Lógica De Relevancia

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Lógica de relevancia

Publicado por primera vez el miércoles 17 de junio de 1998; revisión sustantiva lun mar 26, 2012

Las lógicas de relevancia son lógicas no clásicas. Llamados 'lógicas relevantes' en Gran Bretaña y Australasia, estos sistemas se desarrollaron como intentos de evitar las paradojas de la implicación material y estricta. Estas llamadas paradojas son conclusiones válidas que se derivan de las definiciones de implicación material y estricta, pero que algunos consideran problemáticas.

Por ejemplo, la implicación material (p → q) es verdadera siempre que p es falsa o q es verdadera, es decir, (¬ p ∨ q). Entonces, si p es verdadero, entonces la implicación material es verdadera cuando q es verdadero. Entre las paradojas de la implicación material están las siguientes:

  • p → (q → p).
  • ¬ p → (p → q).
  • (p → q) ∨ (q → r).

El primero afirma que toda proposición implica una verdadera; el segundo que una proposición falsa implica cada proposición, y el tercero que para cualquiera de las tres proposiciones, el primero implica el segundo o el segundo implica el tercero.

Del mismo modo, la implicación estricta (p → q) es verdadera siempre que no sea posible que p sea verdadera yq sea falsa, es decir, ¬ ◇ (p & ¬ q). Entre las paradojas de implicación estricta están las siguientes:

  • (p & ¬ p) → q.
  • p → (q → q).
  • p → (q ∨ ¬ q).

El primero afirma que una contradicción implica estrictamente toda proposición; el segundo y el tercero implican que cada proposición implica estrictamente una tautología.

Muchos filósofos, comenzando con Hugh MacColl (1908), han afirmado que estas tesis son contradictorias. Afirman que estas fórmulas no son válidas si interpretamos que → representa el concepto de implicación que tenemos antes de aprender la lógica clásica. Los lógicos de relevancia afirman que lo que es inquietante acerca de estas supuestas paradojas es que en cada una de ellas el antecedente parece irrelevante para la consecuente.

Además, los lógicos de relevancia han tenido dudas sobre ciertas inferencias que la lógica clásica hace válida. Por ejemplo, considere la inferencia clásicamente válida

La luna está hecha de queso verde. Por lo tanto, o está lloviendo en Ecuador ahora o no.

Nuevamente aquí parece haber un fallo de relevancia. La conclusión parece no tener nada que ver con la premisa. Los lógicos de relevancia han intentado construir lógicas que rechazan tesis y argumentos que cometen "falacias de relevancia".

Los lógicos relevantes señalan que lo que está mal con algunas de las paradojas (y falacias) es que los antecedentes y consecuentes (o premisas y conclusiones) están en temas completamente diferentes. Sin embargo, la noción de un tema parece no ser algo en lo que un lógico debería estar interesado, sino que tiene que ver con el contenido, no con la forma, de una oración o inferencia. Pero hay un principio formal que los lógicos relevantes aplican para forzar teoremas e inferencias a "mantenerse en el tema". Este es el principio de intercambio variable. El principio de intercambio de variables dice que ninguna fórmula de la forma A → B puede probarse en una lógica de relevancia si A y B no tienen al menos una variable proposicional (a veces llamada letra de proposición) en común y que ninguna inferencia puede mostrarse válida si las premisas y la conclusión no comparten al menos una variable proposicional.

En este punto, es natural cierta confusión sobre lo que los lógicos relevantes intentan hacer. El principio de compartir variables es solo una condición necesaria que una lógica debe tener para contar como una lógica de relevancia. No es suficiente Además, este principio no nos da un criterio que elimine todas las paradojas y falacias. Algunos siguen siendo paradójicos o falaces, aunque satisfacen el intercambio variable. Sin embargo, como veremos, la lógica relevante nos proporciona una noción relevante de prueba en términos del uso real de las premisas (ver la sección "Teoría de la prueba" a continuación), pero no nos dice por sí misma lo que cuenta como un verdadero (y relevante) implicación. Es solo cuando la teoría formal se combina con una interpretación filosófica que puede hacer esto (ver la sección "Semántica para implicaciones relevantes" a continuación).

En este artículo daremos una descripción breve y relativamente no técnica del campo de la lógica de relevancia.

  • 1. Semántica para implicaciones relevantes
  • 2. Semántica para la negación
  • 3. Teoría de la prueba
  • 4. Sistemas de lógica de relevancia
  • 5. Aplicaciones de la lógica de relevancia
  • Bibliografía

    • Libros sobre lógica de relevancia e introducciones al campo:
    • Otras obras citadas:
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Semántica para implicaciones relevantes

Nuestra exposición de la lógica relevante es inversa a la más encontrada en la literatura. Comenzaremos, en lugar de terminar, con la semántica, ya que la mayoría de los filósofos en la actualidad tienen una inclinación semántica.

La semántica que presento aquí es la semántica de relación ternaria debida a Richard Routley y Robert K. Meyer. Esta semántica es un desarrollo de la "semántica semilattice" de Alasdair Urquhart (Urquhart 1972). Existe una semántica similar (que también se basa en las ideas de Urquhart), debido a Kit Fine, que se desarrolló al mismo tiempo que la teoría de Routley-Meyer (Fine 1974). Y hay una semántica algebraica debido a J. Michael Dunn. Los modelos de Urquhart, Fine y Dunn son muy interesantes por derecho propio, pero no tenemos espacio para discutirlos aquí.

La idea detrás de la semántica de la relación ternaria es bastante simple. Considere el intento de CI Lewis de evitar las paradojas de la implicación material. Añadió una nueva conexión a la lógica clásica, la de implicación estricta. En términos semánticos posteriores a Kripkean, A ⊰ B es verdadero en un mundo w si y solo si para todo w 'tal que w' sea accesible para w, A falla en w 'o B obtiene allí. Ahora, en la semántica de Kripke para la lógica modal, la relación de accesibilidad es una relación binaria. Se sostiene entre pares de mundos. Desafortunadamente, desde un punto de vista relevante, la teoría de la implicación estricta sigue siendo irrelevante. Es decir, todavía hacemos fórmulas válidas como p ⊰ (q ⊰ q). Podemos ver con bastante facilidad que la condición de verdad de Kripke nos impone esta fórmula.

Al igual que la semántica de la lógica modal, la semántica de la lógica de relevancia relativiza la verdad de las fórmulas a los mundos. Pero Routley y Meyer se vuelven lógicos uno mejor y usan una relación de tres lugares en los mundos. Esto permite que haya mundos en los que q → q falle y que a su vez permita mundos en los que p → (q → q) falle. Su condición de verdad para → en esta semántica es la siguiente:

A → B es verdadero en un mundo a si y solo si para todos los mundos byc de modo que Rabc (R es la relación de accesibilidad) A es falso en b o B es verdadero en c.

Para las personas nuevas en el campo, lleva tiempo acostumbrarse a esta condición de verdad. Pero con un poco de trabajo se puede ver que es solo una generalización de la condición de verdad de Kripke para una implicación estricta (solo establezca b = c).

La semántica de la relación ternaria se puede adaptar para ser una semántica para una amplia gama de lógicas. Colocar diferentes restricciones en la relación hace válidas diferentes fórmulas e inferencias. Por ejemplo, si restringimos la relación de modo que Raaa se mantenga para todos los mundos a, entonces hacemos que sea cierto que si (A → B) y A son verdaderas en un mundo, entonces B también es cierto allí. Dadas otras características de la semántica de Routley-Meyer, esto hace que la tesis ((A → B) y A) → B sea válida. Si hacemos que la relación ternaria sea simétrica en sus dos primeros lugares, es decir, la restringimos de modo que, para todos los mundos a, byc, si Rabc entonces Rbac, entonces hagamos válida la tesis A → ((A → B) → B).

La relación de accesibilidad ternaria necesita una interpretación filosófica para dar a las implicaciones relevantes un significado real en esta semántica. Recientemente se han desarrollado tres interpretaciones basadas en teorías sobre la naturaleza de la información. Una interpretación de la relación ternaria, debido a Dunn, desarrolla la idea detrás de la semántica de entramado de Urquhart. En la semántica de Urquhart, en lugar de tratar los índices como mundos posibles (o imposibles), se los considera piezas de información. En la semántica de semilattice, un operador ° combina la información de dos estados: a ° b es la combinación de la información en a y b. La semántica de Routley-Meyer no contiene una combinación o un operador de "fusión" en los mundos, pero podemos obtener una aproximación usando la relación ternaria. En la lectura de Dunn,'Rabc' dice que "la combinación de los estados de información ayb está contenida en el estado de información c" (Dunn 1986).

Se sugiere otra interpretación en Jon Barwise (1993) y se desarrolló en Restall (1996). Desde este punto de vista, los mundos se consideran “sitios” y “canales” teóricos de la información. Un sitio es un contexto en el que se recibe información y un canal es un conducto a través del cual se transfiere información. Así, por ejemplo, cuando las noticias de la BBC aparecen en la televisión en mi sala de estar, podemos considerar la sala de estar como un sitio y los cables, satélites, etc., que conectan mi televisión al estudio de Londres para ser un canal. Usando la teoría de canales para interpretar la semántica de Routley-Meyer, consideramos que Rabc significa que a es un canal de información teórica entre los sitios by c. Por lo tanto, consideramos que A → B es verdadero en un if y solo si, cuando a conecta un sitio b en el que A obtiene un sitio c, B obtiene en c.

Del mismo modo, Mares (1997) utiliza una teoría de la información debido a David Israel y John Perry (1990). Además de otra información, un mundo contiene enlaces informativos, como leyes de la naturaleza, convenciones, etc. Por ejemplo, un mundo newtoniano contendrá la información de que toda la materia atrae a cualquier otra materia. En términos teóricos de la información, este mundo contiene la información de que el material de dos cosas lleva la información que se atraen entre sí. En esta vista, Rabc si y solo si, de acuerdo con los enlaces en a, toda la información transportada por lo que se obtiene en b está contenida en c. Así, por ejemplo, si a es un mundo newtoniano y la información de que x e y son materiales está contenida en b, entonces la información de que x e y se atraen entre sí está contenida en c.

Otra interpretación se desarrolla en Mares (2004). Esta interpretación toma la semántica de Routley-Meyer como una formalización de la noción de "implicación situada". Esta interpretación toma los "mundos" de la semántica de Routley-Meyer como situaciones. Una situación es quizás una representación parcial del universo. La información contenida en dos situaciones, ayb, podría permitirnos inferir más información sobre el universo que no está contenida en ninguna situación. Así, por ejemplo, supongamos en nuestra situación actual que tenemos la información contenida en las leyes de la teoría de la relatividad general (esta es la teoría de la gravedad de Einstein). Luego hipotetizamos una situación en la que podemos ver una estrella moviéndose en una elipse. Luego, sobre la base de la información que tenemos y la situación hipotética,Podemos inferir que hay una situación en la que hay un cuerpo muy pesado que actúa sobre esta estrella.

Podemos modelar la inferencia situada usando una relación I (para "implicación"). Luego tenemos IabP, donde P es una propuesta, si y solo si la información en a y b en conjunto licencia la inferencia de que existe una situación en la que P se mantiene. Podemos pensar en una proposición en sí misma como un conjunto de situaciones. Configuramos A → B para que se mantenga en a si y solo si, para todas las situaciones b en las que A se mantiene, Iab | B |, donde | B | es el conjunto de situaciones en las que B es verdadero. Configuramos Rabc para que se mantenga si y solo si c pertenece a cada proposición P tal que IabP. Con la adición del postulado de que, para cualquier conjunto de proposiciones P tal que IabP, la intersección de ese conjunto X es tal que IabX, encontramos que las implicaciones que se hacen realidad en cualquier situación utilizando la condición de verdad que atrae a I son lo mismo que aquellos que se hacen realidad por la condición de verdad de Routley-Meyer. Por lo tanto, la noción de inferencia situada ofrece una forma de entender la semántica de Routley-Meyer. (Esta es una versión muy breve de la discusión de la inferencia situada que se encuentra en los capítulos 2 y 3 de Mares (2004)).

Por sí solo, el uso de la relación ternaria no es suficiente para evitar todas las paradojas de implicación. Dado lo que hemos dicho hasta ahora, no está claro cómo la semántica puede evitar paradojas como (p & ¬ p) → q y p → (q ∨¬ q). Estas paradojas se evitan mediante la inclusión de mundos inconsistentes y no bivalentes en la semántica. Porque, si no hubiera mundos en los que p & ¬ p se mantenga, entonces, de acuerdo con nuestra condición de verdad para la flecha, (p & ¬ p) → q también se mantendría en todas partes. Del mismo modo, si q ∨¬ q se celebra en todos los mundos, entonces p → (q ∨¬ q) sería universalmente cierto.

Un enfoque de relevancia que no requiere la relación ternaria se debe a Routley y Loparic (1978) y Priest (1992) y (2008). Esta semántica utiliza un conjunto de mundos y una relación binaria, S. Los mundos se dividen en dos categorías: mundos normales y mundos no normales. Una implicación A → B es verdadera en un mundo normal a si y solo si para todos los mundos b, si A es verdadera en b entonces B también es verdadera en b. En mundos no normales, los valores de verdad para las implicaciones son aleatorios. Algunos pueden ser verdaderos y otros falsos. Una fórmula es válida si y solo si es cierta en cada uno de esos modelos en sus mundos normales. Esta división de mundos en normales y no normales y el uso de valores de verdad aleatorios para las implicaciones en mundos no normales nos permite encontrar contramodelos para fórmulas como p → (q → q).

El sacerdote interpreta mundos no normales como los mundos que corresponden a "ficciones lógicas". En una ciencia ficción, las leyes de la naturaleza pueden ser diferentes a las de nuestro universo. Del mismo modo, en una ficción lógica, las leyes de la lógica pueden ser diferentes de nuestras leyes. Por ejemplo, A → A puede no ser cierto en alguna ficción lógica. Los mundos que describen tales ficciones son mundos no normales.

Un problema con la semántica sin la relación ternaria es que es difícil usarlo para caracterizar una gama tan amplia de sistemas lógicos como se puede hacer con la relación ternaria. Además, las lógicas determinadas por esta semántica son bastante débiles. Por ejemplo, no tienen como teorema la transitividad de implicación - ((A → B) y (B → C)) → (A → C).

Al igual que la semántica de relaciones ternarias, esta semántica requiere que algunos mundos sean inconsistentes y otros no bivalentes.

2. Semántica para la negación

El uso de mundos no bivalentes e inconsistentes requiere una condición de verdad no clásica para la negación. A principios de la década de 1970, Richard y Val Routley inventaron su "operador estrella" para tratar la negación. El operador es un operador en mundos. Para cada mundo a, hay un mundo a *. Y

¬ A es verdadero en un si y solo si A es falso en un *.

Una vez más, tenemos la dificultad de interpretar una parte de la semántica formal. Una interpretación de la estrella de Routley es la de Dunn (1993). Dunn usa una relación binaria, C, en mundos. Cab significa que b es compatible con a. a *, entonces, es el mundo máximo (el mundo que contiene más información) que es compatible con a.

Hay otra semántica para la negación. Uno, debido a Dunn y desarrollado por Routley, es una semántica de cuatro valores. Esta semántica se trata en la entrada sobre lógicas paraconsistentes. Otros tratamientos de negación, algunos de los cuales se han utilizado para lógicas relevantes, se pueden encontrar en Wansing (2001).

3. Teoría de la prueba

Ahora hay una gran variedad de enfoques para la teoría de pruebas para lógicas relevantes. Hay un cálculo posterior para el fragmento de la lógica R libre de negación debido a Gregory Mints (1972) y JM Dunn (1973) y un enfoque elegante y muy general llamado "Display Logic" desarrollado por Nuel Belnap (1982). Para el primero, vea el documento complementario:

Lógica R

Pero aquí solo trataré con el sistema de deducción natural para la lógica R relevante debido a Anderson y Belnap.

El sistema de deducción natural de Anderson y Belnap se basa en los sistemas de deducción natural de Fitch para la lógica clásica e intuicionista. La forma más fácil de entender esta técnica es mirar un ejemplo.

1. A {1} Hyp
2. (A → B) {2} Hyp
3. B {1,2} 1,2, → E

Este es un caso simple de modus ponens. Los números entre paréntesis indican las hipótesis utilizadas para probar la fórmula. Los llamaremos 'índices'. Los índices en la conclusión indican qué hipótesis se usan realmente en la derivación de la conclusión. En la siguiente "prueba", la segunda premisa no se usa realmente:

1. A {1} Hyp
2. B {2} Hyp
3. (A → B) {3} Hyp
4. B {1,3} 1,3, → E

Esta "prueba" realmente solo muestra que la inferencia de A y A → B a B es relevante de manera relevante. Debido a que el número 2 no aparece en el subíndice de la conclusión, la segunda "premisa" en realidad no cuenta como una premisa.

De manera similar, cuando una implicación se prueba de manera relevante, la suposición del antecedente realmente debe usarse para probar la conclusión. Aquí hay un ejemplo de la prueba de una implicación:

1. A {1} Hyp
2. (A → B) {2} Hyp
3. B {1,2} 1,2, → E
4. ((A → B) → B) {1} 2,3, → I
5. A → ((A → B) → B) 1,4, → I

Cuando descargamos una hipótesis, como en las líneas 4 y 5 de esta prueba, el número de la hipótesis realmente debe ocurrir en el subíndice de la fórmula que se convertirá en el consecuente de la implicación.

Ahora, podría parecer que el sistema de índices permite que se arrastren las premisas irrelevantes. Una forma en la que podría parecer que las intrusiones pueden entrometerse es mediante el uso de una regla de introducción conjunta. Es decir, podría parecer que siempre podemos agregar una premisa irrelevante haciendo, por ejemplo, lo siguiente:

1. A {1} Hyp
2. B {2} Hyp
3. (A y B) {1,2} 1,2 y yo
4. B {1,2} 3, y E
5. (B → B) {1} 2,4, → I
6. A → (B → B) 1,5, → I

Para un lógico de relevancia, la primera premisa está completamente fuera de lugar aquí. Para bloquear movimientos como este, Anderson y Belnap dan la siguiente regla de introducción de conjunción:

De A i y B i para inferir (A y B) i.

Esta regla dice que dos fórmulas para unir deben tener el mismo índice antes de poder usar la introducción de la regla de conjunción.

Por supuesto, hay mucho más en el sistema de deducción natural (ver Anderson y Belnap 1975 y Anderson, Belnap y Dunn 1992), pero esto será suficiente para nuestros propósitos. La teoría de la relevancia que es capturada por al menos algunas lógicas relevantes puede entenderse en términos de cómo el sistema de deducción natural correspondiente registra el uso real de las premisas.

4. Sistemas de lógica de relevancia

En el trabajo de Anderson y Belnap, los sistemas centrales de lógica de relevancia fueron la lógica E de implicación relevante y el sistema R de implicación relevante. La relación entre los dos sistemas es que se suponía que la conexión conectiva de E era una implicación relevante estricta (es decir, necesaria). Para comparar los dos, Meyer agregó un operador de necesidad a R (para producir el NR lógico). Sin embargo, Larisa Maksimova descubrió que NR y E son muy diferentes: que existen teoremas de NR (en la traducción natural) que no son teoremas de E. Esto ha dejado a algunos lógicos relevantes con un dilema. Tienen que decidir si tomar NR para ser el sistema de implicación relevante estricta, o afirmar que NR era de alguna manera deficiente y que E se erige como el sistema de implicación relevante estricta. (Por supuesto, pueden aceptar ambos sistemas y afirmar que E y R tienen una relación diferente entre sí).

Por otro lado, están los que rechazan los lógicos de relevancia tanto R y E. Hay quienes, como Arnon Avron, aceptan lógicas más fuertes que R (Avron 1990). Y hay quienes, como Ross Brady, John Slaney, Steve GIAMBRONE, Richard Sylvan, Graham Priest, Greg Restall, y otros, que han defendido la aceptación de los sistemas más débiles que R o E. Un sistema extremadamente débil es la lógica S de Robert Meyer y Errol Martin. Como Martin ha demostrado, esta lógica no contiene teoremas de la forma A → A. En otras palabras, de acuerdo con S, ninguna proposición implica a sí misma y ningún argumento de la forma 'A, por lo tanto A' es válido Por lo tanto, esta lógica no hace válido ningún argumento circular.

Para más detalles sobre estas lógicas ver suplementos en la lógica E, la lógica R, la lógica NR, y la lógica S.

Entre los puntos a favor de los sistemas más débiles está que, a diferencia de R o E, muchos de ellos son decidibles. Otra característica de algunas de estas lógicas más débiles que las hace atractivas es que pueden usarse para construir una teoría de conjuntos ingenua. Una teoría de conjuntos ingenua es una teoría de conjuntos que incluye como teorema el axioma de comprensión ingenua, a saber, para todas las fórmulas A (y),

∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ A (y)).

En las teorías de conjuntos basadas en lógicas relevantes fuertes, como E y R, así como en la teoría de conjuntos clásica, si agregamos el axioma de comprensión ingenua, podemos derivar cualquier fórmula. Por lo tanto, se dice que las teorías ingenuas basadas en sistemas como E y R son "triviales". Aquí hay un bosquejo intuitivo de la prueba de la trivialidad de una teoría de conjuntos ingenua utilizando principios de inferencia de la lógica R. Sea p una proposición arbitraria:

1. ∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ (y ∈ y → p)) Comprensión ingenua
2. ∀ y (y ∈ z ↔ (y ∈ y → p)) 1, instanciación existencial
3. z ∈ z ↔ (z ∈ z → p) 2, instanciación universal
4. z ∈ z → (z ∈ z → p) 3, df de ↔, y -Eliminación
5. (z ∈ z → (z ∈ z → p)) → (z ∈ z → p) Axioma de contracción
6. z ∈ z → p 4,5, Modus Ponens
7. (z ∈ z → p)) → z ∈ z 3, df de ↔, y -Eliminación
8. z ∈ z 6,7, Modus Ponens
9. p 6,8, Modus Ponens

Por lo tanto, mostramos que cualquier proposición arbitraria es derivable en esta ingenua teoría de conjuntos. Esta es la infame paradoja del curry. La existencia de esta paradoja ha llevado a Grishen, Brady, Restall, Priest y otros a abandonar el axioma de la contracción ((A → (A → B)) → (A → B)). Brady ha demostrado que al eliminar la contracción, además de algunas otras tesis clave, de R obtenemos una lógica que puede aceptar la comprensión ingenua sin volverse trivial (Brady 2005).

En términos del sistema de deducción natural, la presencia de contracción corresponde a permitir que las instalaciones se usen más de una vez. Considere la siguiente prueba:

1. A → (A → B) {1} Hyp
2. A {2} Hyp
3. A → B {1,2} 1,2, → E
4. B {1,2} 2,3, → E
5. A → B {1} 2–4, → I
6. (A → (A → B)) → (A → B) 1–5, → I

Lo que permite la derivación de la contracción es el hecho de que nuestros subíndices son conjuntos. No hacemos un seguimiento de cuántas veces (más de una vez) se utiliza una hipótesis en su derivación. Para rechazar la contracción, necesitamos una forma de contar el número de usos de las hipótesis. Por lo tanto, los sistemas de deducción natural para sistemas libres de contracciones usan "conjuntos múltiples" de números de relevancia en lugar de conjuntos: estas son estructuras en las que el número de ocurrencias de un número en particular cuenta, pero el orden en que ocurren no lo hace. Se pueden construir sistemas aún más débiles, que también hacen un seguimiento del orden en que se utilizan las hipótesis (ver Read 1986 y Restall 2000).

5. Aplicaciones de la lógica de relevancia

Además de las aplicaciones motivadoras de proporcionar mejores formalismos de nuestras nociones pre-formales de implicación y vinculación y proporcionar una base para la teoría de conjuntos ingenua, la lógica de relevancia se ha utilizado para diversos usos en filosofía y ciencias de la computación. Aquí enumeraré solo algunos.

Dunn ha desarrollado una teoría de propiedades intrínsecas y esenciales basada en la lógica relevante. Esta es su teoría de la predicación relevante. En pocas palabras, una cosa i tiene una propiedad F relevante iff ∀ x (x = i → F (x)). Informalmente, un objeto tiene una propiedad relevante si ser relevante implica tener esa propiedad. Dado que la verdad del consecuente de una implicación relevante es en sí misma insuficiente para la verdad de esa implicación, las cosas pueden tener propiedades irrelevantes y relevantes. La formulación de Dunn parecería capturar al menos un sentido en el que usamos la noción de una propiedad intrínseca. Agregar modalidad al lenguaje permite una formalización de la noción de una propiedad esencial como una propiedad que se tiene tanto necesariamente como intrínsecamente (ver Anderson, Belnap y Dunn 1992, §74).

La lógica relevante se ha utilizado como base para teorías matemáticas distintas de la teoría de conjuntos. Meyer ha producido una variación de Peano aritmética basado en la lógica R. Meyer dio una prueba finitaria de que su aritmética relevante no tiene 0 = 1 como teorema. Así, Meyer resolvió uno de los problemas centrales de Hilbert en el contexto de la aritmética relevante; demostró usando medios finitarios que la aritmética relevante es absolutamente consistente. Esto hace que la aritmética de Peano sea una teoría extremadamente interesante. Desafortunadamente, como han demostrado Meyer y Friedman, la aritmética relevante no contiene todos los teoremas de la aritmética clásica de Peano. Por lo tanto, no podemos inferir de esto que la aritmética clásica de Peano es absolutamente consistente (ver Meyer y Friedman 1992).

Anderson (1967) formuló un sistema de lógica deóntica basado en Ry, más recientemente, Mares (1992) y Lou Goble (1999) han utilizado la lógica de relevancia como base para la lógica deóntica. Estos sistemas evitan algunos de los problemas estándar con lógicas deónticas más tradicionales. Un problema al que se enfrentan las lógicas deónticas estándar es que hacen válida la inferencia de que A es un teorema para que OA sea un teorema, donde 'OA' significa 'debería ser esa A'. La razón por la que surge este problema es que ahora es estándar tratar la lógica deóntica como una lógica modal normal. En la semántica estándar para la lógica modal, si A es válido, entonces es cierto en todos los mundos posibles. Además, la OA es verdadera en un mundo si y solo si A es verdadera en todos los mundos accesibles para a. Por lo tanto, si A es una fórmula válida, entonces también lo es OA. Pero parece una tontería decir que toda fórmula válida debería ser el caso.¿Por qué debería ser el caso de que ahora está lloviendo en Ecuador o no? En la semántica de las lógicas relevantes, no todo mundo hace realidad todas las fórmulas válidas. Solo una clase especial de mundos (a veces llamados "mundos base" y a veces llamados "mundos normales") hacen realidad las fórmulas válidas. Cualquier fórmula válida puede fallar en un mundo. Al permitir estos "mundos no normales" en nuestros modelos, invalidamos esta regla problemática.

También se han agregado otros tipos de operadores modales a la lógica relevante. Ver, Fuhrmann (1990) para un tratamiento general de la lógica modal relevante y Wansing (2002) para el desarrollo y la aplicación de la lógica epistémica relevante.

Routley y Val Plumwood (1989) y Mares y André Fuhrmann (1995) presentan teorías de condicionales contrafácticos basados en la lógica relevante. Su semántica agrega a la semántica estándar de Routley-Meyer una relación de accesibilidad que se mantiene entre una fórmula y dos mundos. En la semántica de Routley y Plumwood, A> B se mantiene en un mundo a si y solo si para todos los mundos b tal que SAab, B se mantiene en b. La semántica de Mares y Fuhrmann es un poco más compleja: A> B se mantiene en un mundo a si y solo si para todos los mundos b tal que SAab, A → B se mantiene en b (también vea Brady (ed.) 2002, §10 para detalles de ambas semánticas). Mares (2004) presenta una teoría más compleja de condicionales relevantes que incluye condicionales contrafácticos. Todas estas teorías evitan los análogos de las paradojas de implicación que aparecen en la lógica estándar de los contrafactuales.

Las lógicas relevantes se han utilizado tanto en informática como en filosofía. La lógica lineal, una rama de la lógica iniciada por Jean-Yves Girard, es una lógica de recursos computacionales. Los lógicos lineales leen una implicación A → B que dice que tener un recurso de tipo A nos permite obtener algo de tipo B. Si tenemos A → (A → B), entonces, sabemos que podemos obtener una B de dos recursos de tipo A. Pero esto no significa que podamos obtener una B de un solo recurso de tipo A, es decir, no sabemos si podemos obtener A → B. Por lo tanto, la contracción falla en la lógica lineal. Las lógicas lineales son, de hecho, lógicas relevantes que carecen de contracción y la distribución de la conjunción sobre la disyunción ((A y (B ∨ C)) → ((A y B) ∨ (A y C))). También incluyen dos operadores (! Y?) Que se conocen como "exponenciales". Poner un exponencial frente a una fórmula le da a la fórmula la capacidad de actuar de manera clásica, por así decirlo. Por ejemplo, al igual que en la lógica de relevancia estándar, generalmente no podemos simplemente agregar una premisa adicional a una inferencia válida y hacer que siga siendo válida. ¡Pero siempre podemos agregar una premisa del formulario! A a una inferencia válida y que siga siendo válida. ¡La lógica lineal también tiene contracción para las fórmulas de la forma! A, es decir, es un teorema de estas lógicas que (! A → (! A → B)) → (! A → B) (ver Troelstra 1992). El uso de ! permite el tratamiento de recursos "que pueden duplicarse o ignorarse a voluntad" (Restall 2000, p 56). Para obtener más información sobre la lógica lineal, consulte la entrada sobre lógica subestructural.generalmente no podemos simplemente agregar una premisa adicional a una inferencia válida y hacer que siga siendo válida. ¡Pero siempre podemos agregar una premisa del formulario! A a una inferencia válida y que siga siendo válida. ¡La lógica lineal también tiene contracción para las fórmulas de la forma! A, es decir, es un teorema de estas lógicas que (! A → (! A → B)) → (! A → B) (ver Troelstra 1992). El uso de ! permite el tratamiento de recursos "que pueden duplicarse o ignorarse a voluntad" (Restall 2000, p 56). Para obtener más información sobre la lógica lineal, consulte la entrada sobre lógica subestructural. Por lo general, no podemos simplemente agregar una premisa adicional a una inferencia válida y hacer que siga siendo válida. ¡Pero siempre podemos agregar una premisa del formulario! A a una inferencia válida y que siga siendo válida. ¡La lógica lineal también tiene contracción para las fórmulas de la forma! A, es decir, es un teorema de estas lógicas que (! A → (! A → B)) → (! A → B) (ver Troelstra 1992). El uso de ! permite el tratamiento de recursos "que pueden duplicarse o ignorarse a voluntad" (Restall 2000, p 56). Para obtener más información sobre la lógica lineal, consulte la entrada sobre lógica subestructural.permite el tratamiento de recursos "que pueden duplicarse o ignorarse a voluntad" (Restall 2000, p 56). Para obtener más información sobre la lógica lineal, consulte la entrada sobre lógica subestructural.permite el tratamiento de recursos "que pueden duplicarse o ignorarse a voluntad" (Restall 2000, p 56). Para obtener más información sobre la lógica lineal, consulte la entrada sobre lógica subestructural.

Bibliografía

Robert Wolff compiló una bibliografía extremadamente buena, aunque un poco desactualizada, sobre lógica de relevancia, que se encuentra en Anderson, Belnap y Dunn (1992). Lo que sigue es una breve lista de introducciones y libros sobre lógica y trabajos relevantes a los que se hace referencia anteriormente.

Libros sobre lógica de relevancia e introducciones al campo:

  • Anderson, AR y ND Belnap, Jr., 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, Volumen I. Anderson, ARND Belnap, Jr. y JM Dunn (1992) Entailment, Volumen II. [Estas son colecciones de artículos ligeramente modificados sobre lógica de relevancia junto con una gran cantidad de material exclusivo de estos volúmenes. Excelente trabajo y aún los libros estándar sobre el tema. Pero son muy técnicos y bastante difíciles.]
  • Brady, RT, 2005, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications, 2005. [Un libro difícil, pero extremadamente importante, que brinda detalles de la semántica de Brady y sus pruebas de que la teoría de conjuntos ingenua y la lógica de orden superior basada en su lógica relevante débil son consistentes.]
  • Dunn, JM, 1986, "Relevance Logic and Entailment" en F. Guenthner y D. Gabbay (eds.), Handbook of Philosophical Logic, Volumen 3, Dordrecht: Reidel, pp. 117-24. [Dunn ha reescrito esta pieza junto con Greg Restall y la nueva versión ha aparecido en el volumen 6 de la nueva edición del Manual de lógica filosófica, Dordrecht: Kluwer, 2002, pp. 1-128.]
  • Mares, ED, 2004, lógica relevante: una interpretación filosófica, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Mares, ED y RK Meyer, 2001, “Lógicas relevantes” en L. Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell.
  • Paoli, F., 2002, Subestructura lógica: una cartilla, Dordrecht: Kluwer. [Introducción excelente y clara a un campo de lógica que incluye lógica de relevancia.]
  • Sacerdote, G., 2008, Introducción a la lógica no clásica: From If to Is, Cambridge: University of Cambridge Press. [Una presentación muy buena y extremadamente clara de lógicas relevantes y otras lógicas no clásicas que utiliza un enfoque de cuadro para la teoría de la prueba.]
  • Leer, S., 1988, Lógica relevante, Oxford: Blackwell. [Un libro muy interesante y divertido. Idiosincrático, pero filosóficamente adepto y excelente en la prehistoria y la historia temprana de la lógica de relevancia.]
  • Restall, G., 2000, Introducción a la lógica estructural, Londres: Routledge. [Introducción excelente y clara a un campo de lógica que incluye lógica de relevancia.]
  • Rivenc, François, 2005, Introducción a la lógica pertinente, París: Prensas Universitarias de Francia. [En francés. Da una interpretación "estructural" de la lógica relevante, que es en gran medida una prueba teórica. Las estructuras involucradas son estructuras de premisas en un cálculo posterior.]
  • Routley, R., RK Meyer, V. Plumwood y R. Brady, 1983, Relevant Logics and its Rivals (Volumen I), Atascardero, CA: Ridgeview. [Un libro muy útil para resultados formales, especialmente sobre la semántica de las lógicas de relevancia. La introducción y los comentarios filosóficos están llenos de "Richard Routleyisms". Tienden a ser las opiniones de Routley en lugar de las opiniones de otros autores y son bastante radicales incluso para los lógicos relevantes. El Volumen II actualiza el Volumen I e incluye otros temas como condicionales, cuantificación y procedimientos de decisión: R. Brady (ed.), Lógicas relevantes y sus rivales (Volumen II), Aldershot: Ashgate, 2003.]
  • Goldblatt, R., 2011, Cuantificadores, proposiciones e identidad: semántica admisible para lógicas modales y estructurales cuantificadas, Cambridge: Cambridge University Press. [Una descripción detallada de la semántica admisible para la lógica cuantificada, aplicada a la lógica modal y de relevancia, y proporciona un nuevo tipo de semántica para la lógica de relevancia cuantificada, la "semántica de cobertura".]

Otras obras citadas:

  • Anderson, AR, 1967, "Algunos problemas desagradables en la lógica formal de la ética", Noûs, 1: 354–360.
  • Avron, Arnon, 1990, "Relevancia y paraconsistencia: un nuevo enfoque", The Journal of Symbolic Logic, 55: 707–732.
  • Barwise, J., 1993, "Restricciones, canales y el flujo de información", en P. Aczel, et al. (eds.), Teoría de la situación y sus aplicaciones (Volumen 3), Stanford: Publicaciones CSLI, págs. 3–27.
  • Belnap, ND, 1982, "Display Logic", Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
  • Brady, RT, 1989, "La no trivialidad de la teoría dialéctica de conjuntos", en G. Priest, R. Routley y J. Norman (eds.), Paraconsistent Logic, Munich: Philosophia Verlag, pp. 437–470.
  • Dunn, JM, 1973, (Resumen) “Un 'sistema Gentzen' para implicaciones relevantes positivas”, The Journal of Symbolic Logic, 38: 356–357.
  • Dunn, JM, 1993, "Star and Perp", Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
  • Fine, K., 1974, "Models for Entailment", Journal of Philosophical Logic, 3: 347–372.
  • Fuhrmann, A., 1990, "Modelos para lógicas modales relevantes", Studia Logica, 49: 501–514.
  • Goble, L., 1999, “Deontic Logic with Relevance” en P. McNamara y H. Prakken (eds.), Norms, Logis and Information Systems, Amsterdam: ISO Press, pp. 331–346.
  • Grishin, VN, 1974, "Una lógica no estándar y su aplicación a la teoría de conjuntos", Estudios en idiomas formalizados y lógicas no clásicas (ruso), Moscú: Nauka.
  • Israel, D. y J. Perry, 1990, "What is Information ?," en PP Hanson (ed.), Information, Language, and Cognition, Vancouver: University of British Columbia Press, pp. 1-19.
  • MacColl, H., 1908, "'Si' e 'implica'", Mind, 17: 151–152, 453–455.
  • Mares, ED, 1992, "Andersonian Deontic Logic", Theoria, 58: 3–20.
  • Mares, ED, 1997, "Lógica relevante y teoría de la información", Synthese, 109: 345–360.
  • Mares, ED y A. Fuhrmann, 1995, "Una teoría relevante de los condicionales", Journal of Philosophical Logic, 24: 645-665.
  • Meyer, RK y H. Friedman, 1992, "¿Dónde está la aritmética relevante?", The Journal of Symbolic Logic, 57: 824–831.
  • Rantala, V., 1982, "Lógica modal cuantificada: mundos no normales y actitudes proposicionales", Studia Logica, 41: 41-65.
  • Restall, G., 1996, “Flujo de información y lógicas relevantes”, en J. Seligman y D. Westerstahl (eds.), Lógica, lenguaje y computación (Volumen 1), Stanford: Publicaciones CSLI, págs. 463–478.
  • Routley, R. y A. Loparic, 1978, "Análisis semántico de los sistemas Arruda-da Costa P y sistemas relevantes adyacentes sin reemplazo", Studia Logica, 37: 301–322.
  • Troelstra, AS, 1992, Lectures on Linear Logic, Stanford: Publicaciones CSLI.
  • Urquhart, A., 1972, "Semántica para lógicas relevantes" The Journal of Symbolic Logic, 37: 159–169.
  • Wansing, H., 2001, "Negación", en L. Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, págs. 415–436.
  • Wansing, H., 2002, "Los diamantes son los mejores amigos de un filósofo", Journal of Philosophical Logic, 31: 591–612.

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Otros recursos de internet

Una semántica alternativa para la lógica relevante cuantificada [PDF], por Edwin D. Mares y Robert Goldblatt, Victoria University of Wellington, proporciona una nueva semántica para la lógica relevante cuantificada

[Póngase en contacto con el autor con otras sugerencias.]

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