Orígenes Modernos De La Lógica Modal

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Orígenes modernos de la lógica modal

Publicado por primera vez el martes 16 de noviembre de 2010; revisión sustantiva lun 8 de mayo de 2017

La lógica modal se puede ver en términos generales como la lógica de diferentes tipos de modalidades o modos de verdad: alethic ("necesariamente"), epistémica ("se sabe que"), deóntica ("debería ser el caso"), o temporal ("ha sido el caso") entre otros. Las características lógicas comunes de estos operadores justifican la etiqueta común. Sin embargo, en el sentido estricto, el término "lógica modal" está reservado para la lógica de las modalidades alethic, en oposición, por ejemplo, a la lógica temporal o deóntica. Desde un punto de vista meramente técnico, cualquier lógica con operadores no funcionales de verdad, incluida la lógica de primer orden, puede considerarse como una lógica modal: en esta perspectiva, los cuantificadores también pueden considerarse operadores modales (como en Montague 1960). No obstante, seguimos la comprensión tradicional de las lógicas modales, ya que no incluye la lógica de primer orden completa. En esta perspectiva, son los operadores modales los que se pueden considerar como cuantificadores restringidos, que abarcan entidades especiales como mundos posibles o instantes temporales. Arthur Prior fue uno de los primeros filósofos / lógicos en enfatizar que el sistema modal S5 puede traducirse en un fragmento de lógica de primer orden, al que llamó "el cálculo predicado monádico uniforme de primer orden" (Prior y Fine 1977: 56). Monádico, ya que no es necesario establecer relaciones entre mundos para S5; y uniforme, ya que solo se necesita una variable para cuantificar los mundos (instantes) cuando está vinculado, y para referirse al estado privilegiado (el mundo real o el tiempo presente) cuando está libre (ver Prior y Fine 1977). Con respecto a la cuestión técnica de qué características teóricas del modelo caracterizan las lógicas modales entendidas como fragmentos bien comportados de lógica de primer orden, ver "La lógica modal de Blackburn y van Benthem: una perspectiva semántica" (2007a).

El alcance de esta entrada es el desarrollo histórico reciente de la lógica modal, entendida estrictamente como la lógica de la necesidad y la posibilidad, y particularmente el desarrollo histórico de sistemas de lógica modal, tanto sintáctica como semánticamente, a partir del trabajo pionero de CI Lewis a partir de 1912, con Los primeros sistemas ideados en 1918, para el trabajo de S. Kripke a principios de la década de 1960. En ese corto período de tiempo de menos de cincuenta años, la lógica modal floreció tanto filosófica como matemáticamente. Matemáticamente, se desarrollaron diferentes sistemas modales y los avances en álgebra ayudaron a fomentar la teoría modelo para tales sistemas. Esto culminó en el desarrollo de una semántica formal que extendió a la lógica modal las exitosas técnicas teóricas del modelo de primer orden, permitiendo así resultados completos y decidibles para muchos, pero no todos, los sistemas. Filosóficamente, la disponibilidad de diferentes sistemas y la adopción de la semántica modelo-teórica de mundos posibles fueron naturalmente acompañados por reflexiones sobre la naturaleza de la posibilidad y la necesidad, sobre distintos tipos de necesidades, sobre el papel de la semántica formal y sobre la naturaleza de los mundos posibles, por mencionar solo algunos. En particular, la disponibilidad de diferentes sistemas pone de manifiesto la cuestión filosófica de qué lógica modal es la correcta, bajo alguna interpretación prevista de los operadores modales, por ejemplo, como necesidad lógica o metafísica. Quine planteó insistentemente preguntas sobre la interpretabilidad de la lógica modal, especialmente la lógica modal cuantificada. Todas estas preguntas no se abordan en esta entrada, que se dedica principalmente al desarrollo formal del tema. La disponibilidad de diferentes sistemas y la adopción de la semántica teórica modelo de mundos posibles fueron naturalmente acompañados por reflexiones sobre la naturaleza de la posibilidad y la necesidad, sobre distintos tipos de necesidades, sobre el papel de la semántica formal y sobre la naturaleza de lo posible. mundos, por mencionar solo algunos. En particular, la disponibilidad de diferentes sistemas pone de manifiesto la cuestión filosófica de qué lógica modal es la correcta, bajo alguna interpretación prevista de los operadores modales, por ejemplo, como necesidad lógica o metafísica. Quine planteó insistentemente preguntas sobre la interpretabilidad de la lógica modal, especialmente la lógica modal cuantificada. Todas estas preguntas no se abordan en esta entrada, que se dedica principalmente al desarrollo formal del tema. La disponibilidad de diferentes sistemas y la adopción de la semántica teórica modelo de mundos posibles fueron naturalmente acompañados por reflexiones sobre la naturaleza de la posibilidad y la necesidad, sobre distintos tipos de necesidades, sobre el papel de la semántica formal y sobre la naturaleza de lo posible. mundos, por mencionar solo algunos. En particular, la disponibilidad de diferentes sistemas pone de manifiesto la cuestión filosófica de qué lógica modal es la correcta, bajo alguna interpretación prevista de los operadores modales, por ejemplo, como necesidad lógica o metafísica. Quine planteó insistentemente preguntas sobre la interpretabilidad de la lógica modal, especialmente la lógica modal cuantificada. Todas estas preguntas no se abordan en esta entrada, que se dedica principalmente al desarrollo formal del tema.

La lógica modal es un tema rico y complejo. Esta entrada no presenta una encuesta completa de todos los sistemas desarrollados y de todos los resultados teóricos del modelo probados en el lapso de tiempo en consideración. Sin embargo, ofrece una encuesta significativa de los principales sistemas y tiene como objetivo ser útil para aquellos que buscan un esquema histórico del tema que, incluso si no lo incluye todo, delinea los resultados teóricos del modelo más interesantes e indica nuevas líneas de exploración. Se adopta la división útil de Bull y Segerberg (1984: 3) de las fuentes originales de la lógica modal en tres tradiciones distintas: sintáctica, algebraica y teórica modelo. Para otras tradiciones menos influyentes, ver Bull y Segerberg (1984: 16). Ver también Lindström y Segerberg "Modal Logic and Philosophy" (2007). El enfoque principal de esta entrada está en la lógica modal proposicional, mientras que solo se discuten algunos aspectos particulares de la semántica de la lógica modal cuantificada. Para un tratamiento más detallado de la lógica modal cuantificada, consulte la entrada SEP sobre lógica modal. Con respecto a la notación de la entrada, observe que se adopta (Rightarrow) en lugar del anzuelo de Lewis por implicación estricta, y (Leftrightarrow) por equivalencia estricta.

  • 1. La tradición sintáctica

    • 1.1 Los sistemas de Lewis
    • 1.2 Otros sistemas y axiomatizaciones alternativas de los sistemas de Lewis
  • 2. El método matricial y algunos resultados algebraicos
  • 3. La tradición teórica modelo

    • 3.1 Carnap
    • 3.2 Semántica de los mundos posibles de Kripke
  • Bibliografía

    • Textos introductorios
    • Literatura primaria
    • Literatura secundaria
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. La tradición sintáctica

En un artículo pionero de 1912 en Mind "Implication and the Algebra of Logic", CI Lewis comenzó a expresar sus preocupaciones sobre las llamadas "paradojas de la implicación material". Lewis señala que en Principia Mathematica de Russell y Whitehead encontramos dos "teoremas sorprendentes: (1) una proposición falsa implica cualquier proposición, y (2) una proposición verdadera está implícita en cualquier proposición" (1912: 522). En símbolos:

) tag {1} neg p / rightarrow (p / rightarrow q))

y

) tag {2} p / rightarrow (q / rightarrow p))

Lewis no tiene objeción a estos teoremas en sí mismos:

En sí mismos, no son dichos misteriosos, ni grandes descubrimientos, ni grandes absurdos. Exhiben solamente, en un esquema agudo, el significado de "implica" que se ha incorporado al álgebra. (1912: 522)

Sin embargo, los teoremas son inadecuados frente al significado pretendido de "implicación" y nuestros modos reales de inferencia que el significado pretendido intenta capturar. Así que Lewis tiene en mente un significado previsto para la conectiva condicional (rightarrow) o (supset), y ese es el significado de la palabra inglesa "implica". El significado de "implica" es el de "inferencia y prueba ordinarias" (1912: 531) según el cual una proposición implica otra proposición si la segunda puede deducirse lógicamente de la primera. Dada tal interpretación, (1) y (2) no deberían ser teoremas, y la lógica proposicional puede considerarse poco sólida frente a la lectura de (rightarrow) como implicación lógica. Considere (2) por ejemplo:de la pura verdad de una proposición (p) no se deduce (lógicamente) que (p) se deduce lógicamente de ninguna proposición. Además, dada la lectura estricta de (rightarrow) como implicación lógica y la equivalencia de ((neg p / rightarrow q)) y ((p / vee q)), Lewis infiere esa disyunción también se le debe dar un nuevo sentido de intensidad, según el cual ((p / vee q)) se cumple solo en caso de que (p) no fuera el caso, tendría que ser el caso de que (q).

Consideraciones de este tipo, basadas en la distinción entre lecturas extensionales e intensionales de los conectivos, no eran originales de Lewis. Ya en 1880, Hugh MacColl, en el primero de una serie de ocho artículos sobre el razonamiento simbólico publicado en Mind, afirmó que ((p / rightarrow q)) y ((neg p / vee q)) no son equivalentes: ((neg p / vee q)) se sigue de ((p / rightarrow q)), pero no viceversa (MacColl 1880: 54). Este es el caso porque MacColl interpreta (vee) como disyunción extensional regular, y (rightarrow) como implicación intensiva, pero luego de la falsedad de (p) o la verdad de (q) no se deduce que (p) sin (q) es lógicamente imposible. En el segundo artículo de la serie, MacColl distingue entre certezas, posibilidades y declaraciones variables,e introduce letras griegas como índices para clasificar proposiciones. Entonces (alpha ^ { varepsilon}) expresa que (alpha) es una certeza, (alpha ^ { eta}) que (alpha) es una imposibilidad, y (alpha ^ { theta}) que (alpha) es una variable, es decir, ni una certeza ni una imposibilidad (MacColl 1897: 496–7). Usando esta triple clasificación de declaraciones, MacColl procede a distinguir entre implicación causal y general. Existe una implicación causal entre las declaraciones (alpha) y (beta) si siempre que (alpha) es verdadero (beta) es verdadero y (beta) no es una certeza. Una implicación general se mantiene entre (alpha) y (beta) cada vez que (alpha) y no (- / beta) es imposible, por lo que, en particular, cada vez que (alpha) es imposible o (beta) una certeza (1897: 498). El uso de índices abrió la puerta a la iteración de modalidades, y el comienzo del tercer artículo de la serie (MacColl 1900: 75–6) está dedicado a aclarar el significado de las declaraciones con índices iterados, incluyendo (tau) para la verdad y (iota) para la negación. Entonces, por ejemplo, (A ^ { eta / iota / varepsilon}) se lee como "Es cierto que es falso que A es imposible" (tenga en cuenta que los índices se leen de derecha a izquierda). Curiosamente, la revisión de Bertrand Russell en 1906 del libro de MacColl Symbolic Logic and its Applications (1906) revela que Russell no entendió la idea modal de la variabilidad de una proposición, por lo tanto, atribuyó erróneamente a MacColl una confusión entre oraciones y proposiciones que permitió la atribución de variabilidad solo a oraciones cuyo significado, de ahí el valor de verdad, no fue fijado. Similar,la certeza y la imposibilidad son para Russell las propiedades materiales de las funciones proposicionales (verdaderas de todo o de nada) y no las propiedades modales de las proposiciones. Se podría decir que el trabajo de MacColl llegó demasiado temprano y cayó en oídos sordos. De hecho, Rescher informa sobre la dificultad declarada de Russell para comprender el simbolismo de MacColl y, lo que es más importante, argumenta que la visión de la lógica de Russell tuvo un impacto negativo en el desarrollo de la lógica modal ("Bertrand Russell y la lógica modal" en Rescher 1974: 85-96). A pesar del trabajo anterior de MacColl, Lewis puede ser considerado como el padre de la tradición sintáctica, no solo por su influencia en los lógicos posteriores, sino especialmente por su introducción de varios sistemas que contienen los nuevos conectores intensivos.

1.1 Los sistemas de Lewis

En "El cálculo de la implicación estricta" (1914) Lewis sugiere dos posibles alternativas al sistema extensional de Whitehead y Principia Mathematica de Russell. Una forma de introducir un sistema de implicación estricta consiste en eliminar del sistema aquellos teoremas que, como (1) y (2) anteriores, son verdaderos solo para la implicación material pero no para la implicación estricta, obteniendo así un sistema de sonido para ambos materiales y implicación estricta, pero en ningún caso completa. La segunda alternativa, más fructífera, consiste en introducir un nuevo sistema de implicación estricta, todavía modelado en el sistema de implicación material de Whitehead y Russell, que contendrá (todo o parte de) la lógica proposicional extensional como una parte adecuada, pero aspirando a la integridad. para al menos una implicación estricta. Esta segunda opción se desarrolla más en A Survey of Symbolic Logic (1918). Allí, Lewis introduce un primer sistema destinado a capturar el sentido estricto de implicación ordinario, guiado por la idea de que:

A menos que "implica" tenga algún significado "adecuado", no existe un criterio de validez, ni siquiera la posibilidad de plantear la cuestión de si existe o no. Y sin embargo, la pregunta ¿Cuál es el significado "adecuado" de "implica"? sigue siendo particularmente difícil. (1918: 325)

El sistema de 1918 toma como primitiva la noción de imposibilidad ((neg / Diamond)), define al operador de implicación estricta en sus términos y aún emplea a un operador de disyunción intensiva. Sin embargo, Post demostrará que este sistema lleva al colapso de la necesidad a la verdad, alternativamente, de la imposibilidad a la falsedad, ya que desde uno de sus teoremas ((((p / Rightarrow q) Leftrightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))) se puede demostrar que ((neg p / Leftrightarrow / neg / Diamond p)). En 1920, “Implicación estricta: una enmienda”, Lewis corrige el sistema sustituyendo el antiguo axioma por el más débil: ((((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))). Finalmente, en el Apéndice II del volumen de Lewis y Langford, Symbolic Logic (1932:492–502) “La estructura del sistema de implicación estricta” al sistema de 1918 se le da una nueva base axiomática.

En el apéndice de 1932, CI Lewis introduce cinco sistemas diferentes. El símbolo primitivo modal es ahora el operador de posibilidad (Diamond), la implicación estricta ((p / Rightarrow q)) se define como (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), y (vee) es una disyunción extensional ordinaria. El operador de necesidad (Box) también se puede introducir y definir, aunque Lewis no, de la manera habitual como (neg / Diamond / neg).

Donde (p, q) y (r) son variables proposicionales, el Sistema S1 tiene los siguientes axiomas:

Axiomas para S1

) begin {align} tag {B1} (p / wedge q) & / Rightarrow (q / wedge p) / \ tag {B2} (p / wedge q) & / Rightarrow p \\ / tag {B3 } p & / Rightarrow (p / wedge p) / \ tag {B4} ((p / wedge q) wedge r) & / Rightarrow (p / wedge (q / wedge r)) / \ tag {B5} p & / Rightarrow / neg / neg p \\ / tag {B6} ((p / Rightarrow q) wedge (q / Rightarrow r)) & / Rightarrow (p / Rightarrow r) / \ tag {B7} (p / wedge (p / Rightarrow q)) & / Rightarrow q \\ / end {align})

El Axioma B5 fue probado como redundante por McKinsey (1934), y por lo tanto puede ser ignorado.

Las reglas son (1932: 125–6):

Reglas para S1

Sustitución uniforme

Una fórmula válida sigue siendo válida si una fórmula se sustituye uniformemente por una variable proposicional.

Sustitución de equivalentes estrictos

Cualquiera de las dos fórmulas estrictamente equivalentes puede sustituirse entre sí.

Adjunción

Si se ha inferido (Phi) y (Psi), entonces se puede inferir (Phi / wedge / Psi).

Inferencia estricta

Si se han inferido (Phi) y (Phi / Rightarrow / Psi), entonces se puede inferir (Psi).

El Sistema S2 se obtiene del Sistema S1 al agregar lo que Lewis llama "el postulado de consistencia", ya que obviamente se cumple para (Diamond) interpretado como consistencia:

) tag {B8} Diamond (p / wedge q) Rightarrow / Diamond p)

El sistema S3 se obtiene del sistema S1 agregando el axioma:

) tag {A8} ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p)))

El sistema S3 corresponde al sistema de 1918 de A Survey, que Lewis originalmente consideró el sistema correcto por implicación estricta. Para 1932, Lewis ha llegado a preferir el sistema S2. La razón, como se informó en Lewis 1932: 496, es que tanto Wajsberg como Parry derivaron en el sistema S3 -en su axiomatización de 1918- el siguiente teorema:

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)),)

que según Lewis no debe considerarse como un principio válido de deducción. En 1932, Lewis no está seguro de que el teorema cuestionable no sea derivable en S2. De ser así, él juzgaría a S1 como el sistema apropiado para una implicación estricta. Sin embargo, Parry (1934) demostrará más tarde que ni A8 ni

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)))

se puede derivar en S2.

Se puede agregar un axioma de existencia adicional a todos estos sistemas:

) tag {B9} (exist p, q) (neg (p / Rightarrow q) wedge / neg (p / Rightarrow / neg q)))

La adición de B9 hace que sea imposible interpretar (Rightarrow) como implicación material, ya que en el caso de implicación material se puede demostrar que para cualquier proposición (p) y (q, ((p / rightarrow q) vee (p / rightarrow / neg q))) (1932: 179). De B9 Lewis procede a deducir la existencia de al menos cuatro proposiciones lógicamente distintas: una verdadera y necesaria, una verdadera pero no necesaria, una falsa e imposible, una falsa pero no imposible (1932: 184–9).

Siguiendo a Becker (1930), Lewis considera tres axiomas más:

Tres axiomas adicionales

) begin {align} tag {C10} neg / Diamond / neg p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / neg / Diamond / neg p \\ / tag {C11} Diamond p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / tag {C12} p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / end {align})

El sistema S4 agrega el axioma C10 a la base de S1. El sistema S5 agrega el axioma C11, o alternativamente C10 y C12, a la base de S1. Lewis concluye el Apéndice II señalando que el estudio de la lógica es mejor al enfocarse en sistemas más débiles que S5 y no exclusivamente en S5.

También surgen paradojas de implicación estricta similares a las de implicación material. Dado que la implicación estricta ((p / Rightarrow q)) se define como (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), se deduce que una proposición imposible implica algo, y que una proposición necesaria está implícita por cualquier cosa Lewis argumenta que esto es lo que debería ser. Como la imposibilidad se considera imposibilidad lógica, es decir, en última instancia, una contradicción, Lewis argumenta que a partir de una proposición imposible como ((p / wedge / neg p)), tanto (p) como (neg p) seguir. De (p) podemos derivar ((p / vee q)), para cualquier proposición (q). De (neg p) y ((p / vee q)), podemos derivar (q) (1932: 250). El argumento es controvertido ya que uno podría pensar que el principio ((p / Rightarrow (p / vee q))) no debería ser un teorema de un sistema que apunta a expresar una implicación ordinaria (ver, por ejemplo, Nelson 1930: 447). Cualesquiera que sean los méritos de este argumento, aquellos que no estaban de acuerdo con Lewis comenzaron a desarrollar una lógica de vinculación basada en el supuesto de que la vinculación requiere más que la estricta implicación de Lewis. Ver, por ejemplo, Nelson 1930, Strawson 1948 y Bennett 1954. Ver también la entrada SEP sobre lógica de relevancia.

Observe que fue la búsqueda de Lewis de un sistema apto para expresar una implicación estricta lo que hizo que Quine rechazara los sistemas modales basados en una confusión de mención de uso en la medida en que dichos sistemas fueron formulados para expresar a nivel de objeto nociones teóricas o semánticas de prueba como consistencia, implicación, derivabilidad y teorema (de hecho, cada vez que (p / rightarrow q) es un teorema proposicional, sistema S1, y todos los otros sistemas de Lewis más fuertes también pueden probar (p / Rightarrow q) (Parry 1939: 143)).

1.2 Otros sistemas y axiomatizaciones alternativas de los sistemas de Lewis

Gödel en "Una interpretación del cálculo proposicional intuicionista" (1933) es el primero en proponer una axiomatización alternativa del sistema Lewis S4 que separa la base proposicional del sistema de los axiomas y reglas modales. Gödel agrega las siguientes reglas y axiomas al cálculo proposicional.

) begin {align *} tag {Necessitation} textrm {If} mvdash / alpha & / textrm {then} mvdash / Box / alpha, \\ / tag {Axiom K} mvdash / Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q), \\ / tag {Axiom T} mvdash / Box p & / rightarrow p / textrm {, y} / \ tag {Axiom 4} mvdash / Box p & / rightarrow / Box / Box p. \\ / end {align *})

Inicialmente, Gödel emplea un operador (B) de capacidad de prueba para traducir las conectivas intuitivas primitivas de Heyting, y luego observa que si reemplazamos (B) con un operador necesario, obtenemos el sistema S4. Gödel también afirma que una fórmula (Box p / vee / Box q) no es demostrable en S4 a menos que (Box p) o (Box q) sea demostrable, de manera análoga a la disyunción intuicionista. La afirmación de Gödel será probada algebraicamente por McKinsey y Tarski (1948). La breve nota de Gödel es importante para comenzar la fructífera práctica de axiomatizar los sistemas modales que separan el cálculo proposicional de la parte estrictamente modal, pero también para conectar la lógica intuicionista y la modal.

Feys (1937) es el primero en proponer el sistema T restando el axioma 4 del sistema S4 de Gödel (véase también Feys 1965: 123-124). En An Essay in Modal Logic (1951), von Wright analiza las modalidades alethic, epistémica y deóntica, e introduce el sistema M, que Sobociński (1953) demostrará ser equivalente al sistema T de Feys. Von Wright (1951: 84-90) demuestra que el sistema de M contiene de Lewis S2, que contiene S1 -donde sistema S se dice que contiene sistema S ' si todas las fórmulas demostrable en S' puede ser probado en S también. Sistema S3, una extensión de S2, no está contenido en M. Tampoco está M contenido en S3. Von Wright encuentra S3 de poco interés independiente, y no ve ninguna razón para adoptar S3 en lugar del S4 más fuerte. En general, los sistemas de Lewis están numerados en orden de fuerza, con S1 el más débil y S5 el más fuerte, los sistemas más débiles están contenidos en los más fuertes.

Lemmon (1957) también sigue a Gödel en la axiomatización de sistemas modales sobre una base de cálculo proposicional, y presenta una axiomatización alternativa de los sistemas de Lewis. Donde PC es la base de cálculo proposicional, PC puede caracterizarse como las siguientes tres reglas (1957: 177):

Una caracterización de cálculo proposicional para PC

  • PCa Si (alpha) es una tautología, entonces (mvdash / alpha)
  • Sustitución de PCb por variables proposicionales
  • PCc Material desprendimiento / Modus Ponens: si (alpha) y (alpha / rightarrow / beta) son tautologías, entonces también lo es (beta)

Otras reglas en el sistema de Lemmon son:

  • (a) Si (mvdash / alpha) entonces (mvdash / Box / alpha) (Necesidad)
  • (a ') Si (alpha) es una tautología o un axioma, entonces (mvdash / Box / alpha)
  • (b) Si (mvdash / Box (alpha / rightarrow / beta)) entonces (mvdash / Box (Box / alpha / rightarrow / Box / beta))
  • (b ') Sustituibilidad de equivalentes estrictos.

Otros axiomas en el sistema de Lemmon son:

) begin {align} tag {1} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow / Box (Box p / rightarrow / Box q) / \ tag {1 '} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q) & / textrm {(Axiom K)} / \ tag {2} Box p & / rightarrow p & / textrm {(Axiom T)} / \ tag { 3} (Box (p / rightarrow q) wedge / Box (q / rightarrow r)) & / rightarrow / Box (p / rightarrow r) / \ end {align})

Usando las reglas y axiomas anteriores, Lemmon define cuatro sistemas. El sistema P1, que se demuestra equivalente al sistema Lewis S1, emplea la base proposicional (PC), las reglas (a '), la necesidad de tautologías y axiomas, y (b'), y los axiomas (2) y (3). El sistema P2, equivalente a S2, emplea (PC), reglas (a ') y (b), y axiomas (2) y (1'). El sistema P3, equivalente a S3, emplea (PC), la regla (a ') y los axiomas (2) y (1). El sistema P4, equivalente a S4, emplea (PC), regla (a) y axiomas (2) y (1). En la axiomatización de Lemmon es fácil ver que S3 y el sistema M de von Wright M (Feys ' T) no están incluidos entre sí, dada la regla de necesidad más fuerte de M y el axioma más fuerte de S3 (1) en lugar de (1') = K. En general, la axiomatización de Lemmon hace más claras las distinciones lógicas entre los diferentes sistemas de Lewis.

Lemmon considera también algunos sistemas más débiles que S1. De particular interés es el sistema S0.5 que debilita S1 al reemplazar la regla (a ') con la regla más débil (a ″):

(a ″) Si (alpha) es una tautología, entonces (mvdash / Box / alpha)

Lemmon interpreta el sistema S0.5 como una metalogía formalizada del cálculo proposicional, donde (Box / alpha) se interpreta como "(alpha) es una tautología".

Llamamos "normal" a los sistemas que incluyen PC, axioma K y la regla de necesidad. El sistema K es el sistema normal más pequeño. Sistema T añade axioma T para el sistema K. El sistema B (el sistema Brouwersche) agrega el axioma B

) mvdash p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(equivalente al C12 de Becker)})

al sistema T. S4 añade axioma 4 (equivalente a C10 de Becker) al sistema de T. S5 agrega los axiomas B y 4, o alternativamente el axioma E

) mvdash / Diamond p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(equivalente al C11 de Becker)})

al sistema T. Los sistemas de Lewis S1, S2 y S3 no son normales dado que no contienen la regla de Necesidad. Para la relación entre estos (y otros) sistemas, y las condiciones en los marcos que imponen los axiomas, consulte la entrada SEP en lógica modal.

Aquí solo se mencionan algunas de las muchas extensiones de los sistemas de Lewis que se han discutido en la literatura. Alban (1943) introdujo el sistema S6 al agregar a S2 el axioma (mvdash / Diamond / Diamond p). Halldén (1950) llama a S7 el sistema que agrega el axioma (mvdash / Diamond / Diamond p) a S3, y S8 el sistema que extiende S3 con la adición del axioma (mvdash / neg / Diamond / neg / Diamante / Diamante p). Si bien la adición de un axioma de posibilidad universal (mvdash / Diamond p) sería incompatible con todos los sistemas de Lewis, ya que todos contienen teoremas de la forma (mvdash / Box p), los sistemas S6, S7 y S8 son consistentes. En cambio, la adición de cualquiera de estos axiomas a S4, y también a S5, da como resultado un sistema inconsistente, dado que en S4 (mvdash / Diamond / Diamond p / Rightarrow / Diamond p). Halldén también demostró que una fórmula es un teorema de S3 si y solo si es un teorema de S4 y S7 (1950: 231–232), por lo que S4 y S7 son dos extensiones alternativas de S3.

2. El método matricial y algunos resultados algebraicos

En "Observaciones filosóficas sobre sistemas de lógica proposicional de muchos valores" (1930. Pero Łukasiewicz 1920 es una versión preliminar polaca de las ideas principales de este artículo), Łukasiewicz dice:

Cuando reconocí la incompatibilidad de los teoremas tradicionales sobre proposiciones modales en 1920, me ocupé de establecer el sistema del cálculo proposicional ordinario de "dos valores" mediante el método de la matriz. En ese momento me convencí de que todas las tesis del cálculo proposicional ordinario podían probarse asumiendo que sus variables proposicionales podían asumir solo dos valores, "0" o "falso", y "1" o "verdadero". (1970: 164)

Este pasaje ilustra bien cómo Łukasiewicz pensaba en la lógica a principios de los años veinte. Primero, estaba pensando en términos algebraicos, en lugar de sintácticamente, no solo con la construcción de nuevos sistemas, sino con la evaluación de los sistemas en relación con conjuntos de valores. En segundo lugar, estaba introduciendo matrices de tres valores para hacer un espacio lógico para la noción de proposiciones (eminentemente sobre futuros contingentes) que no son ni verdaderas ni falsas, y que reciben el nuevo valor indeterminado ½. Irónicamente, el trabajo posterior que emplee su método de matriz original mostrará que la esperanza de tratar la lógica modal como un sistema de tres valores no puede realizarse. Vea también la entrada SEP sobre lógica de muchos valores.

Una matriz para una lógica proposicional L viene dada por (i) un conjunto K de elementos, los valores de verdad, (ii) un subconjunto no vacío (D / subseteq K) de valores de verdad designados, y (iii) operaciones en el conjunto K, es decir, funciones desde (n) - tuplas de valores de verdad a valores de verdad, que corresponden a los conectivos de L. Una matriz satisface una fórmula A bajo una asignación (sigma) de elementos de K a las variables de A si el valor de A debajo de (sigma) es un miembro de D, es decir, un valor designado. Una matriz satisface una fórmula si la satisface en cada asignación (sigma). Una matriz para una lógica modal M extiende una matriz para una lógica proposicional al agregar una función unaria que corresponde al conectivo (Diamond).

Las matrices se usan típicamente para mostrar la independencia de los axiomas de un sistema, así como su consistencia. La consistencia de dos fórmulas A y B se establece mediante una matriz que, bajo una asignación (sigma), asigna valores designados a ambas fórmulas. La independencia de la fórmula B de la fórmula A se establece mediante una matriz que (i) preserva la validez de las reglas del sistema y que (ii) bajo una interpretación (sigma) asigna a A pero no a B un valor designado. Parry (1939) usa el método de la matriz para mostrar que el número de modalidades de los sistemas S3 y S4 de Lewises finito Una modalidad es una función modal de una variable que contiene solo los operadores (neg) y (Diamond). El grado de una modalidad viene dado por el número de operadores (Diamond) contenidos. Una modalidad adecuada es de grado superior a cero. Las modalidades adecuadas pueden ser de cuatro formas diferentes:

) begin {align} tag {1} neg / ldots / Diamond p \\ / tag {2} Diamond / ldots / Diamond p \\ / tag {3} neg / ldots / Diamond / neg p / \ / tag {4} Diamond / ldots / neg p. \\ / end {align})

Las modalidades impropias son (p) y (neg p) (1939: 144). Parry demuestra que S3 tiene 42 modalidades distintas, y que S4 tiene 14 modalidades distintas. Ya se sabía que el sistema S5 tiene solo 6 modalidades distintas, ya que reduce todas las modalidades a modalidades de grado cero o uno. Parry presenta el sistema S4.5 agregando a S4 el siguiente axioma:

) mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / neg / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond p.)

El sistema reduce el número de modalidades de S4 de 14 a 12 (o 10 adecuadas). La adición del mismo axioma al sistema S3 de Lewis da como resultado un sistema con 26 modalidades distintas. Además, si agregamos

) mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p)

a S3 obtenemos un sistema distinto con 26 modalidades también intermedias entre S3 y S4. Por lo tanto, el número de modalidades no determina únicamente un sistema. Los sistemas S1 y S2, así como T y B, tienen un número infinito de modalidades (Burgess 2009, capítulo 3 sobre Modal Logic, analiza los sistemas adicionales S4.2 y S4.3 y explica bien la reducción de modalidades en diferentes sistemas).

Una matriz característica para un sistema L es una matriz que satisface todos y solo los teoremas de L. Una matriz es finita si su conjunto K de valores de verdad es finito. Una matriz característica finita produce un procedimiento de decisión, donde un sistema es decidible si cada fórmula del sistema que no es un teorema es falsificada por alguna matriz finita (esta es la propiedad del modelo finito). Sin embargo, Dugundji (1940) muestra que ninguno de S1 - S5 tiene una matriz característica finita. Por lo tanto, ninguno de estos sistemas puede verse como una lógica valorada en (n) para un (n) finito. Más tarde, Scroggs (1951) demostrará que cada extensión adecuada de S5 que conserva el desprendimiento por implicación material y se cierra bajo sustitución tiene una matriz característica finita.

A pesar de su falta de una matriz característica finita, McKinsey (1941) muestra que los sistemas S2 y S4 son decidibles. Para probar estos resultados, McKinsey introduce matrices modales ((K, D, -, *, / times)), con (-), (*) y (times) correspondientes a la negación, posibilidad, y conjunción respectivamente. Una matriz es normal si cumple las siguientes condiciones:

  1. si (x / en D) y ((x / Rightarrow y) en D) y (y / en K), entonces (y / en D),
  2. si (x / en D) y (y / en D), entonces (x / veces y / en D),
  3. si (x / en K) y (y / en K) y (x / Leftrightarrow y / en D), entonces (x = y).

Estas condiciones corresponden a las reglas de Lewis de inferencia estricta, adjunción y sustitución de equivalentes estrictos. La estructura de la prueba de McKinsey es la siguiente. La prueba emplea tres pasos. Primero, usando un método inédito de Lindenbaum que Tarski le explicó y que se aplica a los sistemas que tienen la regla de sustitución de variables proposicionales, McKinsey muestra que hay una matriz de características S2 (M = (K, D, -, *, / times)) que no cumple la condición (iii) y, por lo tanto, no es normal. M es una matriz trivial cuyo dominio es el conjunto de fórmulas del sistema, cuyos elementos designados son los teoremas del sistema y cuyas operaciones son los propios conectivos. La matriz trivial M no satisface (iii) dado que para algunas fórmulas distintas A y B, (A / Leftrightarrow B) es unTeorema S2. En segundo lugar, McKinsey muestra cómo construir a partir de M una matriz de características S2 normal, pero aún infinita (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, / times_1)), cuyos elementos son clases de equivalencia de equivalentes demostrables fórmulas de S2, es decir, de fórmulas A y B de modo que (A / Leftrightarrow B) es un teorema de S2, y cuyas operaciones se revisan en consecuencia. Por ejemplo, si (E (A)) es el conjunto de fórmulas demostrablemente equivalente a A y (E (A) en K_1), entonces (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) satisface exactamente las fórmulas satisfechas por M sin violar la condición (iii), por lo tanto, es una matriz normal característica para S2 ((M_1) es el álgebra de Lindenbaum para S2) Finalmente, se muestra que para cada fórmula A que no es un teorema de S2 hay una matriz finita y normal (un subálgebra de (M_1)) que la falsifica. Una prueba similar se da para S4.

Una matriz es un tipo especial de álgebra. Un álgebra es una matriz sin un conjunto D de elementos designados. Las álgebras booleanas corresponden a matrices para lógica proposicional. Según Bull y Segerberg (1984: 10), la generalización de las matrices a las álgebras puede haber tenido el efecto de alentar el estudio de estas estructuras independientemente de sus conexiones con los sistemas lógicos y modales. El conjunto de elementos designados D, de hecho, facilita una definición de validez con respecto a la cual se pueden evaluar los teoremas de un sistema. Sin ese conjunto, el vínculo más obvio con la lógica se corta. Una segunda generalización a las clases de álgebras, en lugar de meramente a las álgebras individuales, también fue crucial para el desarrollo matemático de la materia. Tarski es la figura más destacada en dicho desarrollo.

Jónsson y Tarski (1951 y 1952) presentan la idea general de álgebras booleanas con operadores, es decir, extensiones de álgebras booleanas mediante la adición de operadores que corresponden a las conectivas modales. Demuestran un teorema de representación general para álgebras booleanas con operadores que amplían el resultado de Stone para álgebras booleanas (cada álgebra booleana puede representarse como un álgebra fija). Este trabajo de Jónsson y Tarski evolucionó a partir del estudio puramente matemático de Tarski del álgebra de las relaciones y no incluye ninguna referencia a la lógica modal o incluso a la lógica en general. El teorema de Jónsson y Tarski es un análogo algebraico (más general) de los últimos resultados de integridad semántica de Kripke, sin embargo, esto no se realizó durante algún tiempo. Tarski no solo no estaba al tanto de la conexión,pero parece que tanto Kripke como Lemmon no habían leído los documentos de Jónsson y Tarski en el momento en que hicieron su trabajo modal a finales de los años cincuenta y sesenta, y Kripke afirma haber alcanzado el mismo resultado de forma independiente.

Lemmon (1966a y 1966b) adapta los métodos algebraicos de McKinsey para demostrar resultados de capacidad de decisión y teoremas de representación para varios sistemas modales, incluido T(aunque aparentemente ignorante del trabajo de Jónsson y Tarski). En particular, extiende el método de McKinsey al introducir una nueva técnica para construir álgebras finitas de subconjuntos de una estructura modelo de Kripke (discutido en la siguiente sección de esta entrada). Lemmon (1966b: 191) atribuye a Dana Scott el resultado principal de su segundo artículo de 1966. Este es un teorema de representación general que demuestra que las álgebras para sistemas modales pueden representarse como álgebras basadas en el conjunto de potencias del conjunto K en las estructuras de Kripke correspondientes. Como consecuencia, la integridad algebraica se traduce en la integridad teórica del modelo de Kripke. Entonces, Lemmon aclara muy claramente la conexión entre los modelos de Kripke cuyos elementos son mundos y las álgebras correspondientes cuyos elementos son conjuntos de mundos que pueden considerarse como proposiciones,mostrando así que los resultados algebraicos y teóricos del modelo están profundamente conectados. Kripke (1963a) ya es explícito en esta conexión. En The Lemmon Notes (1977), escrito en colaboración con Dana Scott y editado por Segerberg, la técnica de 1966 se transforma en un método teórico puramente modelo que produce resultados completos y decidibles para muchos sistemas de lógica modal de la forma más general posible (1977: 29).

Vea también la entrada SEP sobre el álgebra de la tradición lógica. Para una introducción básica al álgebra de la lógica modal, consulte Hughes y Cresswell 1968, Capítulo 17 sobre "Álgebra booleana y lógica modal". Para un tratamiento más completo, ver el capítulo 5 de Blackburn, de Rijke y Venema 2001. Ver también Goldblatt 2003.

3. La tradición teórica modelo

3.1 Carnap

A principios de la década de 1940, el reconocimiento de la naturaleza semántica de la noción de verdad lógica llevó a Rudolf Carnap a una explicación informal de esta noción en términos de mundos posibles leibnizianos. Al mismo tiempo, reconoció que los muchos avances sintácticos en la lógica modal desde 1918 en adelante todavía no estaban acompañados de consideraciones semánticas adecuadas. Una excepción notable fue la interpretación de Gödel de la necesidad como demostrabilidad y la preferencia resultante por S4. Carnap, en cambio, pensó en la necesidad como verdad lógica o analiticidad. Las consideraciones sobre las propiedades de las oraciones lógicamente verdaderas lo llevaron a pensar en S5como el sistema correcto para formalizar esta noción 'informal'. El trabajo de Carnap a principios de los años cuarenta se centraría en (1) definir una noción semántica formal de L-verdad apta para representar las nociones semánticas informales de verdad lógica, necesidad y analiticidad, es decir, la verdad solo en virtud del significado (inicialmente, no hizo distinción entre estas nociones, pero claramente pensó en la analiticidad como la idea principal); y (2) proporcionar una semántica formal para S5 cuantificado en términos de la noción formal de L-verdad con el objetivo de obtener resultados de solidez e integridad, es decir, demostrar que todos los teoremas de S5 cuantificado son L-verdadero, y que todos las verdades L (expresables en el lenguaje del sistema) son teoremas del sistema.

La idea de sistemas modales cuantificados también se le ocurrió a Ruth Barcan. En "Un cálculo funcional de primer orden basado en una implicación estricta" (1946a) añadió cuantificación al sistema proposicional de Lewis S2; Carnap (1946) lo agregó a S5. Aunque se considerarán algunos puntos semánticos específicos sobre la lógica modal cuantificada, esta entrada no se centra en el desarrollo de la lógica modal cuantificada, sino más bien en la aparición de la semántica formal teórica modelo para la lógica modal, proposicional o cuantificada. Para un tratamiento más extenso de la lógica modal cuantificada, consulte la entrada SEP sobre lógica modal.

En "Modalidades y cuantificación" (1946) y en Significado y necesidad (1947), Carnap interpreta que el operador del lenguaje objeto de la necesidad expresa, a nivel del objeto, la noción semántica de la verdad lógica:

[L] a idea rectora en nuestras construcciones de sistemas de lógica modal es esta: una proposición (p) es lógicamente necesaria si y solo si una oración que expresa (p) es lógicamente verdadera. Es decir, el concepto modal de la necesidad lógica de una proposición y el concepto semántico de la verdad lógica o analiticidad de una oración se corresponden entre sí. (1946: 34)

Carnap introduce el aparato de descripciones de estado para definir la noción semántica formal de L-verdad. Esta noción formal se utilizará para proporcionar una semántica formal para S5.

Una descripción de estado para un lenguaje L es una clase de oraciones de L tal que, para cada oración atómica (p) de L, ya sea (p) o (neg p), pero no ambas, es contenido en la clase. Una oración atómica se mantiene en una descripción de estado R si y solo si pertenece a R. Una oración (neg A) (donde A no necesita ser atómica) se mantiene en R si y solo si A no se mantiene en R; ((A / wedge B)) se mantiene en R si y solo si A y B se mantienen en R, y así sucesivamente para los otros conectivos de la manera inductiva habitual; ((forall x) Fx) se mantiene en R si y solo si todas las instancias de sustitución de (Fx) se mantienen en R. El rango de una oración es la clase de descripciones de estado en la que se encuentra. La noción de validez de Carnap o verdad L es una noción máxima, es decir, Carnap define una oración como válida o L verdadera si y solo si se cumple en todas las descripciones de estado. En trabajos posteriores, Carnap adopta modelos en lugar de descripciones de estado. Los modelos son asignaciones de valores a las constantes no lógicas primitivas del lenguaje. En el caso de Carnap, las constantes predicadas son las únicas constantes primitivas a las que los modelos asignan valores, ya que las constantes individuales reciben una interpretación fija previa al modelo y las asignaciones de valores a las variables se realizan independientemente de los modelos (1963a).

Es importante notar que la definición de L-verdad no emplea la noción de verdad, sino más bien la de mantener una descripción de estado. La verdad se introduce más tarde como lo que se encuentra en la descripción del estado real. Para ser una representación formal adecuada de la analiticidad, la verdad debe respetar la idea básica detrás de la analiticidad: la verdad solo en virtud del significado. De hecho, las verdades L de un sistema S son tales que las reglas semánticas de S son suficientes para establecer su verdad. Informalmente, las descripciones de estado representan algo así como mundos posibles leibnizianos o posibles estados de cosas de Wittgenstein y se supone que el rango de descripciones de estado para un determinado idioma agota el rango de posibilidades alternativas que se pueden describir en ese idioma.

Con respecto a las oraciones modales, Carnap adopta las siguientes convenciones (usamos (Box) en lugar del operador N de Carnap por necesidad lógica). Sea S un sistema:

  1. Una oración (Box A) es verdadera en S si y solo si (A) es L -verdadero en S (entonces una oración (Box A) es verdadera en S si y solo si (A) se mantiene en todas las descripciones de estado de S);
  2. Una oración (Box A) es L-verdadera en S si y solo si (Box A) es verdadera en S (por lo que todas las descripciones de estado coinciden en su evaluación de las oraciones modales).

De lo que se deduce que:

(Box A) es L-verdadero en S si y solo si (A) es L-verdadero en S

Las convenciones de Carnap también son válidas si sustituimos "verdad en una descripción estatal de S" por "verdad en S".

Carnap asume un dominio fijo de cuantificación para su sistema cuantificado, el cálculo funcional con identidad FC y, en consecuencia, para el cálculo funcional modal con identidad MFC, una forma cuantificada de S5. El lenguaje de FC contiene muchas constantes individuales, el universo del discurso contiene muchas personas, a cada constante se le asigna un individuo del dominio y no se le asignan dos constantes al mismo individuo. Esto hace oraciones como (a = a) L -verdadero, y oraciones como (a = b) L -false (1946: 49). En cuanto a MFC, la fórmula de Barcan y su inverso son ambas L-verdadero, es decir,) mvDash (forall x) Box Fx / leftrightarrow / Box (forall x) Fx.)

Este resultado está garantizado por el supuesto de un dominio fijo de cuantificación. Carnap demuestra que MFC es sólido, es decir, todos sus teoremas son L-verdaderos, y plantea la cuestión de la integridad tanto para FC como para MFC. Gödel demostró ser completo para el cálculo de predicados de primer orden con identidad, pero la noción de validez empleada era cierta en todos los dominios de cuantificación no vacíos, incluidos los dominios finitos. Carnap adopta, en cambio, un único dominio numerable de cuantificación. La adopción de un dominio numerable fijo de individuos genera algunas validaciones adicionales ya en el nivel pre-modal que ponen en peligro la integridad, por ejemplo, "Hay al menos dos individuos", ((exist x) (exist y) (x / ne y)), resulta ser válido (1946: 53).

Una consecuencia de las definiciones de descripciones de estado para un lenguaje y una verdad L es que cada oración atómica y su negación resultan ser ciertas en algunas, pero no en todas, las descripciones de estado. Por lo tanto, si (p) es atómico, tanto (Diamond p) como (Diamond / neg p) son L -verdadero. Por lo tanto, la regla de sustitución uniforme de Lewis falla (si (p / wedge / neg p) se sustituye por (p) en (Diamond p) derivamos (Diamond (p / wedge / neg p)), que es L-falso, no L-verdadero). Makinson (1966a) se da cuenta de esto y argumenta que lo que debe hacerse es restablecer la sustitutividad y revisar la noción ingenua de validez de Carnap (como necesidad lógica) a favor de una noción esquemática de Quinean ("Una verdad lógica … es definible como una oración a partir de la cual solo obtenemos verdades cuando sustituimos oraciones por sus oraciones simples”Quine 1970:50) que no hará válidas frases como (Diamond p). No obstante, Carnap demuestra la solidez y la integridad de lo proposicional. S5, que él llama " MPC " para cálculo proposicional modal, siguiendo a Wajsberg. Sin embargo, la prueba emplea efectivamente una noción esquemática de validez.

Se ha demostrado que la noción de validez máxima de Carnap hace que la integridad sea imposible para S5 cuantificado, es decir, que existen verdades L que no son teoremas del MFC de Carnap. Sea (A) una oración no modal de MFC. Por convención (1), (Box A) es verdadero en MFC si y solo si (A) es L-verdadero en MFC. Pero (A) también es una oración de FC, por lo tanto, si L -verdadero en MFC también es L-verdadero en FC, ya que las descripciones de estado (modelos) de lógica funcional modal son las mismas que las de lógica funcional (1946: 54). Esto significa que las descripciones de estado tienen el triple papel de (i) modelos de primer orden de FCdefiniendo así la validez de primer orden, (ii) mundos para MFC definiendo así la verdad para las oraciones (Box A) de MFC, y (iii) modelos de MFC definiendo así la validez para MFC. El núcleo del argumento de incompletitud consiste en el hecho de que la no validez de una oración de primer orden (A) puede representarse en el lenguaje modal, como (neg / Box A), pero todos los modelos coinciden en la valoración de oraciones modales, haciendo que (neg / Box A) sea válido. Aproximadamente, y dejando de lado las complicaciones creadas por el hecho de que la semántica de Carnap solo tiene dominios numerables, si (A) es una oración no válida de FC de primer orden, (A) es cierto en algunos pero no en todos los modelos o descripciones de estado. Dadas las convenciones de Carnap, se deduce que (neg / Box A) es cierto en MFC. Pero entonces (neg / Box A) es L-verdadero en MFC, es decir, en MFC (mvDash / neg / Box A). Dado que las oraciones de primer orden no válidas no son enumerables recursivamente, tampoco lo son las validaciones para el sistema modal MFC. Pero la clase de teoremas de MFC es recursivamente enumerable. Por lo tanto, MFC está incompleto frente a la validez máxima de Carnap. Cocchiarella (1975b) atribuye el resultado a Richard Montague y Donald Kalish. Véanse también Lindström 2001: 209 y Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Semántica de los mundos posibles de Kripke

La semántica de Carnap es de hecho un precursor de la semántica de los mundos posibles (PWS). Sin embargo, todavía faltan algunos ingredientes cruciales. Primero, la noción máxima de validez debe ser reemplazada por una nueva noción universal. En segundo lugar, las descripciones de estado deben hacer espacio para mundos posibles entendidos como índices o puntos de evaluación. Por último, debe introducirse una relación de accesibilidad entre mundos. Aunque Kripke no es el único lógico en los años cincuenta y principios de los sesenta que trabaja en estas ideas, es en la versión de Kripke de PWS donde están presentes todas estas innovaciones. Kanger (1957), Montague (1960, pero presentado originalmente en 1955), Hintikka (1961) y Prior (1957) estaban pensando en una relación entre mundos, e Hintikka (1961) como Kripke (1959a) adoptó una nueva noción de validez que requería la verdad en todos los conjuntos arbitrarios de mundos. Pero Kripke fue el único en caracterizar los mundos como simples puntos de evaluación (en 1963a). Otros lógicos todavía pensaban en los mundos fundamentalmente como modelos de lógica de primer orden, aunque quizás Prior en su desarrollo de la lógica temporal también se estaba moviendo hacia una caracterización más abstracta de los instantes del tiempo. La caracterización más abstracta de Kripke de los mundos es crucial en la provisión de un vínculo entre la semántica teórica modelo y el álgebra de la lógica modal. Kripke vio muy claramente esta conexión entre el álgebra y la semántica, y esto le permitió obtener resultados teóricos completos y de capacidad de decisión para varios sistemas modales de manera sistemática. Goldblatt (2003: sección 4.8) argumenta de manera convincente que la adopción de Kripke de puntos de evaluación en las estructuras modelo es una innovación particularmente crucial. Tal generalización abre la puerta a diferentes desarrollos futuros de la teoría de modelos y hace posible proporcionar teorías de modelos para lógicas intensivas en general. Por estas razones, en esta entrada dedicamos más atención a la versión de Kripke de PWS. Para un tratamiento más completo del desarrollo inicial de PWS, incluidos los últimos años cincuenta, trabaje enincluyendo el trabajo de finales de los años cincuenta enincluyendo el trabajo de finales de los años cincuenta en S5 del lógico francés Bayart, el lector se refiere a Goldblatt 2003. Sobre las diferencias entre la semántica de Kanger y la semántica estándar de PWS, ver Lindström 1996 y 1998.

El "Teorema de integridad en la lógica modal" de 1959a de Kripke contiene un resultado de integridad teórica modelo para una versión cuantificada de S5 con identidad. En el tratamiento semántico de Kripke de S5 cuantificado, que él llama S5 * (^ =), una asignación de valores a una fórmula (A) en un dominio de individuos (D) asigna un miembro de (D) a cada variable individual libre de (A), un valor de verdad (T) o (F) a cada variable proposicional de (A), y un conjunto de (n) - tuplas de miembros de (D) ordenadas a cada (n) - colocar variable de predicado de (A) (el lenguaje para el sistema no contiene constantes no lógicas). Kripke define un modelo sobre un dominio no vacío (D) de individuos como un par ordenado ((G, K)), de modo que (G / en K, K) es un subconjunto arbitrario de asignaciones de valores a las fórmulas de S5 * (^ =), y todos (H / en K) acuerdan las asignaciones a variables individuales. Para cada (H / en K), el valor que (H) asigna a una fórmula (B) se define inductivamente. Las variables proposicionales se asignan (T) o (F) por hipótesis. Si (B) es (P (x_1, / ldots, x_n)), (B) se asigna (T) si y solo si la (n) - tupla de elementos asignados a (x_1),…, (x_n) pertenece al conjunto de (n) - tuplas de individuos que (H) asigna a (P. H) asigna (T) a (neg B) si y solo si asigna (F) a (B. H) asigna (T) a (B / wedge C) si y solo si asigna (T) a (B) y a (C). Si (B) es (x = y) se le asigna (T) si y solo si (x) y (y) se les asigna el mismo valor en (D). Si (B) es ((forall x) Fx) se le asigna (T) si y solo si (Fx) se le asigna (T) para cada asignación a (x).(Box B) se asigna (T) si y solo si (B) se asigna (T) por cada (H / en K).

Lo más importante a tener en cuenta en la teoría del modelo de 1959 es la definición de validez. Se dice que una fórmula (A) es válida en un modelo ((G, K)) en (D) si y solo si se le asigna (T) en (G), a ser válido en un dominio (D) si y solo si es válido en todos los modelos en (D), y ser universalmente válido si y solo si es válido en todos los dominios no vacíos. Kripke dice:

Al tratar de construir una definición de validez lógica universal, parece plausible suponer no solo que el universo del discurso puede contener un número arbitrario de elementos y que a los predicados se les puede asignar cualquier interpretación dada en el mundo real, sino también cualquier combinación de los mundos posibles pueden estar asociados con el mundo real con respecto a algún grupo de predicados. En otras palabras, es plausible suponer que no es necesario imponer más restricciones en (D, G) y (K), excepto el estándar que (D) no está vacío. Esta suposición conduce directamente a nuestra definición de validez universal. (1959a: 3)

Esta nueva noción universal de validez es mucho más general que la validez máxima de Carnap. Los elementos (H) de (K) todavía corresponden a modelos de primer orden, como las descripciones de estado de Carnap, y en cada modelo de Kripke los elementos (H) de (K) tienen asignado el mismo dominio (D) de los individuos y las variables individuales tienen una asignación de modelo cruzado fijo. Hasta ahora, la única divergencia significativa de Carnap es que diferentes modelos de Kripke pueden tener dominios de diferente cardinalidad. Esto por sí solo es suficiente para reintroducir la integridad de la parte no modal del sistema. Pero el desarrollo más significativo, y el que hace posible demostrar la integridad del sistema modal, es la definición de validez no como verdad en todos los mundos de una estructura máxima de mundos, sino como verdad en todos los subconjuntos de la estructura máxima. La consideración de subconjuntos arbitrarios de mundos posibles hace posible que la teoría modelo de Kripke desconecte la validez de la necesidad. Si bien las necesidades son relativas a un modelo, por lo tanto, a un conjunto de mundos, la validez debe mantenerse en todos estos conjuntos. Esto permite la reintroducción de la regla de sustitución uniforme. Para ver esto intuitivamente en un caso simple, considere una oración atómica (p). La tabla de verdad clásica para (p) contiene dos filas, una donde (p) es verdadera y otra donde (p) es falsa. Cada fila es como un mundo posible, o un elemento (H) de (K). Si solo consideramos esta tabla de verdad completa, solo estamos considerando modelos máximos que contienen dos mundos (no importa qué mundo sea real). Según la definición de verdad para una fórmula (Box B, / Box p) es falsa en todos los mundos del modelo máximo,y (Diamond p) es cierto en todos ellos. Si la validez es verdad en todos los mundos de este modelo máximo, como para Carnap, se deduce que (mvDash / Diamond p), pero en S5(nmvdash / Diamond p). Si, en cambio, definimos la validez como lo hace Kripke, tenemos que considerar también los modelos no máximos que contienen solo un mundo, que son tablas de verdad incompletas que cancelan algunas filas. Por lo tanto, hay dos modelos más a tener en cuenta: uno que contiene solo un mundo (H = G) donde (p) es verdadero, por lo tanto, también lo es (Box p), y uno que contiene solo un mundo (H = G) donde (p) es falso y también lo es (Box p) así como (Diamond p). Gracias a este último modelo (nmvDash / Diamond p). Tenga en cuenta que la innovación crucial es la definición de validez como verdad en todos los subconjuntos de mundos, no solo en el subconjunto máximo. El hecho adicional de que la validez en un modelo se define como la verdad en el mundo real del modelo, en oposición a la verdad en todos los mundos del modelo, aunque revela el hecho de que Kripke no vinculó la noción de necesidad con la noción de validez, es irrelevante para este resultado técnico.

La prueba de integridad de Kripke hace uso del método de cuadros semánticos de Beth. Se utiliza un cuadro semántico para probar si una fórmula (B) es una consecuencia semántica de algunas fórmulas (A_1, / ldots, A_n). El cuadro supone que las fórmulas (A_1, / ldots, A_n) son verdaderas y (B) son falsas y se construyen de acuerdo con las reglas que siguen las definiciones de los conectivos lógicos. Por ejemplo, si una fórmula (neg A) está en la columna izquierda del cuadro (donde se enumeran las fórmulas verdaderas), (A) se colocará en la columna derecha (donde se enumeran las fórmulas falsas). Para tratar con fórmulas modales, se deben considerar conjuntos de cuadros, ya que si (Box A) está en la columna derecha de un cuadro, se debe introducir un nuevo cuadro auxiliar con (A) en su columna derecha. Un cuadro principal y sus cuadros auxiliares forman un conjunto de cuadros. Si una fórmula (A / wedge B) está en la columna derecha del cuadro principal, el conjunto de cuadros se divide en dos nuevos conjuntos de cuadros: uno cuyo cuadro principal enumera (A) en su columna derecha y otro cuyo Las listas de cuadros principales (B) en la columna derecha. Por lo tanto, tenemos que considerar conjuntos alternativos de cuadros. Un cuadro semántico se cierra si y solo si todos sus conjuntos alternativos están cerrados. Un conjunto de cuadros se cierra si contiene un cuadro (principal o auxiliar) que alcanza una contradicción en la forma de (i) una y la misma fórmula (A) que aparece en sus dos columnas o (ii) una fórmula de identidad de la forma (a = a) en su lado derecho (esto es una simplificación excesiva de la definición de un cuadro cerrado, pero no es perjudicial para nuestros propósitos). Simplificando una vez más,La estructura de la prueba de integridad de Kripke consiste en probar que un cuadro semántico utilizado para probar si una fórmula (B) es una consecuencia semántica de las fórmulas (A_1, / ldots, A_n) está cerrada si y solo (i) en S5 * (^ =) (A_1, / ldots, A_n / vdash B) y (ii) (A_1, / ldots, A_n / vDash B). Este último resultado se logra al mostrar cómo construir modelos a partir de cuadros semánticos. Como consecuencia de (i) y (ii) tenemos solidez e integridad para S5 * (^ =), es decir: (A_1, / ldots, A_n / vdash B) si y solo si (A_1, / ldots, A_n / vDash B).

El artículo de 1959 contiene también una prueba de la contraparte modal del teorema de Löwenhein-Skolem para la lógica de primer orden, según el cual si una fórmula es satisfactoria en un dominio no vacío, entonces es satisfactoria y, por lo tanto, válida (verdadera en (G)), en un modelo ((G, K)) en un dominio (D), donde tanto (K) como (D) son finitos o numerables; y si una fórmula es válida en cada dominio finito o numerable, es válida en cada dominio.

La "Teoría de cuantificación modal monádica de 1962" de Kripke desarrolla un paralelismo entre la lógica de primer orden con un predicado diádico y la lógica modal monádica de primer orden con solo dos letras predicadas, para demostrar que este fragmento de lógica modal de primer orden ya es indecidible.

De gran importancia es el documento "Análisis semántico de la lógica modal I" (Kripke 1963a) donde se tratan los sistemas normales. Es aquí donde Kripke desarrolla completamente la analogía con los resultados algebraicos de Jónsson y Tarski y demuestra la integridad y la capacidad de decisión de los sistemas proposicionales T, S4, S5 y B(el sistema Brouwersche), que se presenta aquí. Kripke afirma haber derivado por sí mismo el teorema principal de "Álgebras booleanas con operadores" por un análogo algebraico de sus propios métodos semánticos (69, fn. 2). Es en este artículo que se introducen dos generalizaciones cruciales de la teoría del modelo. El primero es la nueva comprensión de los elementos (H) de (K) como índices simples, no como asignaciones de valores. Una vez que se introduce este cambio, los modelos deben complementarse con una función auxiliar (Phi) necesaria para asignar valores a las variables proposicionales relativas a los mundos. Por lo tanto, mientras que en la teoría modelo de 1959

no puede haber dos mundos en los que se asigne el mismo valor de verdad a cada fórmula atómica [que] resulta conveniente quizás para S5, pero es bastante inconveniente cuando tratamos los MPC normales en general (1963a: 69)

ahora podemos tener duplicados mundiales. Lo más importante sobre la separación de los elementos de (K) de la función de evaluación es que abre la puerta a la consideración general de marcos modales, conjuntos de mundos más una relación binaria entre ellos y la correspondencia de dichos marcos. a sistemas modales. Entonces, el segundo elemento nuevo del artículo, la introducción de una relación (R) entre los elementos de (K), naturalmente acompaña al primero. Hagamos hincapié una vez más en que la idea de una relación entre mundos no es nueva para Kripke. Por ejemplo, ya está presente como una relación de alternativa en Montague 1960, Hintikka 1961 y Prior 1962, donde la idea se atribuye a Peter Geach.

En 1963a Kripke "hace varias preguntas sobre la relación (R)" (1963a: 70). Primero, muestra que cada fórmula satisfactoria tiene un modelo conectado, es decir, un modelo basado en una estructura de modelo ((G, K, R)) donde para todos (H / in K), (G / mathrel {R *} H), donde (R *) es la relación ancestral correspondiente a (R). Por lo tanto, solo se deben considerar los modelos conectados. Entonces, Kripke muestra los resultados bien conocidos en la actualidad de que el axioma 4 corresponde a la transitividad de la relación (R), que el axioma (B) corresponde a la simetría, y que el axioma característico de S5 agregado al sistema T corresponde a (R) siendo una relación de equivalencia. Utilizando el método de cuadros, integridad para los sistemas proposicionales modales T, S4, S5, y B frente a la clase apropiada de modelos (estructuras reflexivas para T) se demuestra. También se demuestra la capacidad de decisión de estos sistemas, incluido el caso más complejo de S4. (Para un tratamiento más detallado de los marcos, consulte la entrada SEP sobre lógica modal).

En el artículo de 1965 "Análisis semántico de la lógica modal II", Kripke extiende la teoría del modelo para tratar los sistemas modales no normales, incluidos los S2 y S3 de Lewis. Aunque estos sistemas se consideran poco naturales, su teoría modelo se considera elegante. Los resultados de integridad y capacidad de decisión se prueban frente a la clase adecuada de estructuras, incluida la integridad de S2 y S3, y la capacidad de decisión de S3. Para lograr estos resultados, la teoría del modelo se extiende mediante la introducción de un nuevo elemento (N / subseteq K) en las estructuras del modelo ((G, K, R, N). N) es el subconjunto de mundos normales, es decir, mundos (H) tales que (H / mathrel {R} H). Otro aspecto interesante de los sistemas no normales es que en los resultados teóricos del modelo que les pertenecen, (G) (el mundo real) juega un papel esencial, en particular en las estructuras del modelo S2 y S3 que el mundo real tiene que cumplir. sé normal. En cambio, la regla de necesidad que se aplica a los sistemas normales hace que la elección del modelo (G) sea teóricamente irrelevante.

A pesar del gran éxito de la teoría del modelo de Kripkean, vale la pena enfatizar que no todas las lógicas modales están completas. Para resultados incompletos, ver Makinson 1969, para un sistema más débil que S4; y Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 y van Benthem 1978, para sistemas entre S4 y S5. Algunas fórmulas modales imponen condiciones a los marcos que no pueden expresarse en un lenguaje de primer orden, por lo que incluso la lógica modal proposicional es fundamentalmente de segundo orden. En la medida en que la noción de validez en un cuadro se extrae de la función de interpretación, implica implícitamente una cuantificación de orden superior sobre las proposiciones. Sobre la correspondencia entre la validez de trama y la lógica de segundo orden y sobre los criterios teóricos del modelo que distinguen las oraciones modales que son expresables de primer orden de las que son esencialmente de segundo orden, véase "La lógica modal de Blackburn y Van Benthem: una perspectiva semántica" (2007a).

En 1963b, "Consideraciones semánticas sobre la lógica modal", Kripke introduce una nueva generalización de los modelos de sistemas modales cuantificados. En 1959 se definió un modelo en un dominio (D). Como resultado, todos los mundos en un modelo tenían la misma cardinalidad. En 1963b, los modelos no se dan en un dominio, por lo tanto, a los mundos en el mismo modelo se les puede asignar diferentes dominios mediante una función (Psi) que asigna dominios a los elementos (H) de (K). Dada la variabilidad de los dominios entre mundos, Kripke ahora puede construir contraejemplos tanto para la fórmula de Barcan

[(forall x) Box Fx / rightarrow / Box (forall x) Fx)

y su conversación

) Box (forall x) Fx / rightarrow (forall x) Box Fx.)

La fórmula de Barcan se puede falsificar en estructuras con dominios en crecimiento. Por ejemplo, un modelo con dos mundos, (G) y otro mundo posible (H) extendiéndolo. El dominio de (G) es ({a }) y (Fa) es verdadero en (G). El dominio de (H) es el conjunto ({a, b }) y (Fa), pero no (Fb), es verdadero en (H). En este modelo, ((forall x) Box Fx) pero no (Box (forall x) Fx) es cierto en (G). Para refutar la inversa de la fórmula de Barcan, necesitamos modelos con dominios decrecientes. Por ejemplo, un modelo con dos mundos (G) y (H), donde el dominio de (G) es ({a, b }) y el dominio de (H) es ({a }), con (Fa) y (Fb) verdadero en (G, Fa) verdadero en (H), pero (Fb) falso en (H). Este modelo requiere que asignemos un valor de verdad a la fórmula (Fb) en el mundo (H) donde el individuo (b) no existe (no está en el dominio de (H)). Kripke señala que desde un punto de vista teórico modelo, esto es solo una elección técnica.

Kripke reconstruye una prueba de la fórmula inversa de Barcan en T cuantificada y muestra que la prueba se realiza solo al permitir la necesidad de una oración que contenga una variable libre. Pero si las variables libres deben considerarse unidas universalmente, este paso es ilícito. Necesitar directamente una fórmula abierta, sin cerrarla primero, equivale a asumir lo que se debe probar. Antes de 1956 contiene una prueba de la fórmula de Barcan

) Diamond (exist x) Fx / rightarrow (exist x) Diamond Fx.)

Kripke no discute los detalles de la prueba de Prior. La prueba de Prior para la fórmula de Barcan adopta las reglas de Łukasiewicz para la introducción del cuantificador existencial. La segunda de estas reglas establece que si (mvdash A / rightarrow B) entonces (mvdash A / rightarrow (exist x) B). Prior usa la regla para derivar

) mvdash / Diamond Fx / rightarrow (exist x) Diamond Fx)

de

) mvdash / Diamond Fx / rightarrow / Diamond Fx.)

Esto nos parece ser el paso 'ilegítimo' en la prueba, ya que

) Diamond Fx / rightarrow (exist x) Diamond Fx)

no se mantiene en un modelo con dos mundos (G) y (H), donde el dominio de (G) es ({a }) y el dominio de (H) es ({a, b }), y donde (Fa) es falso tanto en (G) como en (H), pero (Fb) es verdadero en (H). En este modelo, (Diamond Fx) es verdadero pero ((exist x) Diamond Fx) es falso en (G). En este contramodelo (Diamond Fx) se hace realidad en (G) por el individuo (b) que no está en el dominio de (G). En general, la regla de que si (mvdash A / rightarrow B) entonces (mvdash A / rightarrow (exist x) B) no conserva la validez si permitimos que (Fx) se haga realidad en un mundo por un individuo que no existe allí. Concluimos que la regla debe ser rechazada para preservar la solidez de S5 en relación con este supuesto teórico del modelo.

Bibliografía

Tenga en cuenta que la distinción en la bibliografía entre textos introductorios, literatura primaria y secundaria es parcialmente artificial.

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Otros recursos de internet

  • Conceptos básicos en lógica modal, por Edward N. Zalta (notas del curso)
  • Manual de lógica modal, por Blackburn, van Benthem y Wolter

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