El Teorema De Kochen-Specker

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El teorema de Kochen-Specker

Publicado por primera vez el lunes 11 de septiembre de 2000; revisión sustantiva mié 7 feb.2018

El teorema de Kochen-Specker es un tema importante y sutil en los fundamentos de la mecánica cuántica (QM). El teorema demuestra la imposibilidad de cierto tipo de interpretación de QM en términos de variables ocultas (HV) que naturalmente se sugiere cuando uno comienza a considerar el proyecto de interpretación de QM. Aquí presentamos el teorema / argumento y la discusión fundamental que lo rodea en niveles diferentes. El lector que busque una descripción general rápida debe leer las siguientes secciones y subsecciones: 1, 2, 3.1, 3.2, 4 y 6. Aquellos que lean la entrada completa encontrarán pruebas de algunos reclamos no triviales en documentos complementarios.

  • 1. Introducción
  • 2. Antecedentes del teorema de KS
  • 3. Declaración y prueba del teorema de KS

    • 3.1 Declaración del teorema de KS
    • 3.2 Un argumento KS rápido en cuatro dimensiones (Cabello et al.)
    • 3.3 El argumento original de KS. Preliminares técnicos
    • 3.4 El argumento original de KS. Bosquejo de la prueba
    • 3.5 Un argumento estadístico de KS en tres dimensiones (Clifton)
  • 4. El principio de composición funcional
  • 5. Escapar del argumento KS

    • 5.1 Sin definición de valor general
    • 5.2 Negación del valor del realismo
    • 5.3 Contextualidad
  • 6. La cuestión de las pruebas empíricas
  • Bibliografía
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Introducción

QM tiene la propiedad peculiar de que los estados de mecánica cuántica implican, en general, solo restricciones estadísticas sobre los resultados de las mediciones. La conclusión natural que se debe extraer es que estos estados son descripciones incompletas de los sistemas cuánticos. QM, por lo tanto, estaría incompleto en el sentido de que una descripción típica del estado QM de un sistema individual podría complementarse con una descripción más completa en términos de una teoría HV. En una descripción HV del sistema, las probabilidades de QM se interpretarían naturalmente como probabilidades epistémicas del tipo que surgen en la mecánica estadística ordinaria. Tal descripción de HV podría no ser prácticamente útil, pero uno está tentado a pensar que al menos debería ser posible en principio. Sin embargo, existen dos poderosos teoremas en el sentido de que dicha descripción está sujeta a restricciones severas: QM,dadas ciertas premisas plausibles, al menos prima facie, no pueden complementarse con una teoría de AT. El más famoso de estos dos teoremas es el teorema de Bell que establece que, dada una premisa de localidad, un modelo HV no puede coincidir con las predicciones estadísticas de QM. El segundo teorema importante de no ir contra las teorías de AT es el teorema de Kochen y Specker (KS) que establece que, dada una premisa de no contextualidad (que se explicará en la actualidad), ciertos conjuntos de observables de MC no pueden asignarse valores consistentemente (incluso antes surge la cuestión de sus distribuciones estadísticas). El segundo teorema importante de no ir contra las teorías de AT es el teorema de Kochen y Specker (KS) que establece que, dada una premisa de no contextualidad (que se explicará en la actualidad), ciertos conjuntos de observables de MC no pueden asignarse valores consistentemente (incluso antes surge la cuestión de sus distribuciones estadísticas). El segundo teorema importante de no ir contra las teorías de AT es el teorema de Kochen y Specker (KS) que establece que, dada una premisa de no contextualidad (que se explicará en la actualidad), ciertos conjuntos de observables de MC no pueden asignarse valores consistentemente (incluso antes surge la cuestión de sus distribuciones estadísticas).

Antes de ver el funcionamiento del teorema de KS con cierto detalle, debemos aclarar por qué es importante para los filósofos de la ciencia. La premisa explícita de las interpretaciones de AT, tal como se entiende a continuación, tiene una definición de valor:

(VD) Todos los observables definidos para un sistema QM tienen valores definidos en todo momento.

(Tenga en cuenta que para la mecánica de Bohmian a menudo vista como una interpretación HV de QM, esta declaración tendría que ser calificada.) [1] VD está motivado por una suposición aparentemente inocuo sobre los resultados experimentales, que se refleja en la costumbre de referirse a experimentos cuánticos. como "medidas", a saber, que estos experimentos revelan valles que existen independientemente de ser medidos. (Tenga en cuenta que no necesitamos suponer aquí que los valores se revelan fielmente por medición, ¡sino solo que existen!) Esto sugiere una segunda suposición aparentemente inocua, la de la no contextualidad:

(NC) Si un sistema QM posee una propiedad (valor de un observable), entonces lo hace independientemente de cualquier contexto de medición, es decir, independientemente de cómo se mide ese valor.

Cuando se aplica a propiedades específicas que se pueden medir en diferentes mediciones incompatibles, NC dice que estas propiedades son las mismas en estas diferentes situaciones de medición.

Ahora, supongamos que adoptamos la asociación habitual de propiedades de un sistema cuántico, es decir, sí-no observables y operadores de proyección en el espacio Hilbert del sistema.

(O) Existe una correspondencia uno a uno entre las propiedades de un sistema cuántico y los operadores de proyección en el espacio Hilbert del sistema.

El teorema de KS establece una contradicción entre VD + NC + O y QM; por lo tanto, la aceptación de QM nos obliga lógicamente a renunciar a VD o NC u O.

Si una teoría HV que satisficiera estas condiciones fuera factible, tendríamos una explicación natural del carácter estadístico de QM y una forma elegante de resolver el infame problema de medición que atormenta a todos los intérpretes de QM (ver la entrada sobre mecánica cuántica y la sección sobre problema de medición en la entrada sobre cuestiones filosóficas en la teoría cuántica para detalles). Lo que muestra el teorema de KS es que una teoría HV del tipo más directo, que satisfaga estas condiciones, no es una opción. El programa HV solo tiene opciones que violan una o más de estas condiciones; ver entradas sobre la mecánica de Bohmian y las interpretaciones modales de la mecánica cuántica.

2. Antecedentes del teorema de KS

A continuación, presuponeremos cierta familiaridad con las nociones elementales de QM como 'estado', 'observable', 'valor' y sus representantes matemáticos 'vector', 'operador (autoadjunto)' y 'valor propio' [vea la entrada en mecánica cuántica para detalles]. Por lo general, identificaremos los observables y los operadores en un espacio de Hilbert apropiado que los represente; Si es necesario distinguir operadores y observables, escribimos los operadores subrayados y en negrita. (Por lo tanto, un operador A representa un A observable).

La presente sección establece algunos elementos del trasfondo histórico y sistemático del teorema de KS. Lo más importante es que se debe considerar un argumento de von Neumann (1932), un teorema de Gleason (1957) y una discusión crítica de ambos más un argumento posterior de Bell (1966). Von Neumann, en su famoso libro de 1932 Die Mathischen Grundlagen der Quantenmechanik, disputó la posibilidad de proporcionar a QM un soporte de AT. Dio un argumento que se reduce a lo siguiente: considere el hecho matemático de que, si A y B son operadores autoadjuntos, cualquier combinación lineal real de ellos (cualquier C = α A + β B, donde α, β son números reales arbitrarios) también es un operador autoadjunto. QM además dicta que:

  1. Si A y B (representados por operadores autoadjuntos A y B) son observables en un sistema, entonces hay un C observable (representado por el operador autoadjunto C definido como antes) en el mismo sistema.
  2. Si, para cualquier estado QM, los valores esperados de A y B están dados por <A> y <B>, entonces el valor esperado de C está dado por <C> = α <A> + β <B>.

Ahora considere A, B, C, como arriba, y suponga que tienen valores definidos v (A), v (B), v (C). Considere un 'estado oculto' V que determina v (A), v (B), v (C). Entonces podemos derivar de V 'valores de expectativa' triviales que son solo los valores poseídos: <A> V = v (A), y así sucesivamente. [2] Por supuesto, estos 'valores de expectativa' no son, en general, iguales a los QM: <A> V ≠ <A> (¡de hecho pensaríamos en el último como promedios sobre el primero para diferentes estados ocultos V!). Sin embargo, von Neumann requiere que la <A> V, como la <A>, se ajuste a (2). Esto implica automáticamente que los valores mismos deben ajustarse a una condición paralela a (2), es decir:

v (C) = α v (A) + β v (B)

Esto, sin embargo, es imposible, en general. Un ejemplo muestra muy fácilmente cómo se viola (3), pero debido a su simplicidad también muestra la insuficiencia del argumento. (¡Este ejemplo no se debe al propio von Neumann, sino a Bell! [3]) Sea A = σ x y B = σ y, entonces el operador C = (σ x + σ y) / √2 corresponde al observable del girar el componente a lo largo de la dirección que divide x e y. Ahora todos los componentes de giro tienen (en unidades adecuadas) valores posibles ± 1 solamente, por lo tanto, el proponente de HV se ve obligado a atribuir ± 1 a A, B, C como valores y, por lo tanto, como 'valores de expectativa'. Pero (3) ahora obviamente no se puede cumplir, ya que ± 1 ≠ (± 1 + ± 1) / √2.

El ejemplo ilustra por qué el argumento de von Neumann es insatisfactorio. Nadie discute el movimiento de (2) a (3) por observables compatibles, es decir, aquellos que, de acuerdo con QM, se pueden medir conjuntamente en un solo arreglo. Sin embargo, la elección anterior de A, B, C es tal que dos de ellos son incompatibles, es decir, no son observables conjuntamente. Para estos no queremos exigir ninguna interpretación de AT para cumplir con (3), sino solo (2). Los valores ocultos no necesitan ajustarse a (3) en general, solo los promedios de sus valores en una serie de pruebas deben cumplir con (2). La autoridad del argumento de von Neumann proviene del hecho de que los requisitos (1) y (2), para los estados de QM, son consecuencias del formalismo de QM, pero esto en sí mismo no justifica extender estos requisitos a los hipotéticos estados ocultos. De hecho, si (3) fuera irrestrictamente cierto,esto explicaría muy bien, en presencia de valores ocultos, por qué (2) es. Von Neumann aparentemente pensó que el defensor del HV está comprometido con esta explicación, pero esto parece una restricción inverosímil.

El teorema de KS soluciona este defecto y, por lo tanto, fortalece el caso contra las teorías del HV en la medida en que supone (3) solo para conjuntos de observables {A, B, C} que son mutuamente compatibles. El teorema requiere que solo para observables compatibles se debe cumplir el supuesto (3).

El teorema de Gleason proporciona una segunda línea de pensamiento independiente que conduce al teorema de KS (Gleason 1957). El teorema establece que en un espacio de dimensión de Hilbert mayor o igual a 3, las únicas medidas de probabilidad posibles son las medidas μ (P α) = Tr (P α W), donde P α es un operador de proyección, W es la estadística operador que caracteriza el estado real del sistema y Tr es la operación de rastreo. [4] El P αpuede entenderse como una representación de sí-no observables, es decir, preguntas sobre si un sistema QM 'vivo' en un espacio de Hilbert de este tipo tiene una propiedad α o no, y cada propiedad posible α está asociada únicamente con un vector | α> en el espacio - entonces, la tarea es asignar inequívocamente probabilidades a todos los vectores en el espacio. Ahora, la medida QM μ es continua, por lo que el teorema de Gleason en efecto demuestra que cada asignación de probabilidad a todas las propiedades posibles en un espacio tridimensional de Hilbert debe ser continua, es decir, debe mapear todos los vectores en el espacio continuamente en el intervalo [0, 1] Por otro lado, una teoría HV (si se caracteriza por VD + NC) implicaría que de cada propiedad podemos decir si el sistema la tiene o no. Esto produce una función de probabilidad trivial que mapea todos los P αya sea 1 o 0, y, siempre que ocurran ambos valores 1 y 0 (lo que resulta trivialmente de interpretar los números como probabilidades), esta función debe ser claramente discontinua (véase Redhead 1987: 28).

La prueba del teorema de Gleason es notoriamente compleja. Sin embargo, es notable que este corolario del teorema de Gleason se puede obtener más directamente a través de medios mucho más elementales que los empleados en la prueba de Gleason. Bell (1982: 994, 1987: 164) acredita a JM Jauch por llamar su atención (en 1963) sobre el teorema de Gleason y señalar que implica el fortalecimiento del resultado de von Neumann, con el requisito de aditividad solo para conmutar observables. Bell luego probó el resultado de una manera elemental, sin el uso de la prueba de Gleason (Bell 1966). Desconocido para Bell, Specker ya había llegado a este resultado, aludido (pero no presentado) en Specker (1960), como un argumento elementalgeometrisches. [5]El argumento fue presentado en Kochen y Specker (1967). La prueba de Bell y la prueba de Kochen-Specker utilizan construcciones similares en el espacio de 3 dimensiones de Hilbert, aunque difieren en sus detalles. Kochen y Specker continúan construyendo explícitamente un conjunto finito de proyecciones a las que no se les pueden asignar valores sujetos a la restricción que el requisito de aditividad (3) mantiene cuando A y B conmutan. Aunque Bell no lo hace, se puede obtener fácilmente de la construcción de Bell también un conjunto finito de observables a los que no se les pueden asignar valores sujetos a la restricción de aditividad para los observables de conmutación (ver Mermin 1993).

Después de haber ofrecido su variante del argumento contra las teorías del AT del teorema de Gleason, Bell procede a criticarlo. Su estrategia es paralela a la de von Neumann. Bell señala que su propio argumento de tipo Gleason contra la cercanía arbitraria de dos puntos con valores opuestos presupone relaciones no triviales entre los valores de los observables que no se conmutan, que solo se justifican dado un supuesto de no contextualidad (NC). Propone como análisis de lo que salió mal que su propio argumento "asumió tácitamente que la medición de un observable debe producir el mismo valor independientemente de las otras mediciones que se puedan hacer simultáneamente" (1966: 9). En oposición a von Neumann, el argumento de tipo Gleason deriva restricciones en las asignaciones de valores como (3) solo para conjuntos de observables compatibles;pero aún así uno y el mismo observable puede ser miembro de diferentes conjuntos de conmutación, y es esencial para los argumentos que el observable se le asigna el mismo valor en ambos conjuntos, es decir, que la asignación de valor no es sensible a un contexto.

3. Declaración y prueba del teorema de KS

3.1 Declaración del teorema de KS

Una declaración explícita del teorema de KS se ejecuta así:

Sea H un espacio de Hilbert de vectores de estado QM de dimensión x ≥ 3. Hay un conjunto M de observables en H, que contiene elementos y, de modo que los dos supuestos siguientes son contradictorios:

(KS1) Todos los miembros y de M tienen valores simultáneamente, es decir, se asignan inequívocamente a números reales (designados, para observables A, B, C, …, por v (A), v (B), v (C), …).

(KS2) Los valores de todos los observables en M se ajustan a las siguientes restricciones:

(a) Si A, B, C son compatibles y C = A + B, entonces v (C) = v (A) + v (B);

(b) si A, B, C son compatibles y C = A · B, entonces v (C) = v (A) · v (B).

La suposición KS1 del teorema obviamente es un equivalente de VD. Los supuestos KS2 (a) y (b) se denominan Regla de suma y Regla de producto, respectivamente, en la literatura. (El lector debe notar nuevamente que, en oposición a la premisa implícita de von Neumann, estas reglas relacionan no trivialmente solo los valores de observables compatibles). Ambas son consecuencias de un principio más profundo llamado principio de composición funcional (FUNC), que a su vez es una consecuencia de (entre otros supuestos) NC. La conexión entre NC, FUNC, Regla de suma y Regla de producto se hará explícita en la Sección 4.

El teorema de KS afirma la existencia de un conjunto M con cierta propiedad (es decir, que KS1 y KS2 son contradictorios) [6]y la prueba procede presentando explícitamente dicho conjunto, para diferentes opciones de x e y. En la prueba original de KS x = 3 e y = 117. Más recientemente, Peres (1991, 1995) ha proporcionado pruebas que implican menos observables para x = 3 e y = 33, Kernaghan (1994) para x = 4 e y = 20 y Cabello et al. (1996) para x = 4 e y = 18. La prueba KS es notoriamente compleja, y solo la bosquejaremos en la Sección 3.4. La prueba de Peres establece el resultado de KS con toda su fuerza, con gran simplicidad y, además, de una manera intuitivamente accesible, ya que opera en tres dimensiones; remitimos al lector a Peres (1995: 197–99). Las pruebas de Kernaghan y Cabello et al. cada uno establece una contradicción en cuatro dimensiones. Estos son resultados más débiles, por supuesto,que el teorema de KS (ya que cada contradicción en 3 dimensiones es también una contradicción en dimensiones superiores, pero no a la inversa). Sin embargo, estas otras pruebas son muy simples e instructivas. Además, se puede demostrar (Pavičić et al. 2005) que y = 18 es el número más bajo para el cual el teorema de KS es verdadero, por lo que comenzamos presentando la prueba de Cabello y sus compañeros de trabajo en la Sección 3.2. Finalmente, en la Sección 3.5, explicamos un argumento de Clifton (1993) donde x = 3 e y = 8 y un supuesto estadístico adicional produce un argumento KS fácil e instructivo.así que comenzamos presentando la prueba de Cabello y sus compañeros de trabajo en la Sección 3.2. Finalmente, en la Sección 3.5, explicamos un argumento de Clifton (1993) donde x = 3 e y = 8 y un supuesto estadístico adicional produce un argumento KS fácil e instructivo.así que comenzamos presentando la prueba de Cabello y sus compañeros de trabajo en la Sección 3.2. Finalmente, en la Sección 3.5, explicamos un argumento de Clifton (1993) donde x = 3 e y = 8 y un supuesto estadístico adicional produce un argumento KS fácil e instructivo.

3.2 Un argumento KS rápido en cuatro dimensiones (Cabello et al.)

Un argumento KS particularmente fácil procede en un espacio de Hilbert de cuatro dimensiones H 4. Utilizaremos lo siguiente, que se probará en la siguiente sección:

(1) De KS2 podemos derivar una restricción en las asignaciones de valores a los operadores de proyección, es decir, para cada conjunto de operadores de proyección P 1, P 2, P 3, P 4, correspondientes a los cuatro valores propios distintos q 1, q 2, q 3, q 4 de una Q observable en H4 se cumple lo siguiente:

(VC1 ') v (P 1) + v (P 2) + v (P 3) + v (P 4) = 1, donde v (P i) = 1 o 0, para i = 1, 2, 3, 4)

((VC1 ') es una variante de (VC1) que demostraremos explícitamente en la siguiente sección.) Esto significa que, de hecho, a cada conjunto de cuatro rayos ortogonales en H4 exactamente se le asigna el número 1, los otros 0.

(2) Aunque el espacio de Hilbert mencionado en el teorema, para ser adecuado para QM, debe ser complejo, es suficiente, para mostrar la inconsistencia de las reivindicaciones KS1 y KS2, para considerar un espacio de Hilbert real de la misma dimensión. Entonces, en lugar de H4, consideramos un espacio real de Hilbert R4 y traducimos VC1 'en el requisito: de cada conjunto de rayos ortogonales en R4, exactamente a uno se le asigna el número 1 y los otros 0. Como es habitual en la literatura, traducimos todos esto en el siguiente problema de coloración: de cada conjunto de rayos ortogonales en R4 exactamente uno debe ser de color blanco, los otros negros. Sin embargo, esto es imposible, como se muestra inmediatamente en la siguiente tabla (Cabello et al. 1996):

0,0, 0,1 0,0, 0,1 1, −1, 1, −1 1, −1, 1, −1 0,0, 1,0 1, −1, −1,1 1,1, −1,1 1,1, −1,1 1,1, 1, −1
0,0, 1,0 0,1, 0,0 1, −1, −1,1 1,1, 1,1, 0,1, 0,0 1,1, 1,1 1,1, 1, −1 −1,1, 1,1 −1,1, 1,1
1,1, 0,0 1,0, 1,0 1,1, 0,0 1,0, −1,0 1,0, 0,1 1,0, 0, −1 1, −1, 0,0 1,0, 1,0 1,0, 0,1
1, −1, 0,0 1,0, −1,0 0,0, 1,1 0,1, 0, −1 1,0, 0, −1 0,1, −1,0 0,0, 1,1 0,1, 0, −1 0,1, −1,0

Hay 4 x 9 = 36 entradas en esta tabla. Estas entradas se toman de un conjunto de 18 rayos y cada rayo aparece dos veces. Es fácil verificar que cada columna de la tabla represente un conjunto de cuatro rayos ortogonales. Como hay 9 columnas, debemos terminar con un número impar de entradas de la tabla de color blanco. Sin embargo, dado que cada rayo aparece dos veces cada vez que coloreamos uno de ellos en blanco, nos comprometemos a colorear un número par de las entradas en blanco. De ello se deduce que el número total de entradas de la tabla de color blanco debe ser par, no impar. Por lo tanto, una coloración de estos 18 rayos de acuerdo con VC1 'es imposible. (Tenga en cuenta para referencia futura que la primera parte del argumento, el argumento para 'impar', usa solo VC1 ', mientras que el segundo, el argumento para' par ', se basa esencialmente en NC,¡suponiendo que a las ocurrencias del mismo rayo en diferentes columnas se les asigna el mismo número!)

3.3 El argumento original de KS. Preliminares técnicos

La prueba original de KS opera en un espacio de Hilbert complejo tridimensional H 3. Requiere dos cosas: (1) conjuntos de triples de rayos que son ortogonales en H 3; (2) una restricción al efecto de que a cada triple rayo ortogonal se le asigna el número 1, los otros dos 0. Ambos se pueden lograr de la siguiente manera:

Consideramos un operador arbitrario Q en H 3 con tres valores propios distintos q 1, q 2, q 3, sus vectores propios | q 1 >, | q 2 >, | q 3 >, y operadores de proyección P 1, P 2, P 3 que se proyectan sobre los rayos que abarcan estos vectores. Ahora, P 1, P 2, P 3 son ellos mismos observables (es decir, P i es un 'sí-no observable' correspondiente a la pregunta '¿El sistema tiene el valor q i para Q?'). Además, P 1, P 2, P3 son compatibles entre sí, por lo que podemos aplicar la Regla de suma y la Regla de producto y, por lo tanto, derivar una restricción en la asignación de valores (Prueba):

(VC1) v (P 1) + v (P 2) + v (P 3) = 1, donde v (P i) = 1 o 0, para i = 1, 2, 3.

La elección arbitraria de un Q observable define nuevos observables P 1, P 2, P 3 que, a su vez, seleccionan rayos en H 3. Por lo tanto, imponer que los observables P 1, P 2, P 3 tienen valores significa asignar números a los rayos en H 3, y VC1, en particular, significa el de un triple arbitrario de rayos ortogonales, especificado por la elección de una Q arbitraria (brevemente: un triple ortogonal en H 3), se le asigna exactamente uno de sus rayos 1, los otros 0. Ahora, si introducimos diferentes observables incompatibles Q, Q ', Q ″, … estos observables seleccionan diferentes triples ortogonales en H 3. La suposición (1) del teorema de KS (que, efectivamente, es VD) ahora nos dice que cada uno de estos triples tiene tres valores, y VC1 nos dice que estos valores deben ser para cada triple, exactamente {1, 0, 0}. Lo que KS ahora muestra es que, para un conjunto finito específico de triples ortogonales en H 3, una asignación de números {1, 0, 0} a cada uno de ellos (coincidencia en rayos comunes) es imposible. Una reflexión adicional da como resultado que si bien H 3 es complejo, de hecho es suficiente para considerar un espacio de Hilbert tridimensional real R 3. Porque podemos mostrar que si una asignación de valores de acuerdo con VC1 es posible en H 3, entonces es posible en R 3. Contradictoriamente, si la asignación es imposible en R 3, entonces es imposible en H 3. Por lo tanto, podemos cumplir las condiciones necesarias para iniciar la prueba KS y al mismo tiempo reducir el problema a uno en R 3. Ahora, el equivalente en R 3 de un triple ortogonal arbitrario en H 3, es, nuevamente, un triple arbitrario de rayos ortogonales (brevemente: un triple ortogonal en R 3). Entonces, si KS quiere mostrar que, para un conjunto específico de n triples ortogonales en H 3 (donde n es un número natural), una asignación de números {1, 0, 0} a cada uno de ellos es imposible, es imposible suficiente para que lo demuestren, para un conjunto específico de n triples ortogonales en R 3, una asignación de números {1, 0, 0} a cada uno de ellos es imposible. Y esto es exactamente lo que hacen.

Cabe destacar que en este punto no existe una conexión directa entre R 3 y el espacio físico. KS desea mostrar que para un sistema QM arbitrario que requiere una representación en un espacio de Hilbert de al menos tres dimensiones, la atribución de valores junto con la condición (KS2) (Regla de suma y Regla de producto) es imposible, y para hacerlo es suficiente considerar el espacio R 3. Este espacio R 3, sin embargo, no representa el espacio físico para el sistema cuántico en cuestión. En particular, la ortogonalidad en R 3 no debe confundirse con la ortogonalidad en el espacio físico. Esto se vuelve obvio si pasamos a un ejemplo de un sistema QM sentado en el espacio físico y al mismo tiempo que requiere una representación QM en H 3, por ejemplo, el grado de libertad de rotación de un sistema de una partícula spin-1. Dada una dirección arbitraria α en el espacio físico y un operador S α que representa el observable de un componente de rotación en la dirección α, H 3 se extiende por los vectores propios de S α, a saber | S α = 1>, | S α = 0>, | S α = −1>, que son mutuamente ortogonales en H 3. El hecho de que estos tres vectores correspondientes a tres resultados posibles de medición en una dirección espacial sean mutuamente ortogonales ilustra los diferentes sentidos de ortogonalidad en H 3Y en el espacio físico. (La razón radica, por supuesto, en la estructura de QM, que representa diferentes valores de un observable por diferentes direcciones en H 3).

Los KS mismos, en abstracto, proceden exactamente de la misma manera, pero ilustran con un ejemplo que establece una conexión directa con el espacio físico. Es importante ver esta conexión, pero también tener claro que se produce por el ejemplo de KS y no es inherente a su resultado matemático. KS propone considerar un sistema spin-1 de una partícula y la medición de los componentes al cuadrado de las direcciones ortogonales de giro en el espacio físico S x 2, S y 2, S z 2, que son compatibles (mientras S x, S y, S z no lo son). [7]La medición de un componente cuadrado de giro determina solo su valor absoluto. Aquí, derivan una restricción ligeramente diferente en las asignaciones de valor, nuevamente utilizando la Regla de suma y la Regla de producto (Prueba):

(VC2) v (S x 2) + v (S y 2) + v (S z 2) = 2, donde v (S α 2) = 1 o 0, para α = x, y, z.

Ahora, dado que S x 2, S y 2, S z 2 son compatibles, hay un O observable tal que S x 2, S y 2, S z 2 son todas funciones de O. Entonces, la elección de un O arbitrario corrige S x 2, S y 2, S z 2 y, dado que este último puede asociarse directamente con rayos mutuamente ortogonales en H 3, nuevamente corrige la elección de un triple ortogonal en H 3. El problema resultante aquí es asignar números {1, 1, 0} a un triple ortogonal en H 3especificado por la elección de O o, más directamente, de S x 2, S y 2, S z 2. Esta es, por supuesto, la imagen especular de nuestro problema anterior de asignar números {1, 0, 0} a tal triple, y no necesitamos considerarlo por separado.

Sin embargo, la elección de un O específico que selecciona observables S x 2, S y 2, S z 2 al mismo tiempo selecciona tres rayos ortogonales en el espacio físico, es decir, mediante la fijación de un sistema de coordenadas ± x, ± y, ± z (que define a lo largo de qué rayos ortogonales se medirán los componentes del espín cuadrado en el espacio físico. Entonces, al elegir un O observable, hay una conexión directa de direcciones en el espacio con direcciones en H 3: la ortogonalidad en H 3 ahora corresponde a la ortogonalidad en el espacio físico. Lo mismo vale para R 3, si, para dar un argumento para H 3, consideramos R 3. Ortogonalidad en R3 ahora corresponde a la ortogonalidad en el espacio físico. Es importante notar que esta correspondencia no es necesaria para dar el argumento, incluso si insistimos en que los hechos matemáticos puros deben complementarse con una interpretación física, ya que, justo antes, hemos visto un ejemplo sin ninguna correspondencia. El punto es solo que podemos idear un ejemplo tal que haya una correspondencia. En particular, ahora podemos seguir la prueba en R 3 y todo el tiempo imaginar un sistema sentado en el espacio físico, es decir, una partícula spin-1, que devuelve tres valores al medir tres magnitudes físicas, asociadas directamente con direcciones ortogonales en el espacio físico, a saber v (S x 2), v (S y 2), v (S z 2), para elecciones arbitrarias de x, y, z. La prueba KS luego muestra que es imposible (dadas sus premisas, por supuesto) asignar a los valores de partículas de spin-1 para todas estas elecciones arbitrarias. Es decir, el argumento KS muestra que (dadas las premisas) una partícula spin 1 no puede poseer todas las propiedades a la vez que se muestra en diferentes arreglos de medición.

Deben mencionarse otras tres características que se han vuelto habituales en los argumentos de KS:

(1) Obviamente, podemos especificar inequívocamente cualquier rayo en R 3 a través del origen con solo dar un punto contenido en él. KS identifica así los rayos con puntos en la esfera de la unidad E. KS no necesita referirse a coordenadas concretas de un cierto punto, ya que su argumento es 'sin coordenadas'. Sin embargo, a modo de ilustración, a veces mencionaremos puntos concretos y luego (a) utilizaremos coordenadas cartesianas para verificar las relaciones de ortogonalidad y (b) especificaremos rayos por puntos que no se encuentran en E. (Por lo tanto, por ejemplo, el triple de puntos (0, 0, 1), (4, 1, 0), (1, –4, 0) se utiliza para especificar un triple de rayos ortogonales.) Ambos usos se ajustan a la literatura reciente (ver, por ejemplo, Peres (1991) y Clifton (1993)).

(2) Traducimos las restricciones (VC1) y (VC2) en las asignaciones de valor en restricciones para colorear los puntos. Podemos, operando bajo (VC1) colorear los puntos blancos (para “1”) y negro (para “0”), o, operando bajo (VC2) colorear los puntos blancos (para “0”) y negro (para “1 ). En cualquier caso, las restricciones se traducen en el mismo problema de coloración.

(3) KS ilustra las relaciones de ortogonalidad de los rayos mediante gráficos que se han denominado diagramas KS. En dicho diagrama, cada rayo (o punto que especifica un rayo) está representado por un vértice. Los vértices unidos por una línea recta representan rayos ortogonales. El problema de coloración se traduce en el problema de colorear los vértices del diagrama en blanco o negro, de modo que los vértices unidos no pueden ser blancos y los triángulos tienen exactamente un vértice blanco.

3.4 El argumento original de KS. Bosquejo de la Prueba

KS procede en dos pasos.

(1) En el primer paso (y decisivo) muestran que dos rayos con colores opuestos no pueden estar cerca arbitrariamente. Primero muestran que el diagrama Γ 1 representado en la figura 1 (donde por el momento ignoramos los colores especificados en la figura) se puede construir, solo si un 0 y un 9 están separados por un ángulo θ con 0 ≤ θ ≤ sen −1 (1/3) (Prueba).

Figura 1
Figura 1

Figura 1: Gráfico KS de diez puntos Γ 1 con coloración inconsistente.

Considere ahora (para una reducción ad absurdum) que un 0 y un 9 tienen colores diferentes. Arbitrariamente coloreamos un 0 blanco y un 9 negro. Las restricciones de coloración nos obligan a colorear el resto del diagrama como se hace en la figura 1, pero esto requiere que un 5 y un 6 sean ortogonales y ambos blancos, lo que está prohibido. Por lo tanto, dos puntos más cercanos que sen −1 (1/3) no pueden tener colores diferentes. Contradictoriamente, dos puntos de diferente color no pueden estar más cerca que sen −1 (1/3).

(2) KS ahora construye otro diagrama KS bastante complicado Γ 2 de la siguiente manera. Consideran una realización de Γ 1 para un ángulo θ = 18 ° <sin −1 (1/3). Ahora eligen tres puntos ortogonales p 0, q 0, r 0 y copias de espacio entrelazado de Γ 1 entre ellos de modo que cada instancia del punto a 9 de una copia de Γ 1 se identifica con la instancia de un 0 de la siguiente copia. De esta manera, cinco copias entrelazadas de Γ 1 están espaciadas entre p 0 y q 0 y las cinco instancias de un 8se identifican con r 0 (del mismo modo, cinco copias entrelazadas están espaciadas entre q 0 y r 0, identificando todas las copias de un 8 con p 0, y entre p 0 y r 0, identificando todas las copias de un 8 con q 0). Que Γ 2 es constructible se confirma directamente por la construcción misma. Espaciar cinco copias de Γ 1 con ángulos θ = 18 ° entre instancias de un 0 espaciará un ángulo de 5x18 ° = 90 °, que es exactamente lo que se requiere. Además, vagar de una copia de Γ 1 a la siguiente entre, digamos, p 0y q 0 es equivalente a una rotación de 18 ° de la copia alrededor del eje a través del origen y r 0, que evidentemente conserva la ortogonalidad entre los puntos a 0 y a 9 de la copia y r 0.

Figura 2
Figura 2

Figura 2: gráfico KS de 117 puntos Γ 2

(de Kochen y Specker 1967, 69; con permiso del Indiana University Mathematics Journal)

Sin embargo, aunque Γ 2 es constructible, no es sistemáticamente colorable. Desde el primer paso sabemos que una copia de Γ 1 con θ = 18 ° requiere que los puntos a 0 y a 9 tengan el mismo color. Ahora, dado que un 9 en una copia de Γ 1 es idéntico a un 0 en la siguiente copia, un 9 en la segunda copia debe tener el mismo color que un 0 en la primera. De hecho, al repetir este argumento, todas las instancias de un 0 deben tener el mismo color. Ahora, p 0, q 0, r 0 se identifican con los puntos a 0, por lo que deben ser todos blancos o negros, los cuales son inconsistentes con la restricción de color de que exactamente uno de ellos sea blanco.

Si de las 15 copias de Γ 1 utilizadas en el proceso de construcción de Γ 2 restamos los puntos que se identificaron entre sí, terminamos con 117 puntos diferentes. Entonces, lo que KS ha demostrado es que a un conjunto de 117 observables sí-no se les pueden asignar valores consistentemente de acuerdo con VC1 (o, equivalentemente, VC2).

Tenga en cuenta que en la construcción de Γ 1, es decir, el conjunto de 10 puntos que forman 22 triples entrelazados, todos los puntos, excepto un 9, aparecen en más de un triple. En Γ 2 cada punto aparece en una multiplicidad de triples. Es aquí donde la premisa de no contextualidad es crucial para el argumento: suponemos que un punto arbitrario mantiene su valor 1 o 0 a medida que nos movemos de un triple ortogonal al siguiente (es decir, de un conjunto máximo de observables compatibles a otro).

3.5 Un argumento estadístico de KS en tres dimensiones (Clifton)

Recuerde el primer paso de KS, que establece que dos puntos con color opuesto no pueden cerrarse arbitrariamente. Es este primer paso el que lleva toda la fuerza del argumento. Bell lo estableció de una manera diferente y luego argumentó que, en un contexto no conceptual, los puntos de interpretación del AT con color opuesto deben estar arbitrariamente cerca. Es este primer paso que Clifton explota en un argumento que combina las ideas de Bell y KS.

Fig. 3
Fig. 3

Figura 3: Gráfico KS-Clifton de 8 puntos Γ 3 con coloración inconsistente.

Considere el diagrama de KS Γ 3 que se muestra en la Figura 3, que obviamente forma parte de's 1 de KS, pero que tiene asignaciones concretas adicionales de ocho puntos que satisfacen las relaciones de ortogonalidad (y así demuestran directamente que Γ 3 es constructible). A partir de nuestras restricciones de coloración anteriores (los puntos unidos no son blancos y un triángulo tiene exactamente un punto blanco), vemos de inmediato que Γ 3 es coloreable solo si los puntos más externos no son blancos (lo que requeriría, como se muestra en la Fig. 3, que dos puntos unidos son blancos, contrario a las restricciones). Además, calculamos fácilmente el ángulo entre los dos puntos más externos para que sea cos −1 (1/3). [8]Entonces concluimos que si uno quiere colorear los ocho puntos y quiere colorear uno de los exteriores, entonces el otro debe ser negro. Teniendo en cuenta que podemos insertar un diagrama entre dos puntos en R 3 que están separados exactamente por el ángulo cos −1 (1/3) y traducir nuestro problema de nuevo a un problema de coloración en el ejemplo de KS (restricción VC2), terminamos con una restricción VC2 ':

(VC2 ') Si, para un sistema spin-1, a una determinada dirección x de spin en el espacio se le asigna el valor 0, entonces cualquier otra dirección x' que se aleje de x por un ángulo cos −1 (1/3) debe ser valor asignado 1, o, en símbolos: Si v (S x) = 0, entonces v (S x ') = 1.

El argumento hasta ahora ha utilizado las condiciones originales de KS KS1 y KS2. Ahora suponemos, además, que cualquier restricción en las asignaciones de valor aparecerá en las estadísticas de medición. En particular:

(3) Si prob [v (A) = a] = 1, y v (A) = a implica v (B) = b, entonces prob [v (B) = b] = 1.

A pesar del uso de estadísticas, este razonamiento difiere de manera crucial del argumento de von Neumann. Von Neumann había argumentado que las relaciones algebraicas entre valores deberían transferirse a las estadísticas de los valores medidos, por lo tanto, las restricciones de QM en estas estadísticas deberían tener restricciones de valor como sus imágenes especulares exactas, cuyo razonamiento nos lleva a derivar restricciones de valor de restricciones estadísticas (por arbitrario observables). Aquí, por el contrario, derivamos una restricción de valor independientemente de cualquier razonamiento estadístico, y luego concluimos que esta restricción debe transferirse a las estadísticas de medición. [9]

Ahora, VC2 'y la condición estadística (3) implican: Si prob [v (S x) = 0] = 1, entonces prob [v (S x') = 1] = 1. Sin embargo, esto contradice las estadísticas derivadas de QM para un estado donde prob [v (S x) = 0] = 1. [10] De hecho, hay una probabilidad de 1/17 de que v (S x ' = 0). Entonces, en una prueba a largo plazo, 1/17 de las partículas de spin-1 violarán la restricción.

Si aceptamos el razonamiento estadístico de Clifton, tenemos un argumento KS completamente válido que establece una contradicción entre una interpretación HV de QM y las mismas predicciones de QM. Clifton presenta también un conjunto un poco más complejo de 13 observables que producen, en la misma línea, una contradicción estadística de 1/3.

El argumento de Clifton usa 8 (o 13) observables, fija un valor de uno de ellos (S x) y deriva una predicción de HV en desacuerdo con una predicción de QM para un segundo (S x '). Por lo tanto, si se puede producir un estado donde el sistema QM definitivamente tiene un valor v (S x) = 0, las predicciones se pueden probar empíricamente. Pero arreglar ese estado experimentalmente no es una cuestión fácil. Entonces, el argumento de Clifton depende de un estado que puede ser difícil de producir o aislar. Recientemente, se ha encontrado una construcción de 13 observables que permite un argumento estadístico independiente del estado (Yu y Oh 2012).

4. El principio de composición funcional

Los ingredientes clave del teorema de KS son las restricciones en las asignaciones de valor enunciadas en (2): la Regla de la suma y la Regla del producto. Pueden derivarse de un principio más general, llamado Principio de Composición Funcional (FUNC). [11] El principio se basa en el hecho matemático de que para un operador autoadjunto A que opera en un espacio de Hilbert, y una función arbitraria f: RR (donde R es el conjunto de los números reales), podemos definir f (A) y demuestre que también es un operador autoadjunto (por lo tanto, escribimos f (A)). Si suponemos además que a cada operador autoadjunto corresponde un QM observable, entonces el principio puede formularse así:

FUNC: Sea A un operador autoadjunto asociado con A observable, sea f: RR una función arbitraria, de modo que f (A) sea otro operador autoadjunto, y sea | φ> un estado arbitrario; entonces f (A) se asocia únicamente con un f (A) observable tal que:

v (f (A)) | φ> = f (v (A)) | φ>

(Introducimos el superíndice de estado anterior para permitir una posible dependencia de los valores en el estado cuántico particular en el que se prepara el sistema). La Regla de suma y la Regla del producto son consecuencias directas de FUNC [Prueba]. FUNC en sí no se puede derivar del formalismo de QM, pero una versión estadística de este (llamada STAT FUNC) es [Prueba]:

STAT FUNC: Dado A, f, | φ> como se define en FUNC, entonces, para un número real arbitrario b:

prob [v (f (A)) | φ> = b] = prob [f (v (A)) | φ> = b]

Pero STAT FUNC no solo puede derivarse del formalismo QM; También se deduce de FUNC [Prueba]. Esto puede verse como un "argumento de plausibilidad para FUNC" (Redhead 1987: 132): STAT FUNC es cierto, como una cuestión matemática de QM. Ahora, si FUNC fuera verdadero, podríamos derivar STAT FUNC, y así entender parte de las matemáticas de QM como consecuencia de FUNC. [12]

Pero, ¿cómo podemos derivar FUNC en sí, si no es de STAT FUNC? Es una consecuencia directa de STAT FUNC y tres supuestos (dos de los cuales son familiares desde la introducción):

Value Realism (VR): si hay un número real α operacionalmente definido, asociado con un operador autoadjunto A y si, para un estado dado, el algoritmo estadístico de QM para A produce un número real β con β = prob (v (A) = α), entonces existe una A observable con valor α.

Valor definido (VD): todos los observables definidos para un sistema QM tienen valores definidos en todo momento.

Noncontextuality (NC): si un sistema QM posee una propiedad (valor de un observable), entonces lo hace independientemente de cualquier contexto de medición.

VR y NC requieren más explicaciones. Primero, necesitamos explicar el contenido de la realidad virtual. El algoritmo estadístico de QM nos dice cómo calcular una probabilidad a partir de un estado dado, un observable dado y su posible valor. Aquí lo entendemos como un simple dispositivo matemático sin ninguna interpretación física: dado un vector espacial de Hilbert, un operador y sus valores propios, el algoritmo nos dice cómo calcular nuevos números (que tienen las propiedades de las probabilidades). Además, por "operacionalmente definido" aquí simplemente queremos decir "compuesto de un número que sabemos que denota una propiedad real". Entonces, VR, en efecto, dice que, si tenemos una propiedad real Γ (valor Γ de un G observable), y podemos construir a partir de Γ un nuevo número α y encontrar un operador A tal que α sea un valor propio de UNA, entonces (hemos cumplido todo lo necesario para aplicar el algoritmo estadístico; por lo tanto) A representa una A observable y su valor α es una propiedad real.

En segundo lugar, una falla de NC podría entenderse de dos maneras. El valor de un observable puede depender del contexto, aunque el observable en sí mismo no lo es; o el valor de un observable puede depender del contexto, porque el observable en sí lo es. En cualquier caso, la independencia del contexto de un observable implica que existe una correspondencia de observables y operadores. Esta implicación de NC es lo que usaremos actualmente en la derivación de FUNC. Asumiremos que, si NC se cumple, esto significa que lo observable, y por lo tanto también su valor, es independiente del contexto de medición, es decir, es independiente de cómo se mide. En particular, la independencia del contexto de un observable implica que existe una correspondencia 1: 1 de observables y operadores. Esta implicación de NC es lo que usaremos actualmente en la derivación de FUNC. Por el contrario, la falla de NC se interpretará únicamente como una falla de la correspondencia 1: 1.

Desde VR, VD, NC y STAT FUNC, podemos derivar FUNC de la siguiente manera. Considere un estado arbitrario de un sistema y una Q observable arbitraria. Por VD, Q posee un valor v (Q) = a. Por lo tanto, podemos formar el número f (v (Q)) = b para una función arbitraria f. Para este número, por STAT FUNC, prob [f (v (Q)) = b] = prob [v (f (Q)) = b]. Por lo tanto, al transformar las probabilidades de acuerdo con STAT FUNC, hemos creado un nuevo operador autoadjunto f (Q), y lo hemos asociado con los dos números reales by prob [f (v (Q)) = b]. Por lo tanto, por VR, hay un observable correspondiente a f (Q) con valor b, por lo tanto, f (v (Q)) = v (f (Q)). Por NC, ese observable es único, por lo tanto, FUNC sigue.

5. Escapar del argumento KS

La sección anterior aclara qué posibilidades tiene el teórico de AT para escapar del argumento KS: negar una de las tres premisas que juntas implican FUNC (de ahí la Regla de la suma y la Regla del producto).

5.1 Sin definición de valor general

VD, recordamos, fue la presuposición fundamental de una interpretación HV completa. Entonces, si, para escapar de un argumento poderoso contra la posibilidad de interpretaciones de AT, estas interpretaciones abandonan su premisa fundamental, esto parece no tener mucho sentido. Pero algunos intérpretes señalan que, entre sostener que solo aquellos observables que QM prescribe tienen valores [13]y sosteniendo que todos ellos tienen valores, hay cierto margen de maniobra, a saber, proponer que un conjunto de observables, diferente al prescrito en QM (pero ninguno, en general, más que estos, ni, por supuesto, todos) valores. Esta opción se llama 'definición de valor parcial'. Una forma de hacer esto es elegir, de una vez por todas, un conjunto de observables a los que se les puedan asignar valores definidos sin entrar en conflicto con el Teorema de KS. El ejemplo más conocido de esto es la teoría de la onda piloto de De Broglie-Bohm, en la que la posición y las funciones de posición siempre tienen valores definidos. Otro enfoque es dejar que el conjunto de observables definidos varíe con el estado; Este es el enfoque adoptado por varias interpretaciones modales. Una variante de este enfoque es la de Bub (1997), en la que se elige alguna R observable para que sea siempre definida;El conjunto de observables definidos se expande al conjunto máximo que evita una obstrucción KS.

Las rocas y los bajíos de las interpretaciones modales están más allá del alcance de este artículo (ver la entrada sobre interpretaciones modales). Solo notamos que de ninguna manera está claro cómo estas interpretaciones pueden lograr elegir siempre el conjunto correcto de observables que se supone tienen valores. 'Establecer correctamente' aquí significa mínimamente que los observables que percibimos que tienen valores (es decir, los correspondientes a la posición del puntero del aparato de medición) siempre deben incluirse y siempre deben reproducir las estadísticas QM. También mencionamos dos resultados importantes que ponen en duda la viabilidad de las interpretaciones modales: en primer lugar, se puede demostrar que la definición del valor parcial colapsa en la definición del valor total (es decir, VD) o el razonamiento clásico sobre las propiedades físicas debe abandonarse (Clifton 1995). Segundo,es posible derivar teoremas de KS incluso en ciertas interpretaciones modales (Bacciagaluppi 1995, Clifton 1996).

Recientemente se ha argumentado que la negación de VD es inconsistente con la propia QM (Held 2008, 2012a, 2012b). El argumento intenta mostrar que VD es una consecuencia de la teoría misma (QM → VD). Si este es realmente el caso que tenemos, recordando que KS establece que QM & VD & NC implica una contradicción, un argumento para afirmar que QM solo implica contextualidad. Dado que, en ese caso, QM también implica VD obtenemos, en general, un argumento para afirmar que QM debe interpretarse en términos de variables contextuales ocultas.

5.2 Negación del valor del realismo

La derivación de FUNC consiste esencialmente en la construcción de un observable (es decir, f (Q)) a través de un operador (es decir, f (Q)) a partir de la distribución de probabilidad de una variable (es decir, f (v (Q)) cuyo número a su vez se construye a partir de otra variable (es decir, v (Q)). Ahora, en lugar de negar que v (Q) existe en todos los casos (como lo tendría la primera opción (5.1)), podemos rechazar que exista un número α y la construcción de f (Q) conducen automáticamente a un observable, es decir, rechazamos la realidad virtual, lo que equivale a rechazar que para cada operador autoadjunto, haya un observable bien definido.

Ahora, para formular VR, tuvimos que dar una lectura reducida al algoritmo estadístico, es decir, que es un mero dispositivo matemático para calcular números a partir de vectores, operadores y números. Esta lectura es muy artificial y presupone que un aparato interpretativo mínimo requerido para dar sentido físico a algunos operadores (como Q) puede ser retenido para otros (como f (Q)).

Además, parece completamente inverosímil suponer que algunos operadores, sumas y productos de operadores que están asociados con observables bien definidos, no están asociados con observables bien definidos, incluso si matemáticamente heredan valores exactos de sus sumandos o factores. En un ejemplo crudo, esto equivaldría a decir que pedir la energía de un sistema es una pregunta bien definida, mientras que pedir el cuadrado de la energía del sistema no lo es, incluso si, desde nuestra respuesta a la primera pregunta y trivial matemáticas, tenemos una respuesta bien definida a la mano. Parece que no hay una buena razón a priori para justificar esta restricción. Por lo tanto, para hacer que el rechazo de la VR sea plausible, se hace una propuesta adicional: es crucial para el argumento de KS que el mismo operador se construya a partir de diferentes máximos que son incompatibles: f (Q) es idéntico a g (P), donde PQ - QP ≠ 0. Ahora suponemos que solo la construcción de f (Q) a través de Q, pero no la de P, conduce a un observable bien definido en un cierto contexto [14]

Sin embargo, este movimiento hace que algunos observables sean sensibles al contexto automáticamente. Entonces, esta forma de motivar la negación de la realidad virtual equivale a un tipo de contextualismo, que podríamos encontrar más barato, rechazando directamente NC y sin alterar el algoritmo estadístico. (Este hecho explica por qué no mencionamos la negación de la realidad virtual como una opción separada en la introducción).

5.3 Contextualidad

Finalmente, podríamos aceptar VD y VR, pero negar que nuestra construcción de una f (Q) observable sea inequívoca. Por lo tanto, aunque f (Q) y g (P)son matemáticamente idénticos, podríamos suponer que corresponden a diferentes observables, argumentando que una determinación real de v (f (Q)) debe proceder a través de la medición de Q, pero la determinación de v (g (P)) implica medir P que es incompatible con Q. Dado que v (f (Q)) yv (g (P)) son, por lo tanto, resultados de diferentes situaciones de medición, no hay razón para suponer que v (f (Q)) = v (g (P)). Esta forma de bloquear la prueba de KS llega a comprender f (Q) yg (P) como diferentes observables (debido a la sensibilidad al contexto), por lo que equivale a rechazar NC. Existen principalmente dos formas, en la literatura, de motivar aún más este paso. En consecuencia, hay dos marcas importantes de contextualidad que se deben discutir: la contextualidad causal y la ontológica.

El argumento KS se ha presentado para valores poseídos de un sistema QM, independientemente de las consideraciones sobre la medición. De hecho, en el argumento, la medición se mencionó solo una vez y en forma negativa, en NC. Sin embargo, dado que ahora consideramos el rechazo de NC, también debemos tener en cuenta la medición y sus complicaciones. Para ese propósito, es bueno explicar otro principio que manifiesta nuestro realismo inocuo (ver la introducción anterior), es decir, un principio de medición fiel:

Medición fiel (FM): la medición QM de un observable entrega fielmente el valor que ese observable tenía inmediatamente antes de la interacción de medición.

FM es también un presupuesto extremadamente plausible de las ciencias naturales, en general. (Tenga en cuenta que FM implica VD, por lo tanto, podríamos haber dado un argumento KS para posibles resultados de medición, utilizando FM) Considere ahora la motivación, para el proponente de AT, de rechazar NC. Obviamente, el objetivo es salvar otras presuposiciones, especialmente VD. Ahora, VD y NC son convicciones realistas independientes, pero NC y FM no son tan independientes. De hecho, veremos que el rechazo de NC implica el rechazo de FM en una versión de la contextualidad, y lo sugiere fuertemente en la otra. (Esto hace más preciso el comentario algo críptico de la introducción de que no es obvio cómo debería ser una interpretación que respalde el principio realista VD, sino que rechaza el principio realista NC. Dicha interpretación tendría que violar un tercer principio realista, es decir FM.)

Contextualidad causal

Una propiedad (valor de un observable) puede ser causalmente dependiente del contexto en el sentido de que es causalmente sensible a cómo se mide. La idea básica es que el valor observado se produce como el efecto de la interacción sistema-aparato. Por lo tanto, medir un sistema a través de la interacción con un aparato de medición de P podría generar un valor v (g (P)), midiendo el mismo sistema a través de la interacción con un aparato de medición de Q un valor diferente v (f (Q)), aunque ambos los observables están representados por el mismo operador f (Q) = g (P). La diferencia en los valores se explica en términos de una dependencia del contexto de los observables: estos últimos dependen del contexto, ya que las diferentes formas de realizarlos físicamente influyen causalmente en el sistema de diferentes maneras y, por lo tanto, cambian los valores observados.

Si un intérprete quisiera defender la contextualidad causal, esto implicaría abandonar FM, al menos para observables del tipo f (Q) (observables no máximos): dado que sus valores dependen causalmente de la presencia de ciertos arreglos de medición, estos arreglos son causalmente necesario para que los valores se produzcan, por lo tanto, los valores no pueden estar presentes antes de la interacción sistema-aparato, y se viola FM. Como ventaja del contextualismo causal, se puede señalar lo siguiente. No implica que el estado ontológico de las propiedades físicas involucradas deba cambiar, es decir, no implica que se vuelvan relacionales. Si la propiedad en un objeto se produce a través de la interacción con otro, aún puede ser una que el objeto tiene para sí después de la interacción. Sin embargo,La idea de la contextualidad causal a veces se discute críticamente, ya que hay razones para pensar que puede ser empíricamente inadecuada (ver Shimony 1984, Stairs 1992).

Contextualidad ontológica

Una propiedad (valor de un observable) puede depender ontológicamente del contexto en el sentido de que para que esté bien definida es necesaria la especificación del observable del que proviene. Por lo tanto, para construir un observable bien definido a partir del operador f (Q) = g (P), necesitamos saber si se realiza físicamente a través de P observable o Q observable. Van Fraassen (1973) señaló por primera vez (pero no defendió) esta salida del problema de KS. Hay, entonces, tantos observables y tipos de propiedades físicas para un operador f (Q) como formas de construir f (Q)de operadores máximos. Sin más explicaciones, sin embargo, esta idea solo equivale a una proliferación ad hoc de magnitudes físicas. Un defensor de la contextualidad ontológica ciertamente nos debe una historia más explícita sobre la dependencia de la observable f (Q) de la Q observable. Se me ocurren dos posibilidades:

(a) Podríamos pensar que v (f (Q)) simplemente no es una propiedad física autosostenida, sino que depende ontológicamente de la presencia de otra propiedad v (Q). (Recuerde que en la prueba de FUNC v (f (Q)) se construye a partir de v (Q).) Pero, dado que la posición no rechaza las preguntas sobre los valores de f (Q) en una situación de medición P como ilegítima (porque ¡no opera con la noción de que un observable esté bien definido en un solo contexto!), esto parece conducir a preguntas nuevas y apremiantes, por decir lo menos. Como un intento de defender una interpretación contextualista de variables ocultas, esta posición debe admitir que el sistema no solo tiene, en la situación de medición Q, un valor v (Q), sino que también, en una situación de medición P, tiene un valor v '(Q), aunque quizás v' (Q) ≠ v (Q). Ahora,Las preguntas para los valores de f (Q) en esta situación al menos son legítimas. ¿V '(Q) implica otra v' (f (Q)) ≠ v (f (Q))? ¿O v '(Q), en oposición a v (Q), no conduce a un valor de f (Q), en absoluto? Ninguna de las opciones parece plausible, ya que no podríamos, simplemente cambiando para un determinado sistema preparado entre una situación de medición P y Q, cambiar v (f (Q)) dentro y fuera de la existencia o cambiar entre v (f (Q)) y v '(f (Q))? (b) Podríamos pensar que, para que f (Q) esté bien definido, es necesaria una disposición de medición en lugar de la otra. La idea recuerda mucho el argumento de Bohr de 1935 contra EPR, y de hecho puede verse como la extensión apropiada de los puntos de vista de Bohr sobre QM a la discusión moderna de HV (ver Held 1998, cap. 7). En esta versión del contextualismo ontológico, la propiedad v (f (Q)), en lugar de depender de la presencia de otra propiedad v (Q), depende de la presencia de un aparato de medición Q. Esto equivale a una posición holística: para algunas propiedades solo tiene sentido hablar de ellas como pertenecientes al sistema, si ese sistema es parte de un determinado conjunto de sistema y aparato. Aquí, la pregunta para los valores de f (Q) en una situación de medición de P se vuelve ilegítima, ya que la definición de f (Q) está ligada a una situación de medición de Q. Pero de nuevo se requiere una mayor aclaración. ¿La posición sostiene que, en oposición a f (Q), Q está bien definida en una situación de medición de P? Si no es así, Q difícilmente puede tener un valor (ya que no estar bien definido fue la razón para negar f (Q) un valor),lo que significa que ya no estamos considerando una interpretación HV del tipo dado, y que no hay necesidad de bloquear el argumento KS en absoluto. Si es así, ¿qué explica que, en la situación de medición de P, Q permanezca bien definido, pero f (Q) pierde este estado?

¿Qué pasa con FM en ambas versiones del contextualismo ontológico? Bueno, si permanecemos agnósticos sobre cómo la posición podría hacerse plausible, podemos guardar FM, mientras que, si elegimos la versión (a) o (b) para hacerla plausible, la perdemos. Considere primero una negación agnóstica de NC. FM dice que cada QM observable se mide fielmente. Ahora, el contextualismo divide un operador que puede construirse a partir de dos operadores diferentes que no se desplazan en dos observables, y el contextualismo ontológico no trata de darnos una historia causal que arruine la independencia causal del valor medido de la interacción de medición incorporada en FM. Simplemente presentamos una concepción más detallada de los observables, pero aún podemos imponer FM para estos nuevos observables contextuales.

Sin embargo, las versiones concretas del contextualismo ontológico, al intentar motivar la característica contextual, arruinan la FM. La versión (a) permite que f (Q) se active y desactive o que cambie entre diferentes valores al cambiar entre las situaciones de medición P y Q, lo cual es una violación flagrante de FM. La versión (b) no tiene mejores tarifas. Introduce la dependencia ontológica de la disposición de medición. Es difícil ver qué más debería ser esto, pero la misma dependencia causal empujó a una clave 'ontológica' más alta. De nuevo, ¿no podríamos, simplemente volteando hacia adelante y hacia atrás la disposición de medición, cambiar de un lado a otro si f (Q) está bien definido, y así voltear v (f (Q)) dentro y fuera de la existencia?

Finalmente, observamos que ambos tipos de contextualismo ontológico, en oposición a la versión causal, implican que las propiedades del sistema que antes creíamos intrínsecas se vuelven relacionales en el sentido de que un sistema solo puede tener estas propiedades si tiene ciertas otras, o si está relacionado con un determinado acuerdo de medición.

6. La cuestión de las pruebas empíricas

Famosamente, la violación de las desigualdades de Bell, prescrita por QM, se ha confirmado experimentalmente. ¿Es posible algo similar para el teorema de KS? Deberíamos distinguir tres preguntas: (1) ¿Es posible realizar el experimento propuesto por KS como motivación de su teorema? (2) ¿Es posible probar los principios que conducen al teorema: la regla de suma y la regla de producto, FUNC o NC? (3) ¿Es posible probar el teorema mismo?

(1) KS mismos describen una disposición experimental concreta para medir S x 2, S y 2, S z 2 en un sistema spin-1 de una partícula como funciones de un máximo observable. Un átomo de ortohelio en el estado triplete más bajo se coloca en un pequeño campo eléctrico E de simetría rómbica. Los tres observables en cuestión pueden medirse como funciones de un solo observable, la perturbación Hamiltoniana H s. H s, por la geometría de E, tiene tres valores posibles distintos, cuya medición revela cuáles dos de S x 2, S y 2, S z 2tienen valor 1 y cuál tiene valor 0 (ver Kochen y Specker 1967: 72/311). Esta es, por supuesto, una propuesta para realizar un experimento que ejemplifique nuestra restricción de valor anterior (VC2). ¿Podríamos también realizar un experimento (VC1), es decir, medir un conjunto de proyectores de conmutación que se proyectan en estados propios de un máximo observable? Peres (1995: 200) responde afirmativamente a la pregunta, discute dicho experimento y se refiere a Swift y Wright (1980) para obtener detalles sobre la viabilidad técnica. La propuesta experimental de Kochen y Specker, sin embargo, no se ha seguido adelante, porque no proporciona una prueba directa de NC. Obviamente, una medida de H S mide solo un triple ortogonal. Un proponente de HV bien podría suponer que el estado oculto cambia a partir de una medida de H S al siguiente (incluso si preparamos el mismo estado QM nuevamente) y así mantenemos NC.

(2) Junto con las manifestaciones de FUNC, es decir, la Regla de la suma y la Regla del producto, QM genera restricciones como VC1 o VC2 que contradicen VD. Por lo tanto, proporcionar ejemplos físicos concretos que podrían, dada la Regla de suma y la Regla de producto, instanciar VC1 o VC2 como se acaba de describir no es suficiente. Debemos preguntarnos si estas reglas pueden ser empíricamente compatibles. Hubo una discusión considerable sobre esta cuestión a principios de los años 80, explícitamente sobre si la Regla de la suma es empíricamente comprobable, y hubo un acuerdo general de que no lo es. [15]

La razón es la siguiente. Recuerde que la derivación de FUNC estableció la unicidad del nuevo f (Q) observable solo en su paso final (a través de NC). Es esta singularidad la que garantiza que un operador representa exactamente un observable para que puedan observarse los observables (y, por lo tanto, sus valores) en diferentes contextos. Esto permite establecer conexiones indirectas entre diferentes observables incompatibles. Sin este paso final, FUNC debe verse como una retención relativa a diferentes contextos, la conexión se interrumpe y FUNC está restringido a un conjunto de observables que son mutuamente compatibles. Entonces, de hecho, FUNC, la Regla de la suma y la Regla del producto se vuelven triviales, y las pruebas empíricas en estos casos serían una pregunta sin sentido. [dieciséis]Es NC el que hace todo el trabajo y merece ser probado mediante la verificación de si P es incompatible, Q tal que f (Q) = g (P) es cierto que v (f (Q)) = v (g (P)) Sin embargo, aunque QM y una teoría de HV no contextual se contradicen entre sí para un solo sistema, esta contradicción implica observables incompatibles y, por lo tanto, no es comprobable (como acabamos de ver de la propia propuesta de Kochen y Specker). Sin embargo, los físicos han hecho propuestas ingeniosas para superar este obstáculo. Es bien sabido que la consideración de sistemas de dos partículas y productos de componentes de espín conduce a pruebas de tipo KS muy simples (Mermin 1990b). Cabello y García-Alcaine (1998) han demostrado que para tales sistemas, QM y una teoría de HV no contextual hacen predicciones diferentes para cada caso. Su razonamiento no hace referencia a consideraciones de localidad,pero como requiere dos partículas, tales consideraciones podrían aparecer. Simon et al. (2000), han mapeado el esquema Cabello / García-Alcaína en una combinación de observables de posición y giro para una sola partícula. Su experimento se ha llevado a cabo y ha confirmado las predicciones de QM (Huang et al. 2003; ver también más recientemente Huang et al. 2013). Todos los autores mencionados consideran que sus propuestas experimentales son refutaciones empíricas de NC, pero esto se ha puesto en duda (Barrett y Kent 2004), por razones consideradas en el siguiente párrafo.ver también más recientemente Huang et al. 2013). Todos los autores mencionados consideran que sus propuestas experimentales son refutaciones empíricas de NC, pero esto se ha puesto en duda (Barrett y Kent 2004), por razones consideradas en el siguiente párrafo.ver también más recientemente Huang et al. 2013). Todos los autores mencionados consideran que sus propuestas experimentales son refutaciones empíricas de NC, pero esto se ha puesto en duda (Barrett y Kent 2004), por razones consideradas en el siguiente párrafo.

(3) El teorema de KS, por su naturaleza matemática, no es empíricamente comprobable. Sin embargo, podríamos, en la línea de los párrafos anteriores, tratar de medir un subconjunto de un conjunto incoloro KS adecuado. Especialmente, debería ser posible producir casos en la línea del ejemplo de Clifton (3.5) donde QM y una teoría no contextual HV hacen predicciones mediblemente diferentes. Parece que tales casos podrían proporcionar pruebas empíricas de si la Naturaleza es contextual (aunque no si dicha contextualidad es del tipo causal u ontológico). (Para una versión reciente de este enfoque, ver Tang y Yu 2017)., se ha argumentado que tales pruebas son imposibles. Se alegó que el teorema de KS deja suficientes lagunas para una teoría de AT en desacuerdo con QM, pero capaz de reproducir las predicciones empíricas de la teoría. Pitowsky (1983,1985) argumentó que es posible restringir la atención a un subconjunto de direcciones en R3 que son colorables. Sin embargo, su argumento se basa en una versión no estándar de la teoría de la probabilidad que se considera físicamente inverosímil. Meyer (1999) ha explotado el hecho matemático de que un conjunto D M de direcciones en R 3 que se aproxima al conjunto KS de manera arbitraria, pero con coordenadas racionales es KS-colourable. Meyer sostiene que las mediciones reales tienen precisión finita y por lo tanto nunca puede distinguir entre una dirección en la R 3 y su aproximación a partir de D M. Kent (1999) ha generalizado el resultado para todos los espacios de Hilbert, y Clifton y Kent (2000) han demostrado que también un conjunto de direcciones D CKde modo que cada dirección sea miembro de un solo triple ortogonal que se aproxima a cualquier dirección de manera arbitraria. En D CK no hay triples entrelazados, la cuestión de la contextualidad no surge y D CK trivialmente es KS colorable. Clifton y Kent, además, han demostrado explícitamente que D CKes lo suficientemente grande como para permitir distribuciones de probabilidad sobre asignaciones de valor arbitrariamente cercanas a todas las distribuciones de QM. Se puede entender que Meyer, Kent y Clifton (MKC) argumentan que incluso una prueba empírica de direcciones incoloras de KS que confirman las predicciones de QM no puede probar la contextualidad de la naturaleza. Debido a la precisión finita de la prueba, es imposible refutar la afirmación de que inconscientemente hemos probado miembros cercanos de un conjunto de colores KS. Una objeción bastante obvia a este tipo de argumento es que el argumento KS original funciona para valores poseídos, no valores medidos, por lo que el argumento MKC, que trata sobre la precisión finita de la medición, pierde la marca. Es posible que no podamos probar observables que sean exactamente ortogonales o exactamente iguales en diferentes pruebas,pero sería una interpretación HV extraña que afirme que dichos componentes no existen (ver Cabello 1999 en Otros recursos de Internet). Por supuesto, una propuesta de HV no tan contextual sería inmune al argumento KS, pero se vería obligado a asumir que no por cada una de las muchas direcciones continuas en el espacio físico hay una observable, o que no hay muchas direcciones en el espacio físico. Ninguno de los supuestos parece muy atractivo. Ninguno de los supuestos parece muy atractivo. Ninguno de los supuestos parece muy atractivo.

Además, el argumento MKC es insatisfactorio incluso para los valores medidos, ya que explota la precisión finita de las mediciones reales solo en uno de los sentidos anteriores, pero presupone una precisión infinita en el otro. MKC supone, para los observables medidos, que existe una precisión finita en la elección de diferentes triples ortogonales, de modo que, en general, no podemos tener exactamente el mismo observable dos veces, como miembro de dos triples diferentes. Sin embargo, MKC aún asume una precisión infinita, es decir, la ortogonalidad exacta, dentro del triple (de lo contrario, las restricciones de coloración no podrían encontrar ninguna aplicación). Se ha afirmado que esta característica puede explotarse para rebatir el argumento y reinstalar el contextualismo (ver Mermin 1999 y Appleby 2000, ambos en Otros recursos de Internet y Appleby 2005).

Finalmente, parece plausible suponer que las probabilidades varían continuamente a medida que cambiamos las direcciones en R 3, por lo que las pequeñas imperfecciones de la selección de observables que bloquean el argumento (¡pero solo para los valores medidos!) En un solo caso desaparecerán a largo plazo (ver Mermin 1999, en Otros recursos de Internet). Esto en sí mismo no constituye un argumento, ya que en los conjuntos de observables coloreables en las construcciones de MKC, las probabilidades también varían (en cierto sentido) continuamente. [17] Sin embargo, podríamos explotar el razonamiento de Mermin de la siguiente manera. Reconsidere el conjunto de ocho direcciones de Clifton (en la Figura 3) que conduce a una restricción de color para los puntos más externos que estadísticamente contradice las estadísticas de QM en una fracción de 1/17. Usando el conjunto de direcciones coloreables de Clifton y Kent DCK no podemos derivar la restricción para los ocho puntos, ya que estos ocho puntos no se encuentran en D CK; es decir, a medida que avanzamos, en el subconjunto colorable, de un triple de rayos mutuamente ortogonales al siguiente, nunca volvemos a encontrar exactamente el mismo rayo, sino solo a uno que se aproxima de manera arbitraria. Suponga un conjunto S de sistemas en el que los observables, correspondientes a miembros de D CKy aproximando las ocho direcciones en la Fig. 3 de manera arbitraria, todos tienen valores, de acuerdo con la premisa de HV. Entonces podemos derivar la restricción de Clifton para los puntos más externos en el siguiente sentido. Considere el subconjunto S '⊂ S de sistemas donde cualquier punto de aproximación de dirección (1, 1, 1) obtiene el valor 1 (o color blanco). Para cumplir con las predicciones de QM, en S 'todas las direcciones que se aproximan (1, 0, −1) y (1, −1, 0) deben recibir valores tales que la probabilidad del valor 0 (o color negro) sea extremadamente cercana a 1. De forma análoga, en otro subconjunto S ″ ⊂ S de sistemas con direcciones que se aproximan (−1, 1, 1) como que tienen el valor 1 (color blanco) todas las direcciones que se aproximan (1, 0, 1) y (1, 1, 0) debe recibir valores tales que la probabilidad del valor 0 (color negro) sea extremadamente cercana a 1. Considere ahora los miembros de S '∩ S ″. En cualquiera de ellos habrá, para cualquier aproximación a (1, 0, −1) con valor 0 (color negro), un punto exactamente ortogonal que se aproxima (1, 0, 1) y también tiene valor 0 (color negro) tal que hay un tercer punto ortogonal que se aproxima (0, 1, 0) y tiene un valor 1 (color blanco). Del mismo modo para (0, 0, 1). Pero (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son ortogonales, y para todos los miembros de S '∩ S ″ las direcciones que se aproximan tienen valor 1 (color blanco), mientras que QM predice que la probabilidad de valores 1 para los valores aproximados de las direcciones es 0. Para garantizar que se cumpla esta predicción, S '∩ S ″ debe ser un subconjunto extremadamente pequeño de S, lo que significa que la probabilidad para ambos (1, 1, 1) y (−1, 1, 1) (los puntos más a la izquierda y a la derecha en la figura 3) deben estar cerca de 0 y aproximarse a 0 mejor y mejor a medida que S crece. QM,por el contrario, predice una probabilidad de 1/17. (¡Recuerde también que este número se puede subir hasta 1/3 eligiendo un conjunto de 13 direcciones!)

Cabello (2002), utilizando un razonamiento muy similar, ha demostrado que los modelos MKC conducen a predicciones que difieren notablemente de las de QM. Para D CK, utiliza efectivamente la estrategia esbozada anteriormente: QM da probabilidades para las direcciones en el conjunto de Clifton-Kent con las que su modelo debe coincidir para reproducir las predicciones de QM. Como estas direcciones son arbitrariamente cercanas a las direcciones de un conjunto incoloro KS (o direcciones que conducen a la restricción de Clifton), esto lleva a restricciones para estos puntos cercanos que son violadas de manera medible por las predicciones de QM. Para Meyer's D MEl caso de Cabello es aún más fuerte. Él explícitamente presenta un conjunto de nueve vectores racionales que conducen a predicciones diferentes de QM (para tres de estas direcciones). Por lo tanto, el argumento de Meyer se refuta efectivamente (sin recurrir al requisito de Mermin): incluso si solo hubiera observables correspondientes a las direcciones racionales en R 3 (que en sí mismo es una suposición inverosímil), una teoría que asume que todos tienen valores no contextuales revelados fielmente por medición será medible en desacuerdo con QM. Supongamos ahora que las direcciones de Cabello fueron probadas y las predicciones de QM confirmadas de manera confiable, entonces esto (módulo la confiabilidad de las pruebas) constituiría una prueba de que la Naturaleza es contextual.

Entonces, en resumen, parece que, siempre y cuando supongamos que hay continuamente muchos observables de QM (correspondientes al continuo de direcciones en el espacio físico), se construyen pruebas estadísticas, por ejemplo, en el Clifton 1993 o el Cabello / Garcìa-Alcaine 1998 La propuesta sigue siendo totalmente válida como confirmaciones empíricas de QM y, a través del teorema de KS, de la contextualidad. Dado que estas violaciones estadísticas del programa HV surgen como contradicciones de los resultados de QM, VD, VR y NC por un lado, y QM y experimento por el otro, los datos experimentales aún nos imponen el trilema de renunciar a cualquiera de los VD o VR o NC. Como hemos visto, la negación del realismo de valor al final se vuelve idéntica a un tipo de contextualismo, por lo tanto, realmente solo tenemos dos opciones: (1) Renunciar a VD,ya sea para todos los observables que se prohíbe tener valores en la interpretación ortodoxa (abandonando así el programa HV, como se definió anteriormente), o para un subconjunto de estos observables (como lo hacen las interpretaciones modales). (2) Respaldar un tipo de contextualismo. Además, tal como están las cosas actualmente, la elección entre estas dos opciones no parece ser una cuestión de prueba empírica, sino de puro argumento filosófico.

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Otros recursos de internet

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