Lógica Difusa

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Lógica difusa

Publicado por primera vez el martes 15 de noviembre de 2016; revisión sustantiva mar 18 de julio de 2017

La lógica difusa pretende modelar el razonamiento lógico con declaraciones vagas o imprecisas como "Petr es joven (rico, alto, hambriento, etc.)". Se refiere a una familia de lógicas de muchos valores (vea la entrada sobre lógica de muchos valores) y por lo tanto estipula que el valor de verdad (que, en este caso equivale a un grado de verdad) de una proposición lógicamente compuesta, como “Carles es alto y Chris es rico”, está determinado por el valor de verdad de sus componentes. En otras palabras, como en la lógica clásica, uno impone la verdad-funcionalidad.

La lógica difusa surgió en el contexto de la teoría de conjuntos difusos, presentada por Zadeh (1965). Un conjunto difuso asigna un grado de pertenencia, típicamente un número real desde el intervalo ([0,1]), a elementos de un universo. La lógica difusa surge al asignar grados de verdad a las proposiciones. El conjunto estándar de valores de verdad (grados) es ([0,1]), donde (0) representa "totalmente falso", (1) representa "totalmente verdadero", y los otros números se refieren a parcial verdad, es decir, grados intermedios de verdad. [1]

La "lógica difusa" a menudo se entiende en un sentido muy amplio que incluye todo tipo de formalismos y técnicas que se refieren al manejo sistemático de grados de algún tipo (véase, por ejemplo, Nguyen y Walker 2000). En particular en contextos de ingeniería (control difuso, clasificación difusa, computación flexible), está dirigido a métodos computacionales eficientes tolerantes a la suboptimidad e imprecisión (véase, por ejemplo, Ross 2010). Esta entrada se centra en la lógica difusa en un sentido estricto, establecida como una disciplina de la lógica matemática siguiendo la monografía seminal de Petr Hájek (1998) y hoy en día generalmente se conoce como "lógica difusa matemática" (ver Cintula, Fermüller, Hájek y Noguera 2011 y 2015). Se enfoca en lógicas basadas en una explicación funcional de verdad de verdad parcial y las estudia en el espíritu de la lógica matemática clásica (sintaxis,modelo de semántica teórica, sistemas de prueba, integridad, etc.; ambos, a nivel proposicional y predicado).

  • 1. Conectivos difusos basados en normas t
  • 2. MTL: una lógica difusa fundamental
  • 3. lógica Łukasiewicz
  • 4. Lógica de Gödel-Dummett
  • 5. Otras lógicas difusas notables
  • 6. Lógicas de predicado
  • 7. Semántica algebraica
  • 8. Teoría de la prueba
  • 9. Semántica que justifica la funcionalidad de la verdad.
  • 10. lógica difusa y vaguedad
  • Bibliografía
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Conectivos difusos basados en normas t

El conjunto estándar de grados de verdad para las lógicas difusas es el intervalo de unidad real ([0,1]) con su ordenamiento natural (leq), que va desde la falsedad total (representada por (0)) hasta la verdad total (representado por (1)) a través de un continuo de grados de verdad intermedios. La suposición más fundamental de la lógica difusa matemática (general) es que los conectivos deben interpretarse con la verdad funcionalmente sobre el conjunto de grados de verdad. Se supone que tales funciones de verdad se comportan clásicamente en los valores extremos (0) y (1). Se logra un comportamiento muy natural de conjunción y disyunción imponiendo (x / land y = / min {x, y }) y (x / lor y = / max {x, y }) para cada (x, y / en [0,1]).

Por lo general, se agrega otra conjunción no idempotente (&) para dar cuenta de la intuición de que la aplicación de una hipótesis parcialmente cierta dos veces podría conducir a un grado de verdad diferente al uso de una sola vez. Dicha conjunción generalmente se interpreta mediante una operación binaria en ([0,1]), que no es necesariamente idempotente, pero sí asociativa, conmutativa, no decreciente en ambos argumentos y tiene (1) como elemento neutral. Estas operaciones se denominan normas t (normas triangulares) y sus propiedades matemáticas se han estudiado a fondo (por ejemplo, Klement, Mesiar y Pap 2000). Ejemplos prominentes de normas t son la función ya mencionada (min), el producto estándar de números reales y la norma t de Łukasiewicz: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Estas tres normas t son en realidad funciones continuas y cualquier otra norma t continua puede describirse como una suma ordinal de estas tres básicas (ver, Ling 1965; Mostert y Shields 1957).

La negación se interpreta mediante una función no creciente que asigna (0) a (1) y viceversa; Las opciones habituales son la negación Łukasiewicz (neg_ {Ł} x = 1 - x) y la negación Gödel: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) y (neg_ / mathrm {G} x = 0) para cada (x> 0). También es habitual introducir un símbolo constante (overline {0}) para falsedad total, por lo tanto, interpretado como (0). Finalmente, una opción adecuada para la implicación es el residuo de la norma t (ast), es decir, la función única (Rightarrow) que satisface la llamada condición de residencia: (x / ast y / leq z), si y solo si, (x / leq y / Rightarrow z). Dicha función existe (y se define como (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })) si, y solo si, la norma t es continua a la izquierda.

2. MTL: una lógica difusa fundamental

La lógica más débil con conectivos interpretados por las funciones de verdad del tipo descrito anteriormente es MTL (Monoidal T-norm based Logic, Esteva & Godo 2001). Es una lógica con los conectores primitivos (mathbin { &}, / to, / wedge,) y (overline {0}), y los conectores derivables definidos como:) begin {align} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / overline {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / to / psi) land (psi / to / varphi) y \\ / overline {1} & = / neg / overline { 0}. / end {align}) MTL se define como una relación de consecuencia sobre la semántica dada por todas las normas t continuas a la izquierda. A saber, dada una particular t-norma continua izquierda (ast), una evaluación (e_ / ast) es un mapeo de variables proposicionales a ([0,1]),extendido a todas las fórmulas interpretando (&) como (ast), la implicación (to) como su residuo (Rightarrow), y (land) y (overline {0}) como (min) y (0), respectivamente.

Una fórmula (varphi) es una consecuencia de un conjunto de fórmulas (Gamma) en MTL, denotado (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi), si para cada t- continua izquierda norma (ast) y cada evaluación (e_ / ast) tal que (e (psi) = 1) para cada (psi / in / Gamma) tenemos (e (varphi) = 1); es decir: cada evaluación que hace que las premisas sean totalmente verdaderas también debe hacer que la conclusión sea totalmente cierta. Las fórmulas (varphi) que siempre evalúan a (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)) se denominan tautologías de MTL. Tenga en cuenta que la fórmula ((varphi / mathbin { &} psi) to (varphi / land / psi)) es una tautología en MTL, es decir, la conjunción (&) es más fuerte que (tierra).

MTL también puede presentarse mediante un sistema de prueba de estilo Hilbert con los siguientes axiomas:

) begin {align} (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / to / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / to / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / to / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / to (psi / to / chi)) & / a (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) ((varphi / to / psi) to / chi) & / to (((psi / to / varphi) to / chi) to / chi) / \ overline {0} & / to / varphi \\ / end {align})

y modus ponens como la única regla de inferencia: desde (varphi) y (varphi / to / psi), inferir (psi). Este sistema es una axiomatización completa de la lógica MTL: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), donde la última relación denota derivabilidad de instancias de los axiomas y fórmulas anteriores en (Gamma). Se sabe que el problema de validez de (mathrm {MTL}) es decidible, sin embargo, aún no se ha determinado su complejidad computacional.

3. lógica Łukasiewicz

La lógica de Łukasiewicz se puede definir agregando [((varphi / to / psi) to / psi) to ((psi / to / varphi) to / varphi)) al sistema de estilo Hilbert para MTL. Corresponde a la versión finitaria de la relación de consecuencia definida con respecto a las evaluaciones basadas en la norma t de Łukasiewicz (en símbolos: para cada conjunto finito de fórmulas (Gamma) y cada fórmula (varphi), tenemos (Gamma / models_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). [2]

Esta lógica fue un ejemplo temprano de una lógica de muchos valores, introducida por Łukasiewicz y Tarski (1930), mucho antes del inicio de la teoría de conjuntos difusos, por medio de un sistema axiomático equivalente (con modus ponens como la única regla de inferencia):

) begin {align} varphi & / to (psi / to / varphi) (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) ((varphi / to / psi) to / psi) & / to ((psi / to / varphi) to / varphi) (neg / psi / to / neg / varphi) & / to (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ end {alinear })

La lógica de Łukasiewicz es la única lógica difusa basada en la norma t donde todos los conectivos se interpretan mediante funciones continuas, incluida la implicación que, como residuo de (_ {Ł}), viene dada por la función (x / to_ {ŁŁ } y = / min {1,1-x + y }). El teorema de McNaughton (1951) establece que las funciones de valor real sobre [0,1] que interpretan fórmulas de lógica Łukasiewicz son exactamente las funciones lineales continuas por partes con coeficientes enteros. En términos de complejidad computacional, el problema de validez de esta lógica es asintóticamente no peor que en la lógica clásica: sigue siendo coNP-complete.

4. Lógica de Gödel-Dummett

La lógica de Gödel – Dummett, también conocida como LC de Dummett o simplemente lógica de Gödel, es otro ejemplo temprano de una lógica de muchos valores con valores de verdad en ([0,1]). Fue introducido por Michael Dummett (1959) como la extensión de la lógica intuicionista (ver entrada sobre lógica intuicionista) por el axioma [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi).) Esta fórmula impone un orden lineal en la semántica subyacente (estilo Kripke y algebraica). También aparece en el contexto de la observación de Gödel que es imposible caracterizar la lógica intuicionista mediante tablas de verdad finita (Gödel 1932). La lógica de Gödel – Dummett puede obtenerse alternativamente como una extensión axiomática de MTL agregando el axioma (varphi / to / varphi / mathbin { &} varphi), lo que equivale a requerir la idempotencia de (&),y, por lo tanto, hacer coincidir la interpretación de ambas conjunciones. En la configuración de lógica difusa, la lógica de Gödel-Dummett puede verse como la relación de consecuencia dada por la norma t mínima. Se distingue como la única lógica basada en la norma t donde la verdad de una fórmula en una evaluación dada no depende de los valores específicos asignados a las variables proposicionales, sino solo del orden relativo de estos valores. En este sentido, la lógica de Gödel-Dummett puede verse como una lógica de verdad comparativa. Al igual que para la lógica de Łukasiewicz, la complejidad computacional de la validez de la prueba sigue siendo completa. Se distingue como la única lógica basada en la norma t donde la verdad de una fórmula en una evaluación dada no depende de los valores específicos asignados a las variables proposicionales, sino solo del orden relativo de estos valores. En este sentido, la lógica de Gödel-Dummett puede verse como una lógica de verdad comparativa. Al igual que para la lógica de Łukasiewicz, la complejidad computacional de la validez de la prueba sigue siendo completa. Se distingue como la única lógica basada en la norma t donde la verdad de una fórmula en una evaluación dada no depende de los valores específicos asignados a las variables proposicionales, sino solo del orden relativo de estos valores. En este sentido, la lógica de Gödel-Dummett puede verse como una lógica de verdad comparativa. Al igual que para la lógica de Łukasiewicz, la complejidad computacional de la validez de la prueba sigue siendo completa.

5. Otras lógicas difusas notables

Además de MTL (la lógica de todas las normas t continuas a la izquierda) y las lógicas Łukasiewicz y Gödel – Dummett (cada una inducida por una norma t particular), se pueden considerar lógicas inducidas por otros conjuntos de normas t o, en general, arbitrarias Extensiones axiomáticas de MTL. En particular, la lógica de todas las normas t continuas (lógica difusa básica de Hájek) se obtiene al agregar el axioma [(varphi / mathbin { &} (varphi / to {{ psi}})) to (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) a las de MTL. En realidad, para cualquier conjunto de normas t continuas hay una axiomatización finita de la lógica correspondiente (Esteva, Godo y Montagna 2003; Haniková 2014). En particular, la lógica de la última t-norma continua prominente (producto algebraico), conocida como lógica de producto, es la extensión de la lógica difusa básica de Hájek por el axioma:) neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi / mathbin { &} {{ psi}}) to {{ psi}})) Por otro lado, no todas las extensiones axiomáticas de MTL pueden recibir una semántica de las normas t. Por ejemplo, la lógica clásica se puede axiomatizar como MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), pero el axioma del medio excluido no es una tautología bajo ninguna interpretación basada en la norma t.

También hay razones para considerar lógicas difusas más débiles. Por ejemplo, se puede argumentar que los supuestos que obligan a la interpretación de la conjunción a ser una norma t son demasiado fuertes. En particular, la suposición de que (1) es el elemento neutral de la conjunción impone una definición de tautología como una fórmula siempre evaluada a (1) y la relación de consecuencia como preservación del valor (1), es decir, (1) es el único valor designado en la semántica. [3]Una forma natural de introducir lógicas con más de un grado de verdad designado es asumir que el elemento neutral para (ast) es un número (t <1). (Se puede demostrar que en esta situación los grados de verdad designados son exactamente aquellos mayores o iguales a (t).) Tales interpretaciones de conjunciones se llaman uninorms. La lógica resultante fue axiomatizada por Metcalfe y Montagna (2007).

Análogamente, uno puede argumentar contra la conmutatividad o incluso contra la asociatividad de la conjunción. Las axiomatizaciones de las lógicas resultantes se describen en la literatura (ver Cintula, Horčík y Noguera 2013; Jenei y Montagna 2003); Una excepción es la lógica de las desinformaciones no conmutativas para las que no se conoce un sistema axiomático natural.

Finalmente, teniendo en cuenta que las lógicas difusas, a diferencia de la lógica clásica, generalmente no son funcionalmente completas, se puede aumentar su poder expresivo al agregar nuevas conectivas. Los conectivos más comúnmente considerados son: constantes de verdad (bar r) para cada número racional (r / in (0,1)); los conectivos unarios (sim) y (triangle) interpretados como ({ sim} x = 1-x) y (triangle x = 1) if (x = 1) y (0) de lo contrario; un conectivo binario (odot) interpretado como el producto algebraico habitual, etc. (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo y Noguera 2007; Esteva, Godo y Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek y Navara 2000).

Se puede encontrar una visión general exhaustiva de todos los tipos de lógicas difusas proposicionales mencionadas en esta sección (y una teoría general de las mismas) en el Manual de lógica difusa matemática (3 volúmenes, Cintula et al. 2011a, b, 2015).

6. Lógicas de predicado

Dada cualquier lógica difusa proposicional L, hay una manera uniforme de introducir su contraparte de primer orden L (forall) en un lenguaje predicado (mathcal {P \! L}) (definido como en el caso clásico). En esta sección, por simplicidad, lo presentamos para lógicas basadas en la norma t.

La semántica viene dada por estructuras en las que los símbolos predicados se interpretan como funciones que mapean tuplas de elementos de dominio en valores de verdad. Más precisamente, una estructura ({ mathbf M}) consiste en un dominio no vacío de elementos (M), una función (f _ { mathbf M} colon M ^ n / to M) para cada (n) - símbolo de función aria (f / in / mathcal {P \! L}), y una función (P _ { mathbf M} colon M ^ n / a [0,1]) para cada (n) - símbolo de predicado ario (P / in / mathcal {P \! L}). Al fijar una evaluación ({ mathrm v}) de las variables de objeto en (M), uno define valores de términos ((| f (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))) y valores de verdad de fórmulas atómicas ((| P (t_1, / puntos, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Los valores de verdad de una fórmula cuantificada universal / existencialmente se calculan como valores infimum / supremum de verdad de instancias de la fórmula donde la variable cuantificada corre sobre todos los elementos del dominio (M). Formalmente:) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / en M } / \ | (exist x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / en M }, \\ / end {align}) donde ({ mathrm v} [x {:} a]) es la evaluación que envía (x) a (a) y mantener los valores de otras variables sin cambios. Los valores de otras fórmulas se calculan utilizando las funciones de verdad para los conectivos proposicionales de L.) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / en M } / \ | (exist x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / en M }, \\ / end {align}) donde ({ mathrm v} [x {:} a]) es la evaluación que envía (x) a (a) y mantener los valores de otras variables sin cambios. Los valores de otras fórmulas se calculan utilizando las funciones de verdad para los conectivos proposicionales de L.) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / en M } / \ | (exist x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / en M }, \\ / end {align}) donde ({ mathrm v} [x {:} a]) es la evaluación que envía (x) a (a) y mantener los valores de otras variables sin cambios. Los valores de otras fórmulas se calculan utilizando las funciones de verdad para los conectivos proposicionales de L. Los valores de otras fórmulas se calculan utilizando las funciones de verdad para los conectivos proposicionales de L. Los valores de otras fórmulas se calculan utilizando las funciones de verdad para los conectivos proposicionales de L.

La lógica de primer orden L (forall) se define como la relación de consecuencia dada por la preservación de la verdad total (valor (1)), como en el caso proposicional. Más precisamente, decimos que una fórmula de primer orden (varphi) es una consecuencia de un conjunto de fórmulas (Gamma) (en símbolos: (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi)) if (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) para cada evaluación v, siempre que (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) para cada evaluación v y cada (psi / in / Gamma).

L (forall) puede recibir un cálculo de estilo Hilbert con los siguientes axiomas:

  • (P) Las instancias (de primer orden) de los axiomas de la lógica proposicional L
  • ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), donde el término (t) es sustituible por (x) en
  • ((exist1)) (varphi (t) to (exist x) varphi (x)), donde el término (t) es sustituible por (x) en
  • ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), donde (x) no es gratis en (chi)
  • ((exist2)) ((forall x) (varphi / to / chi) to ((exist x) varphi / to / chi)), donde (x) no está libre en (chi)
  • ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) to / chi / vee (forall x) varphi), donde (x) no está libre en (chi).

Las reglas de deducción de L (forall) son las de L más la regla de generalización: de (varphi) infer ((forall x) varphi).

Para muchas lógicas difusas proposicionales notables (incluida la lógica MTL y Gödel), el sistema axiomático anterior es sólido y completo con respecto a la semántica (es decir, (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) para cada (Gamma) y cada (varphi); Cintula, Horčík y Noguera 2014).

Sin embargo, la lógica de orderukasiewicz de primer orden no es recursivamente axiomatizable como lo muestra Scarpellini (1962; Ragaz (1981) demostró que el conjunto de tautologías es en realidad (Sigma_2) - completo en el sentido de jerarquía aritmética). La integridad se puede lograr mediante la inclusión de una regla de inferencia infinita (Hay 1963) o generalizando el conjunto de valores de verdad (ver la siguiente sección). La situación es aún más complicada en el caso de la lógica difusa básica de Hájek, donde el conjunto de tautologías de primer orden de todas las estructuras dadas por normas t continuas es tan complejo como la verdadera aritmética (Montagna 2001).

7. Semántica algebraica

Una de las principales herramientas en el estudio de la lógica difusa es la de la semántica algebraica (ver entrada sobre semántica algebraica). En términos generales, la idea es reemplazar el intervalo de la unidad real con un conjunto arbitrario e interpretar los conectivos como operaciones de aridades correspondientes en ese conjunto.

Un álgebra MTL (introducido por Esteva y Godo (2001)) es una tupla ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) donde

  • (langle A, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) es un enrejado acotado
  • (langle A, &, / overline {1} rangle) es un monoide conmutativo
  • ((x / to y) vee (y / to x) = / overline {1})
  • (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / to z) (donde (leq) es el orden reticular inducido por (wedge) o (vee)).

Las álgebras de MTL son una generalización de la semántica basada en la norma t explicada anteriormente y proporcionan una semántica sólida y completa para MTL. [4]

Las cadenas MTL son aquellas cuyo orden reticular es total y son los bloques de construcción básicos de toda la clase de álgebras, en el sentido de que cada álgebra MTL puede descomponerse como un producto subdirecto de cadenas. Esto implica que la lógica también es completa con respecto a la semántica de las cadenas MTL, que luego se utiliza como el primer paso en la prueba de su integridad con respecto a la semántica basada en la norma t (Jenei y Montagna 2002).

La semántica algebraica es una herramienta universal que se puede utilizar para cualquier lógica. En particular, para cualquier lógica difusa arbitraria estudiada en la literatura (incluso aquellos que no admiten una semántica basada en la norma t, como las lógicas difusas de valor finito o la lógica de las desinformaciones no conmutativas) se puede encontrar una clase correspondiente de álgebras que pueden ser descompuesto como productos subdirectos de cadenas. Este hecho ha llevado a Běhounek y Cintula (2006) a proponer una definición de lógicas difusas como lógicas que están completas con respecto a estructuras algebraicas totalmente ordenadas.

El uso de la semántica algebraica para las lógicas de primer orden generalmente produce una menor complejidad para probar la validez o la satisfacción que la semántica estándar (Montagna y Noguera 2010).

8. Teoría de la prueba

Ha sido un desafío considerable crear sistemas de prueba analíticos para lógicas difusas. Estos son sistemas que comparten características importantes, como la eliminación de los cortes y la propiedad de subformula, con los cálculos posteriores de Gentzen para la lógica clásica e intuicionista (ver entrada sobre el desarrollo de la teoría de la prueba). Arnon Avron (1991) ha logrado un gran avance con la introducción del llamado cálculo hipersecuente para la lógica de Gödel-Dummett. Los cálculos hipersecuentes surgen de los cálculos secuenciales al considerar múltiples conjuntos finitos o secuencias de secuenciantes, interpretadas como disyunciones de secuenciantes, como objeto principal de inferencia. En el caso de la lógica de Gödel-Dummett, uno levanta las reglas del cálculo secuencial intuitivo de Gentzen simplemente agregando hipersecuentes laterales a las secuencias superior e inferior. Por ejemplo,la regla posterior para introducir la disyunción en el lado derecho) frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}] donde (Gamma_1) y (Gamma_2) son secuencias finitas de fórmulas, se convierte en la siguiente regla hipersecuente:) frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}) donde (H) y (H') denotan el lado- hipersecuentes, es decir, secuencias finitas o multisets de secuencias. Esto por sí solo no cambia la lógica correspondiente (lógica intuicionista, en este caso). La regla estructural adicional crucial es la llamada regla de comunicación:) frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Aquí (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) son listas finitas de fórmulas; (Delta_1) y (Delta_2) son fórmulas individuales o permanecen vacías; (H) y (H ') denotan las hipersecuentes laterales, como arriba.

Para obtener un cálculo hipersecuente para la lógica difusa fundamental MTL uno tiene que agregar la regla de comunicación a un sistema secuencial para la versión sin contracción de la lógica intuicionista. Los sistemas de prueba analítica para otras lógicas difusas, en particular la lógica de Łukasiewicz, exigen una desviación más radical de los cálculos tradicionales, donde los componentes secuenciales de hipersecuentes se interpretan de manera diferente que las secuencias intuitivas o clásicas. También se han sugerido los llamados sistemas de prueba etiquetados y varios cálculos de cuadros. Se puede encontrar una presentación detallada del estado del arte correspondiente en Metcalfe, Olivetti y Gabbay 2008 y Metcalfe 2011.

9. Semántica que justifica la funcionalidad de la verdad

Es deseable, no solo desde un punto de vista filosófico, sino también para comprender mejor las posibles aplicaciones de la lógica difusa para relacionar el significado de los valores de verdad intermedios y las correspondientes conexiones lógicas con modelos básicos de razonamiento con nociones vagas e imprecisas. Se ha introducido una serie de semánticas que buscan justificar elecciones particulares de conectivos funcionales de verdad. Solo dos de ellos se describen brevemente aquí.

La semántica de votación se basa en la idea de que diferentes agentes (votantes) pueden juzgar coherentemente la misma proposición de manera diferente. La proporción de agentes que aceptan una proposición (varphi) como verdadera puede verse como un valor de verdad. Sin más restricciones, esto no conduce a una semántica funcional de verdad, sino a una asignación de probabilidades a las proposiciones. Pero si uno asigna un nivel fijo de escepticismo a cada agente e impone algunas condiciones naturales que mantienen los juicios sobre declaraciones lógicamente complejas consistentes con esos niveles, entonces uno puede recuperar (min), (max), y (1-x) como funciones de verdad para conjunción, disyunción y negación, respectivamente. Los detalles se pueden encontrar en Lawry 1998.

Giles (1974) introdujo otro modelo intrigante de razonamiento que proporciona una justificación para todos los conectivos proposicionales de la lógica estándar Łukasiewicz. Consiste en un juego, donde dos jugadores, tú y yo, reducimos sistemáticamente las aserciones (fórmulas) lógicamente complejas a otras más simples de acuerdo con reglas como las siguientes:

  • Si afirmo (varphi / lor / psi), entonces tengo que afirmar (varphi) o (psi).
  • Si afirmo (varphi / land / psi), entonces eliges uno de los conjuntos y tengo que afirmar (varphi) o (psi), en consecuencia.
  • Si afirmo (varphi / to / psi), entonces tengo que afirmar (psi) si afirma (varphi).

Las reglas para las declaraciones cuantificadas se refieren a un dominio fijo, suponiendo que haya un símbolo constante para cada elemento de dominio que se estipule:

  • Si afirmo ((forall x) varphi (x)), entonces tengo que afirmar (varphi (c)), para una constante (c) elegida por usted.
  • Si afirmo ((exist x) varphi (x)), entonces tengo que afirmar (varphi (c)), para una constante (c) elegida por mí mismo.

Las reglas para sus afirmaciones son duales. En cada estado del juego, se elige una aparición de una fórmula no atómica en el conjunto múltiple de aserciones actuales por mí o por usted y se reemplaza por subformulas, como lo indican estas reglas, hasta que solo queden aserciones atómicas. Luego se evalúa el estado final del juego de acuerdo con el siguiente esquema de apuestas.

Para cada fórmula atómica hay un experimento correspondiente que puede fallar o tener éxito, pero puede mostrar dispersión, es decir, puede producir resultados diferentes cuando se repite. Se asigna una probabilidad de falla fija, llamada valor de riesgo, a cada experimento y, por lo tanto, a cada fórmula atómica. Los jugadores tienen que pagar ($) 1 al otro jugador por cada una de sus afirmaciones atómicas donde los experimentos asociados fallan. Para cualquier juego que comience con mi afirmación de (varphi), mi pérdida total de dinero esperada si ambos jugamos racionalmente puede corresponder inversamente al valor de verdad de (varphi) evaluado en una interpretación de la lógica de Łukasiewicz que asigna el inverso de los valores de riesgo como valores de verdad a las fórmulas atómicas. En particular, una fórmula es válida en la lógica de Łukasiewicz si y solo si, para cada asignación de valor de riesgo,Tengo una estrategia que garantiza que mi pérdida total esperada al final del juego es (0) o negativa.

Fermüller y Metcalfe (2009) han señalado una correspondencia entre las estrategias óptimas en el juego de Giles y las pruebas sin cortes en un sistema hipersecuente para la lógica de Łukasiewicz. El juego también ha sido extendido por Fermüller y Roschger (2014) para caracterizar varios tipos de cuantificadores (semi) difusos, destinados a modelar expresiones del lenguaje natural como "aproximadamente la mitad" o "casi todo".

Paris (2000) proporciona una visión general sobre otras semánticas que respaldan varias opciones de funciones de verdad; en particular, la semántica de aleatorización (Hisdal 1988), la semántica de similitud (por ejemplo, Ruspini 1991), la semántica de aceptabilidad (París 1997) y la semántica de aproximación (París 2000). Mencionemos también la semántica basada en recursos de Běhounek (2009). Además, hay diferentes formas de juegos de evaluación para varias lógicas difusas, además de la de Giles para la lógica Łukasiewicz descrita anteriormente. Se puede encontrar una descripción general de esos juegos semánticos en Fermüller 2015.

10. lógica difusa y vaguedad

El razonamiento de modelado con predicados y proposiciones vagos a menudo se cita como la principal motivación para introducir lógicas difusas. Existen muchas teorías alternativas de la vaguedad (ver entrada sobre vaguedad), pero hay un acuerdo general de que la susceptibilidad a la paradoja de sorites (ver entrada sobre paradoja de sorites) es una característica principal de la vaguedad. Considere la siguiente versión de la paradoja:

  • (1) (10 ^ {100}) es un número enorme.
  • (2) Si (n) es un número enorme, entonces (n-1) también es enorme.

A primera vista, no parece ser irrazonable aceptar estos dos supuestos. Al instanciar (n) con (10 ^ {100}) en (2) y aplicar modus ponens con (1) como la otra premisa, concluimos que (10 ^ {100} -1) es enorme. Simplemente repitiendo este tipo de inferencia llegamos a la afirmación irrazonable

(3) (0) es un número enorme

La lógica difusa sugiere un análisis de la paradoja de los sorites que respeta la intuición de que la afirmación (2), aunque posiblemente no sea totalmente cierta, es casi cierta.

Hay varias formas de modelar esta forma de razonamiento en lógicas difusas basadas en la norma t que disuelven la paradoja. Por ejemplo, uno puede declarar que cualquier instancia de modus ponens es sólida si el grado de verdad de la conclusión no es inferior al de la fuerte conjunción de sus premisas. [5]Como se indicó, se estipula que cada instancia de (2) es fiel al grado (1- / epsilon), para un número muy pequeño (epsilon). Incluso si declaramos que (1) es perfectamente cierto, la afirmación de que (10 ^ {100} -1) también es enorme, podría ser menos que perfectamente cierto sin sacrificar la solidez de la instanciación y el modus ponens. Si, además, el grado de verdad de la conjunción de dos declaraciones no perfectamente verdaderas (o no perfectamente falsas) es menor que el de cada conjunto, podemos declarar con seguridad que la declaración (3) es perfectamente falsa y, sin embargo, insistir en la solidez de cada paso en la cadena de inferencias indicada. Hablando informalmente, la paradoja desaparece al suponer que la disminución repetida de un número perfectamente grande en una pequeña cantidad conduce a números de los cuales cada vez es menos cierto que también son enormes.

Hájek y Novák (2003) han propuesto una solución alternativa basada en grados de verdad para la paradoja de los soritas. Introducen una nueva verdad funcional conectiva que modela la expresión "es casi cierto eso". De esta manera, formalizan el razonamiento al estilo sorites dentro de una teoría axiomática de una lógica difusa basada en la norma t apropiada.

Smith (2008; véase también 2005) ha argumentado que el llamado principio de cercanía captura la esencia de la vaguedad. Expresa que las declaraciones de la misma forma sobre objetos indistinguibles deben permanecer cercanas respecto a la verdad. Es un sello distintivo de muchos enfoques de la paradoja que emplean una lógica difusa de que son compatibles con este principio. [6]

Bibliografía

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