden reorganizarse para formar dos bolas unitarias (ver Tomkowicz & Wagon [2019]). Las objeciones al axioma surgen del hecho de que afirma la existencia de conjuntos que no pueden definirse explícitamente. Durante las décadas de 1920 y 1930, existía la práctica ritual de mencionarlo explícitamente, siempre que un teorema dependiera del axioma. Esto se detuvo solo después de la prueba de consistencia relativa de Gödel, que se analiza a continuación.

Las impresionantes polémicas que rodeaban su Teorema del buen orden y el problema más interesante y difícil planteado por los fundamentos de las matemáticas llevaron a Zermelo a concentrarse en la teoría de conjuntos axiomáticos. Como resultado de su análisis incisivo, en 1908 publicó su sistema de axiomas, mostrando cómo bloqueaba las paradojas conocidas y, sin embargo, permitía un desarrollo magistral de la teoría de los cardenales y ordinales. Sin embargo, este es el tema de otra entrada (sobre la vida y obra de Zermelo, ver Ebbinghaus [2015]).

4. De Zermelo a Gödel

En el período 1900-1930, la rúbrica "teoría de conjuntos" todavía se entendía que incluía temas en topología y teoría de funciones. Aunque Cantor, Dedekind y Zermelo habían dejado esa etapa atrás para concentrarse en la teoría de conjuntos pura, para los matemáticos en general esto todavía tomaría mucho tiempo. Así, en el primer Congreso Internacional de Matemáticos, 1897, los discursos principales de Hadamard y Hurwitz defendieron la teoría de conjuntos sobre la base de su importancia para el análisis. Alrededor de 1900, motivado por temas en análisis, tres expertos franceses realizaron un trabajo importante: Borel [1898], Baire [1899] y Lebesgue [1902] [1905]. Su trabajo inauguró el desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos al extender los estudios de Cantor sobre conjuntos definibles de números reales (en los que había establecido que la Hipótesis Continua es válida para conjuntos cerrados). Introdujeron la jerarquía de conjuntos Borel, la jerarquía de funciones de Baire y el concepto de medida de Lebesgue, un concepto crucial del análisis moderno.

La teoría descriptiva de conjuntos (DST) es el estudio de ciertos tipos de conjuntos definibles de números reales, que se obtienen de tipos simples (como los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados) mediante operaciones bien entendidas como la complementación o la proyección. Los conjuntos Borel fueron la primera jerarquía de conjuntos definibles, introducidos en el libro de 1898 de Émile Borel; se obtienen de los conjuntos abiertos mediante la aplicación iterativa de las operaciones de unión y complementación contables. En 1905, Lebesgue estudió los conjuntos Borel en una memoria de época, mostrando que su jerarquía tiene niveles para todos los ordinales contables y analizando las funciones de Baire como contrapartes de los conjuntos Borel. El objetivo principal de la teoría de conjuntos descriptiva es encontrar propiedades estructurales comunes a todos estos conjuntos definibles: por ejemplo, se demostró que los conjuntos de Borel tienen la propiedad de conjunto perfecta (si son incontables,tienen un subconjunto perfecto) y, por lo tanto, para cumplir con la hipótesis del continuo (CH). Este resultado fue establecido en 1916 por Hausdorff y Alexandroff, trabajando independientemente. Otras "propiedades de regularidad" importantes estudiadas en el horario de verano son la propiedad de ser medible en Lebesgue, y la llamada propiedad de Baire (que difiere de un conjunto abierto por un llamado conjunto exiguo o conjunto de primera categoría).

También crucial en ese momento fue el estudio de los conjuntos analíticos, es decir, las imágenes continuas de los conjuntos de Borel, o de manera equivalente, las proyecciones de los conjuntos de Borel. El joven matemático ruso Mikhail Suslin encontró un error en las memorias de Lebesgue de 1905 cuando se dio cuenta de que la proyección de un set de Borel no es Borel en general [Suslin 1917]. Sin embargo, pudo establecer que los conjuntos analíticos también poseen la propiedad de conjunto perfecto y, por lo tanto, verificar CH. En 1923, Nikolai Lusin y Wacław Sierpiński estaban estudiando los conjuntos coanalíticos, y esto los llevó a una nueva jerarquía de conjuntos proyectivos, que comienza con los conjuntos analíticos ((Sigma ^ {1} _ {1})), sus complementos (conjuntos coanalíticos, (Pi ^ {1} _ {1})), las proyecciones de estos últimos ((Sigma ^ {1} _ {2}) conjuntos), sus complementos ((Pi ^ {1} _ {2}) conjuntos), y así sucesivamente. Durante la década de 1920 se trabajó mucho en estos nuevos tipos de conjuntos, principalmente por matemáticos polacos en Sierpiński y por la escuela rusa de Lusin y sus alumnos. Un resultado crucial obtenido por Sierpiński fue que cada conjunto (Sigma ^ {1} _ {2}) es la unión de los conjuntos Borel (aleph_ {1}) (lo mismo vale para (Sigma ^ { 1} _ {1}) conjuntos), pero este tipo de investigación tradicional sobre el tema se estancaría después de alrededor de 1940 (ver Kanamori [1995]).

Pronto Lusin, Sierpiński y sus colegas encontraron dificultades extremas en su trabajo. Lusin estaba tan desesperado que, en un artículo de 1925, llegó a la conclusión "totalmente inesperada" de que "uno no sabe y nunca sabrá" si los conjuntos proyectivos tienen las propiedades de regularidad deseadas (citado en Kanamori 1995: 250). Tales comentarios son muy interesantes a la luz de desarrollos posteriores, que han llevado a hipótesis que resuelven todas las preguntas relevantes (Determinación proyectiva, en particular). Subrayan los difíciles problemas metodológicos y filosóficos planteados por estas hipótesis más recientes, a saber, el problema relativo al tipo de evidencia que los respalda.

Lusin resumió el estado del arte en su libro de 1930 Leçons sur les ensembles analytiques (París, Gauthier-Villars), que sería una referencia clave en los años venideros. Desde este trabajo, se ha acostumbrado a presentar resultados en DST para el espacio Baire (^ { omega}) (omega) de secuencias infinitas de números naturales, que en efecto había sido introducido por René Baire en un artículo publicado en 1909. El espacio de Baire está dotado de una cierta topología que lo hace homeomorfo al conjunto de los números irracionales, y los expertos lo consideran como "quizás el objeto más fundamental de estudio de la teoría de conjuntos" junto al conjunto de números naturales [Moschovakis 1994, 135].

Este flujo de trabajo sobre DST debe contarse entre las contribuciones más importantes hechas por la teoría de conjuntos al análisis y la topología. Pero lo que había comenzado como un intento de probar la Hipótesis Continua no pudo alcanzar este objetivo. Pronto se demostró usando el Axioma de Elección que existen conjuntos de reales medibles que no son de Lebesgue (Vitali 1905), y también incontables conjuntos de reales sin un subconjunto perfecto (Bernstein 1908). Dichos resultados dejaron en claro la imposibilidad de alcanzar la meta de CH al concentrarse en conjuntos de reales definibles y con "buen comportamiento".

Además, con el trabajo de Gödel alrededor de 1940 (y también con el forzamiento en la década de 1960) quedó claro por qué la investigación de las décadas de 1920 y 30 se había estancado: los nuevos resultados fundamentales de independencia mostraron que los teoremas establecidos por Suslin (propiedad de conjunto perfecto para conjuntos analíticos), Sierpinski ((Sigma ^ {1} _ {2}) se establece como uniones de (aleph_ {1}) conjuntos Borel) y algunos otros fueron los mejores resultados posibles sobre la base del sistema axiom ZFC. Esto es importante filosóficamente: ya una exploración del mundo de conjuntos definibles a partir de conjuntos abiertos (o cerrados) por complemento, unión contable y proyección había sido suficiente para alcanzar los límites del sistema ZFC. De ahí la necesidad de nuevos axiomas, que Gödel enfatizó después de la Segunda Guerra Mundial [Gödel 1947].

Pasemos ahora al otro legado principal de Cantor, el estudio de los números transfinitos. En 1908, Hausdorff estaba trabajando en innumerables tipos de orden e introdujo la Hipótesis de Continuidad Generalizada ((2 ^ { aleph_ {a}} = / aleph_ {a + 1})). También fue el primero en considerar la posibilidad de un cardenal "exorbitante", es decir, un cardenal débilmente inaccesible, es decir, un cardenal regular que no es un sucesor (un cardenal (alpha) se llama regular si se descompone (alpha) en una suma de cardenales más pequeños requiere (alpha) - muchos de esos números). Pocos años después, a principios de la década de 1910, Paul Mahlo estaba estudiando jerarquías de cardenales tan grandes en el trabajo que fue pionero en lo que se convertiría en un área central de la teoría de conjuntos; obtuvo una sucesión de cardenales inaccesibles mediante el empleo de una determinada operación que implica la noción de un subconjunto estacionario; Se llaman cardenales Mahlo. Pero el estudio de los grandes cardenales se desarrolló lentamente. Mientras tanto, el libro de texto de Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre (1914) introdujo a dos generaciones de matemáticos en la teoría de conjuntos y la topología general.

Los siguientes pasos cruciales hacia el infinito "muy alto" se hicieron en 1930. La noción de cardenales fuertemente inaccesibles fue aislada por Sierpiński y Tarski, y por Zermelo [1930]. Un fuerte inaccesible es un cardenal regular (alpha) tal que (2 ^ x) es menor que (alpha) siempre que (x <\ alpha). Mientras que los inaccesibles débiles simplemente implican el cierre bajo la operación sucesora, los inaccesibles fuertes implican una noción mucho más fuerte de cierre bajo la operación de la unidad de potencia. Ese mismo año, en un documento innovador sobre modelos de ZFC, Zermelo [1930] estableció un vínculo entre los incontables (fuertemente) inaccesibles cardenales y ciertos modelos "naturales" de ZFC (en cuyo trabajo asumió que la operación del conjunto de potencia es, por así decirlo, totalmente determinado).

En ese mismo año, Stanislaw Ulam fue conducido por consideraciones que surgieron del análisis (teoría de la medida) a un concepto que se convertiría en central: los cardenales medibles. Resultó que tales cardenales, definidos por una propiedad de medida teórica, tenían que ser (fuertemente) inaccesibles. De hecho, muchos años después se establecería (por Hanf, trabajando en el trabajo anterior de Tarski) que el primer cardenal inaccesible no es medible, lo que demuestra que estos nuevos cardenales eran aún más "exorbitantes". Como se puede ver, la escuela polaca dirigida por Sierpiński tuvo un papel muy central en el desarrollo de la teoría de conjuntos entre las guerras. Los cardenales medibles cobraron especial importancia a fines de la década de 1960, cuando quedó claro que la existencia de un cardenal medible contradice el axioma de constructibilidad de Gödel ((V = L) en la notación de clase). Esto nuevamente reivindicó las convicciones de Gödel, expresadas en lo que a veces se llama "programa de Gödel" para nuevos axiomas.

La matemática teórica de conjuntos continuó su desarrollo en el poderoso enfoque axiomático y estructural que dominaría gran parte del siglo XX.siglo. Para dar solo un par de ejemplos, el trabajo axiomático temprano de Hilbert (por ejemplo, en sus famosos Fundamentos de la geometría) fue profundamente teórico; Ernst Steinitz publicó en 1910 su investigación sobre la teoría del campo abstracto, haciendo uso esencial del Axioma de Elección; y casi al mismo tiempo, el estudio de los espacios funcionales comenzó con el trabajo de Hilbert, Maurice Fréchet y otros. Durante las décadas de 1920 y 1930, la primera revista especializada en matemáticas, Fundamenta Mathematicae, se dedicó a la teoría de conjuntos como se entendía entonces (incluyendo centralmente la topología y la teoría de funciones). En esas décadas, el álgebra estructural llegó a la mayoría de edad, la topología abstracta se estaba convirtiendo gradualmente en una rama de estudio independiente, y el estudio de la teoría de conjuntos inició su giro metateórico.

Desde entonces, la "teoría de conjuntos" generalmente se ha identificado con la rama de la lógica matemática que estudia los conjuntos transfinitos, originando en el resultado de Cantor que (mathbf {R}) tiene una mayor cardinalidad que (mathbf {N}). Pero, como lo muestra la discusión anterior, la teoría de conjuntos fue a la vez efecto y causa del surgimiento de las matemáticas modernas: las huellas de este origen están estampadas indeleblemente en su estructura axiomática.

Bibliografía

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Otras lecturas

  • Cavaillès, Jean, 1962, Philosophie mathématique, París: Hermann.
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter, 2007, Ernst Zermelo: Un acercamiento a su vida, un trabajo, Nueva York: Springer.
  • Fraenkel, Abraham, 1928, Einleitung en die Mengenlehre, ed. Berlín: Springer.
  • Grattan-Guinness, Ivor (ed.), 1980, Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910, Londres: Duckworth.
  • Kanamori, Akihiro, 2004, "Zermelo y la teoría de conjuntos", Boletín de lógica simbólica, 10 (4): 487–553.
  • –––, 2007, "Gödel y teoría de conjuntos", Boletín de lógica simbólica, 13 (2): 153-188.
  • –––, 2008, “Cohen y la teoría de conjuntos”, Boletín de lógica simbólica, 14 (3): 351–378.
  • –––, 2009, “Bernays y teoría de conjuntos”, Boletín de lógica simbólica, 15 (1): 43–60.
  • Maddy, Penélope, 1988, “Creyendo en los axiomas”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736–764.
  • Wagon, Stan, 1993, La paradoja de Banach-Tarski, Cambridge: Cambridge University Press.

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Otros recursos de internet

  • A History of Set Theory, por JJ O'Connor y EF Robertson, en el archivo The MacTutor History of Mathematics. Tenga en cuenta que su reconstrucción entra en conflicto en algunos puntos con la proporcionada aquí.
  • Programa de Godel (PowerPoint), una charla interesante de John R. Steel (Matemáticas, UC / Berkeley).
  • Una página de inicio para el Axioma de Elección, mantenida por Eric Schechter (Matemáticas, Universidad de Vanderbilt).

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