La Controversia De Frege-Hilbert

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La controversia de Frege-Hilbert

Publicado por primera vez el domingo 23 de septiembre de 2007; revisión sustantiva jue 9 de agosto de 2018

En los primeros años del siglo XX, Gottlob Frege y David Hilbert, dos titanes de la lógica matemática, se enfrentaron en una controversia sobre la comprensión correcta del papel de los axiomas en las teorías matemáticas, y la forma correcta de demostrar resultados consistentes e independientes para tales resultados. axiomas La controversia toca una serie de preguntas difíciles en lógica y filosofía de la lógica, y marca un importante punto de inflexión en el desarrollo de la lógica moderna. Esta entrada ofrece una visión general de esa controversia y de sus fundamentos filosóficos.

  • 1. Introducción
  • 2. Fundamentos de geometría de Hilbert
  • 3. Antecedentes de frege y diferencias iniciales
  • 4. El desacuerdo más profundo
  • 5. Problemas persistentes
  • 6. Conclusión
  • Bibliografía

    • Fuentes primarias
    • Fuentes secundarias
  • Herramientas académicas
  • Otros recursos de internet
  • Entradas relacionadas

1. Introducción

En junio de 1899, en una ceremonia que marcó la instalación del nuevo monumento Gauss-Weber en Gotinga, David Hilbert pronunció una conferencia sobre los fundamentos de la geometría. Publicado más tarde ese año por Teubner bajo el título "Grundlagen der Geometrie" ("Fundamentos de la geometría"), la pieza se erige como un hito en el desarrollo de la matemática y la lógica modernas. Aunque el tema del trabajo es la geometría, su influencia duradera se refiere más ampliamente al papel de los axiomas en las teorías matemáticas y al tratamiento sistemático de preguntas metateóricas como la consistencia y la independencia. Al presentar un rico tesoro de demostraciones de coherencia e independencia, Hilbert muestra aquí el poder del enfoque "formal" de los axiomas, y sienta las bases para lo que pronto se convertirá en nuestro propio enfoque teórico modelo contemporáneo de los sistemas formales.(Para los antecedentes históricos del tratamiento de axiomas de Hilbert, ver Hallett 2012 y Geometría del siglo XIX; para el papel del trabajo de Hilbert en el desarrollo de la teoría de modelos, ver teoría de modelos y Eder & Schiemer 2018).

La conferencia y la monografía de Hilbert inspiraron una reacción aguda de su contemporáneo Gottlob Frege, quien encontró que tanto la comprensión de Hilbert de los axiomas, como su enfoque de las demostraciones de consistencia e independencia, son virtualmente incomprensibles y, en cualquier caso, seriamente defectuosos. La reacción de Frege se expone por primera vez en su correspondencia con Hilbert desde diciembre de 1899 hasta septiembre de 1900, y posteriormente en dos series de ensayos (ambos titulados "Sobre los fundamentos de la geometría") publicados en 1903 y 1906. Hilbert nunca se conmovió con las críticas de Frege, y no respondió a ellos después de 1900. Frege, por su parte, nunca estuvo convencido de la confiabilidad de los métodos de Hilbert, y sostuvo hasta el final que las pruebas de coherencia e independencia de este último tenían fallas fatales. [1]

En este debate filosófico entre los dos matemáticos, vemos un choque entre dos formas muy diferentes de entender la naturaleza de las teorías matemáticas y su justificación. La diferencia de opinión sobre el éxito de las pruebas de coherencia e independencia de Hilbert es, como se detalla a continuación, el resultado de diferencias de opinión significativas sobre cuestiones tan fundamentales como: cómo entender el contenido de una teoría matemática, en qué consiste una axiomatización exitosa, en qué Las "verdades" de una teoría matemática son realmente, y finalmente, lo que uno realmente pregunta cuando se pregunta sobre la consistencia de un conjunto de axiomas o la independencia de una declaración matemática dada de los demás.

En lo que sigue, observamos brevemente la técnica de Hilbert en Fundamentos de la geometría, detallamos las diversas críticas de Frege de la misma y finalmente describimos las concepciones generales de la lógica que dan lugar a las diferencias.

2. Fundamentos de geometría de Hilbert

El trabajo de Hilbert en Fundamentos de Geometría (en lo sucesivo denominado "FG") consiste principalmente en establecer un conjunto claro y preciso de axiomas para la geometría euclidiana, y en demostrar en detalle las relaciones de esos axiomas entre sí y con algunos de los aspectos fundamentales teoremas de geometría. En particular, Hilbert demuestra la consistencia de varios subgrupos de axiomas, la independencia de varios axiomas de otros y diversas relaciones de demostrabilidad y de independencia de teoremas importantes de subgrupos específicos de axiomas. Se incluyen nuevas demostraciones de la consistencia de todo el conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, y de la independencia del axioma de paralelos de los otros axiomas euclidianos.

La noción de "independencia" en cuestión aquí es la de no demostrabilidad: decir que una declaración dada es independiente de una colección de declaraciones es decir que no es demostrable de ellas, o de manera equivalente que la colección no implica lógicamente que declaración. La coherencia también se entiende en términos de demostrabilidad: decir que una colección de declaraciones es consistente es decir que no se puede demostrar ninguna contradicción. Por lo tanto, las dos nociones, consistencia e independencia, son interdefinibles: un conjunto de declaraciones es consistente si una contradicción elegida arbitrariamente es independiente de ella, y una declaración S es independiente de un conjunto C si el conjunto (C / cup { sim} S) es consistente.

Las demostraciones de consistencia de Hilbert en FG son todas demostraciones de consistencia relativa, lo que significa que en cada caso la consistencia de un conjunto de AX de axiomas geométricos se reduce a la de una teoría de fondo familiar B, lo que demuestra que AX es consistente si B lo es. La técnica importante que Hilbert emplea es la reinterpretación de los términos geométricos que aparecen en AX de tal manera que, como se reinterpreta, los miembros de AX expresan teoremas de B. Por ejemplo, la primera prueba de coherencia de Hilbert interpreta los términos "punto", "línea" y "mentiras" como representando, respectivamente, una colección particular de pares ordenados de números reales, una colección de razones de números reales y un relación definida algebraicamente entre tales pares y proporciones; bajo esta reinterpretación,Las oraciones geométricas en cuestión expresan teoremas de la teoría de fondo de los números reales.

Tal estrategia de reinterpretación garantiza una consistencia relativa se puede ver a través del siguiente razonamiento: Si el conjunto de AX fuera inconsistente, lógicamente implicaría una contradicción. Pero como la implicación lógica es independiente de los significados específicos de términos como "punto" y "línea", AX continuaría implicando una contradicción bajo su reinterpretación. Pero eso es solo para decir que un conjunto de teoremas de B implicaría una contradicción, por lo tanto, B sería inconsistente.

La independencia se demuestra exactamente de la misma manera. Para mostrar que un enunciado I es independiente de un conjunto de AX de enunciados (en relación con la consistencia de B), uno interpreta los términos geométricos relevantes de tal manera que los miembros de AX, tal como se interpretan, expresan teoremas de B, mientras que yo expreso La negación de un teorema de B. Es decir, la independencia de I de AX (en relación con la consistencia de B) se demuestra demostrando la consistencia de (textit {AX} cup {{ sim} I }) en relación con la de B.

La idea general de utilizar la interpretación para demostrar la coherencia no era novedosa en FG; estrategias similares se habían aplicado recientemente en varias escuelas de matemática para mostrar consistencia e independencia en aritmética y en teoría de clase, así como en geometría. [2] La técnica también tiene antecedentes en el uso anterior de modelos geométricos para demostrar la consistencia de geometrías no euclidianas. [3]Sin embargo, el trabajo de Hilbert en FG aporta un avance significativo en términos de claridad y aplicación sistemática de la técnica, y una explicación influyente de la naturaleza del razonamiento metateórico implicado en demostrar consistencia e independencia a través de la reinterpretación. Una vez que la técnica de Hilbert se aplica a las oraciones de un lenguaje completamente formalizado, un desarrollo que tuvo lugar en etapas durante las tres décadas posteriores a FG, obtenemos esencialmente la comprensión moderna de los modelos, cuyo uso hoy en demostraciones de consistencia e independencia difiere solo en detalle de la de la técnica de Hilbert. [4]

La idea central de Hilbert, una vez más, es enfocarse no en conceptos geométricos particulares como el punto y la línea, sino prestar atención a las relaciones lógicas que, según los axiomas, sostienen entre esos conceptos. La cuestión de la independencia del axioma de los paralelos de los otros axiomas euclidianos tiene que ver completamente con la estructura lógica exhibida por estos axiomas, y nada que ver con si se trata de puntos y líneas geométricos de los que se habla, o de algún otro tema en total. Como dice Hilbert:

[I] t es seguramente obvio que cada teoría es solo un andamiaje o esquema de conceptos junto con sus relaciones necesarias entre sí, y que los elementos básicos pueden pensarse de la manera que uno quiera. Si al hablar de mis puntos pienso en algún sistema de cosas, por ejemplo, el sistema: amor, ley, deshollinador … y luego asumo todos mis axiomas como relaciones entre estas cosas, entonces mis proposiciones, por ejemplo, el teorema de Pitágoras, son También válido para estas cosas. En otras palabras: cualquier teoría siempre se puede aplicar a infinitos sistemas de elementos básicos. (Carta a Frege del 29 de diciembre de 1899, extraída por Frege [puntos suspensivos de Hilbert o Frege] en Frege 1980: 40)

Esta comprensión de los términos geométricos como susceptibles de múltiples interpretaciones le permite a uno ver las oraciones geométricas en sí mismas, y sus conjuntos, al proporcionar definiciones de cierto tipo, un tipo típicamente conocido como "definición implícita". Específicamente: Un conjunto de AX de oraciones que contienen n términos reinterpretables define implícitamente una relación n-place (R _ { textit {AX}}) que contiene solo esas n -tuplas que, cuando se toman respectivamente como interpretaciones de la reinterpretación de AX términos, hacen que los miembros de AX sean verdaderos. (Por ejemplo: si AX es el conjunto {Hay al menos dos puntos; Cada punto se encuentra en al menos dos líneas}, entonces (R _ { textit {AX}}) es la relación que tiene cualquier triple (langle P, / textit {LO}, L / rangle) de modo que P tenga al menos dos miembros, L tenga al menos dos miembros,y LO es una relación que se mantiene entre cada miembro de P y al menos dos miembros de L). La relación definida es simplemente la estructura abstracta, o como Hilbert lo llama el "andamiaje", compartido por cualquier n -tupla.[5]

Cuando un conjunto de oraciones proporciona una definición implícita de una relación, uno puede preguntarse si esa relación (y, por extensión, el conjunto de oraciones en sí) es satisfactoria. Es decir, uno puede preguntarse si hay una n -tupla que, cuando sirve como interpretación de los términos relevantes en las oraciones, hará que cada oración sea verdadera. Cada una de las demostraciones de coherencia de Hilbert en FG proporciona una n -tupla que satisface la relación definida relevante y, por lo tanto, proporciona una prueba de la satisfacibilidad de esa relación. La satisfacción en este sentido es suficiente para la coherencia, a través del razonamiento dado anteriormente. [6]

Ahora podemos rediseñar la técnica de Hilbert, en pocas palabras, de la siguiente manera: dado un conjunto de AX de oraciones, Hilbert recurre a una teoría de fondo B para construir una interpretación de los términos geométricos de AX bajo los cuales los miembros de AX expresan teoremas de B. Esta interpretación es, suponiendo la consistencia de B, una n -tupla que satisface la relación (R _ { textit {AX}}) definida por AX. Su existencia demuestra la satisfacción de (R _ { textit {AX}}) y, en consecuencia, la consistencia de AX en relación con la de B. Del mismo modo para la independencia de I de AX.

3. Antecedentes de frege y diferencias iniciales

Para Frege, las cosas son radicalmente diferentes. Frege entiende que las oraciones que usamos en matemáticas son importantes solo por las proposiciones no lingüísticas (o, como él dice, los "pensamientos") que expresan. Los matemáticos que trabajan en francés y en alemán están trabajando en el mismo tema porque, como Frege lo ve, sus oraciones expresan los mismos pensamientos. Cada pensamiento trata sobre un tema determinado, y dice algo verdadero o falso sobre ese tema. [7] En este punto de vista, los pensamientos también son las cosas que lógicamente implican o se contradicen entre sí, las cosas que son verdaderas o falsas, y las cosas que juntas constituyen teorías matemáticas. Por lo tanto, en opinión de Frege, los pensamientos, en lugar de las oraciones, son los elementos sobre los que surgen las cuestiones de coherencia e independencia.

Debido a que cada pensamiento tiene un tema determinado, no tiene sentido hablar sobre la "reinterpretación" de los pensamientos. El tipo de reinterpretación que realiza Hilbert, es decir, de asignar diferentes significados a palabras específicas, es algo que puede aplicarse solo a las oraciones, desde el punto de vista de Fregean. En consecuencia, la primera dificultad que Frege observa con el enfoque de Hilbert es que no está claro qué quiere decir Hilbert con “axiomas”: si se refiere al tipo de cosas para las cuales pueden surgir problemas de consistencia e independencia, entonces debe estar hablando de pensamientos, mientras que Si se refiere al tipo de cosas que son susceptibles de múltiples interpretaciones, entonces debe estar hablando de oraciones.

Las dificultades se multiplican desde aquí. Cuando Hilbert proporciona una reinterpretación específica de los términos geométricos en el camino para demostrar la consistencia relativa de un conjunto de AX de oraciones, Frege señala que ahora tenemos dos diferentes conjuntos de pensamientos en juego: el conjunto que podríamos llamar "(textit {AX } _ {G}) "de pensamientos expresados cuando los términos de AX toman sus significados geométricos ordinarios (por ejemplo, en el que" punto "significa punto) y el conjunto que podríamos llamar" (textit {AX} _ {R})”De pensamientos expresados cuando los términos de AX toman los significados asignados por la reinterpretación de Hilbert (en la cual, por ejemplo,“punto”significa par de números reales). La estrategia de reinterpretación de Hilbert implica, desde el punto de vista de Frege,simplemente desviando nuestra atención del conjunto (textit {AX} _ {G}) de pensamientos normalmente expresados por las oraciones AX (y en cuya consistencia nos interesa) al nuevo conjunto (textit {AX} _ { R}) de pensamientos expresados por AX bajo la reinterpretación. Y el hecho de que las oraciones reinterpretadas expresen verdades sobre números reales tiene poco que ver, desde la perspectiva de Frege, con las preguntas de coherencia e independencia que surgen para los pensamientos originales sobre puntos, líneas y planos.

Además de la práctica confusa (como Frege lo ve) de cambiar de un lado a otro entre diferentes conjuntos de pensamientos mientras se discute un conjunto dado de oraciones, el procedimiento de Hilbert también implica, como Frege lo ve, otros dos aspectos cuestionables.

El primero se refiere a la necesidad de pruebas de consistencia. En opinión de Frege, los axiomas de una teoría siempre forman una colección de pensamientos verdaderos; y como la verdad implica consistencia, la consistencia de una colección de axiomas nunca necesita demostración. Para Hilbert, por otro lado, el hecho de que una colección de oraciones se tome como axiomática no es garantía de verdad (o de verdad bajo una interpretación dada), y una demostración de consistencia es a menudo un paso crucial para establecer la respetabilidad matemática de esa oración. colección de axiomas.

En segundo lugar, Hilbert y Frege difieren de manera importante sobre la conexión entre verdad y consistencia. Tomando una teoría para ser axiomatizada por un conjunto de oraciones de interpretación múltiple, la opinión de Hilbert es que la consistencia de tal conjunto es suficiente para la existencia de la (o una) colección de entidades matemáticas mencionadas en la teoría. La consistencia, por ejemplo, de una teoría de números complejos es todo lo que se necesita para justificar la práctica matemática del razonamiento en términos de tales números. Para Frege, por otro lado, la consistencia nunca puede garantizar la existencia. Su ejemplo preferido para hacer este punto es que la consistencia (en el sentido de Hilbert) del trío de oraciones

  • A es un ser inteligente
  • A es omnipresente
  • A es omnipotente

es insuficiente para garantizar su instanciación. (Véase, por ejemplo, la carta de Frege a Hilbert del 6 de enero de 1900; Frege 1980: 47.)

La diferencia central entre Frege y Hilbert sobre la naturaleza de los axiomas, es decir, sobre la cuestión de si los axiomas son afirmaciones verdaderamente verdaderas sobre un tema fijo o frases reinterpretables que expresan condiciones de instancia múltiple, se encuentra en el corazón de la diferencia entre una forma más antigua de pensar en teorías, ejemplificadas por Frege, y en una nueva forma que cobró fuerza a fines del siglo XIX. Quizás lo más claramente ilustrado en Dedekind 1888, la idea central del nuevo enfoque es entender las teorías matemáticas como características generales de las condiciones "estructurales" que podrían tener en común cualquier número de dominios ordenados diferentes. Del mismo modo que, en álgebra, los axiomas para un grupo dan condiciones generales que pueden ser satisfechas por cualquier tipo de objeto bajo relaciones apropiadas,así también en la nueva vista, los axiomas de la geometría especifican condiciones de instancia múltiple. Al ver las teorías desde esta perspectiva moderna, es completamente apropiado tomar axiomas como lo hace Hilbert, ya que las oraciones reinterpretables son los vehículos correctos para expresar las condiciones de multiplicación instantánea en cuestión.[8] Desde el punto de vista de la concepción de teorías de dominio fijo anterior, por otro lado, tales oraciones reinterpretables son completamente inapropiadas como axiomas, ya que no logran fijar un tema determinado. Sobre esta cuestión, es decir, la cuestión de la concepción de dominio fijo (Fregean) frente a la estructura de múltiples instancias (Hilbertiana) de las teorías matemáticas, el jurado aún está fuera: este debate continúa animando la filosofía contemporánea de las matemáticas (ver entrada sobre filosofía de las matemáticas).

La segunda cuestión que divide a Frege y Hilbert, con respecto a la justificación de la inferencia de la consistencia a la existencia, también sigue viva. Si bien todos (incluso presumiblemente Hilbert) estarían de acuerdo con Frege en que, fuera del dominio matemático, no podemos inferir con seguridad la existencia de la coherencia, la pregunta sigue siendo si podemos (o debemos) hacerlo dentro de las matemáticas. El punto de vista de Fregean es que la existencia de objetos matemáticos solo puede probarse (si es que lo hace) apelando a principios más fundamentales, mientras que el punto de vista de Hilbert es que en casos puramente matemáticos apropiados, no hay nada más que demostrar, para establecer la existencia, que la consistencia de una teoría (ver entradas sobre filosofía de las matemáticas y platonismo en la filosofía de las matemáticas).

A pesar de estas diferencias, Frege y Hilbert están de acuerdo en que hay preguntas matemáticas importantes que deben hacerse con respecto a la consistencia y la independencia, y están de acuerdo en que, por ejemplo, la cuestión clásica de la independencia del axioma de los paralelos del resto de la geometría euclidiana es significativa. Pero no están de acuerdo, como se señaló anteriormente, sobre si el procedimiento de Hilbert es suficiente para resolver estas preguntas. Pasamos a continuación al tema de la lógica de Frege para rechazar el método de Hilbert para demostrar consistencia e independencia.

4. El desacuerdo más profundo

Como se señaló anteriormente, Frege considera que las reinterpretaciones de Hilbert implican un cambio de atención de los pensamientos geométricos (cuya consistencia e independencia están en cuestión) a pensamientos de un tipo completamente diferente, aquellos sobre la teoría de fondo B (cuya consistencia e independencia no están en cuestión). Con respecto a las pruebas de consistencia, su opinión es que Hilbert hace una inferencia ilegítima de la consistencia de una colección (textit {AX} _ {R}) de pensamientos sobre números reales a la consistencia de una colección (textit {AX} _ {G}) de pensamientos sobre puntos geométricos, líneas y planos. Frege reconoce que el conjunto de AX de oraciones de Hilbert puede entenderse como una definición implícita de una relación abstracta (R _ { textit {AX}}), una que se satisface con las n-tuplas construidas por Hilbert, y que la consistencia (es decir,satisfacción) de (textit {AX} _ {R}) implica la consistencia de esa relación definida. Pero aquí también, Frege considera que la inferencia crucial de Hilbert, desde la consistencia de (R _ { textit {AX}}) hasta la consistencia de (textit {AX} _ {G}), es problemática. Como lo expresa el propio Frege, refiriéndose a (textit {AX} _ {R}) y (textit {AX} _ {G}) como "geometrías especiales", y a (R _ { textit { AX}}) como el "caso general:"

[G] dado que los axiomas en geometrías especiales son todos casos especiales de axiomas generales, se puede concluir de la falta de contradicción en una geometría especial a la falta de contradicción en el caso general, pero no a la falta de contradicción en otro caso especial. (Carta del 6 de enero de 1900 en Frege 1980: 48)

Una vez que ha señalado lo que considera la inferencia cuestionable, Frege considera que la carga de la discusión recae directamente sobre Hilbert: si Hilbert piensa que la consistencia de (textit {AX} _ {G}) se deriva de la consistencia de (textit {AX} _ {R}) o de la satisfacción de (R _ { textit {AX}}), entonces le corresponde a Hilbert mostrar esto. Frege no hace todo lo posible para demostrar que la inferencia crucial es inválida, pero parece considerar que se hizo esencialmente una vez que señaló la necesidad de una justificación aquí.

Desde el punto de vista de Hilbert, por supuesto, no hay necesidad de tal justificación. Las diferencias en las que Frege insiste una y otra vez entre los conjuntos de oraciones (AX) y los diferentes conjuntos de pensamientos ((textit {AX} _ {G}), (textit {AX} _ {R}) etc.) son completamente intrascendentes desde el punto de vista de Hilbert. Debido a que la consistencia, como Hilbert entiende, se aplica al "andamiaje" de conceptos y relaciones definidos por AX cuando sus términos geométricos se toman como marcadores de posición, la consistencia que tiene en mente tiene (para decirlo en términos de pensamientos) de (textit {AX} _ {G}) si contiene (textit {AX} _ {R}), ya que ambos conjuntos de pensamientos son instancias del mismo "andamiaje". El mismo punto puede expresarse en términos de oraciones:Frege insiste en que la pregunta de coherencia que surge para las oraciones bajo su interpretación geométrica es un tema diferente del que surge para esas oraciones bajo su interpretación de números reales; para Hilbert, por otro lado, solo hay una pregunta, y se responde afirmativamente si hay alguna interpretación bajo la cual las oraciones expresan verdades. Por lo tanto, mientras Frege considera que Hilbert debe una explicación de la inferencia de la consistencia de (textit {AX} _ {R}) a la de (textit {AX} _ {G}), para Hilbert allí simplemente no es inferencia. Por lo tanto, mientras Frege considera que Hilbert debe una explicación de la inferencia de la consistencia de (textit {AX} _ {R}) a la de (textit {AX} _ {G}), para Hilbert allí simplemente no es inferencia. Por lo tanto, mientras Frege considera que Hilbert debe una explicación de la inferencia de la consistencia de (textit {AX} _ {R}) a la de (textit {AX} _ {G}), para Hilbert allí simplemente no es inferencia.

La falta de claridad de Frege sobre sus razones para rechazar el procedimiento de Hilbert deja una brecha interpretativa, con respecto a la cual hay espacio para la controversia. Deberíamos recordar, para empezar, que Hilbert tiene toda la razón en que su propia estrategia de reinterpretación es suficiente para la relativa consistencia y resultados de independencia que afirma. Si la coherencia y la independencia se entienden, como anteriormente, en términos de no demostrabilidad, y si la prueba es, como supone Hilbert, independiente de los significados de los términos geométricos, entonces (textit {AX} _ {R}), (textit {AX} _ {G}), e incluso el propio AX son consistentes si uno de ellos lo es. El rechazo de Frege de la técnica de Hilbert debe implicar, entonces, una cierta confusión sobre lo que Hilbert ha establecido o una comprensión diferente de lo que está en cuestión en las afirmaciones de coherencia e independencia.

Una manera de entender la contribución de Frege al debate de Frege-Hilbert, entonces, es reconocer las contribuciones que Frege hace al aclarar el propio enfoque de Hilbert a los axiomas, pero sostener que la evaluación negativa de Frege de la técnica de Hilbert para demostrar consistencia e independencia es errónea. En este sentido, a pesar de la diferencia entre Frege y Hilbert sobre la naturaleza de los axiomas, sin embargo, la satisfacción de (R _ { textit {AX}}) muestra la consistencia de la colección de axiomas en cuestión, si uno concibe esos axiomas en la forma de Hilbert como oraciones (es decir, como la colección AX) o en la forma de Frege como pensamientos (es decir, como la colección (textit {AX} _ {G})). Del mismo modo para la independencia. El error de Frege, desde este punto de vista, es no haber notado que el tipo de resultado no demostrable (es decir,coherencia o independencia) de que Hilbert toma sus reinterpretaciones para demostrar las oraciones geométricas implica un resultado de no demostrabilidad (consistencia o independencia) correspondiente para los pensamientos geométricos (véase Resnik 1974, Currie 1982, Dummett 1975).

La interpretación alternativa argumenta que la comprensión de Frege de la consistencia e independencia es lo suficientemente diferente de la de Hilbert que la implicación en cuestión no es válida: que la satisfacción de (R _ { textit {AX}}), y la consecuente consistencia en el sentido de Hilbert de AX, no implica la consistencia en el sentido de Frege de (textit {AX} _ {G}). Del mismo modo para la independencia. Según esta interpretación, Frege tiene razón al afirmar que las demostraciones de Hilbert no muestran consistencia e independencia en el sentido en que él, Frege, comprende estos términos. [9]

La idea central de la interpretación alternativa es que, para Frege, la pregunta de si un pensamiento dado está lógicamente implicado por una colección de pensamientos es sensible no solo a la estructura formal de las oraciones utilizadas para expresar esos pensamientos, sino también al contenido de las mismas. términos simples (p. ej., geométricos) que aparecen en esas oraciones. Si esto es correcto, entonces vemos de inmediato que la consistencia de (textit {AX} _ {R}) no necesariamente implica la consistencia de (textit {AX} _ {G}), ya que la pregunta es si (textit {AX} _ {G}) lógicamente implica una contradicción que puede convertirse en parte en las partes geométricas específicas de los pensamientos en cuestión, es decir, en los significados geométricos habituales de los términos geométricos de AX. Para elegir un ejemplo ilustrativo, aunque no uno que el mismo Frege da, considere el par de oraciones

  • El punto B se encuentra en una línea entre los puntos A y C;
  • El punto B no se encuentra en una línea entre los puntos C y A.

Este par de oraciones es demostrablemente consistente en el sentido de Hilbert. Pero en la interpretación de Frege sugerida aquí, esta consistencia (en el sentido de Hilbert) no asegura que los pensamientos expresados por estas oraciones bajo su interpretación ordinaria formen una colección consistente. Si, por ejemplo, Frege entiende la relación 'entre' como susceptible al análisis conceptual, de acuerdo con el cual se puede ver que el primer pensamiento conlleva lógicamente la negación del segundo, entonces el par de pensamientos son inconsistentes entre sí en lo directo sentido de implicar lógicamente una contradicción.

La idea de que Frege considera que la implicación lógica es sensible al análisis conceptual en la forma que se acaba de sugerir, se considera, por este motivo, evidente en la estrategia que Frege emplea en su intento de toda la vida de demostrar su tesis logicista, la tesis de que las verdades de aritmética son demostrables de pura lógica. En el curso de ese proyecto, Frege regularmente proporciona demostraciones de que un pensamiento dado τ se sigue lógicamente de un conjunto de pensamientos T, de una manera que involucra dos pasos. Primero, Frege somete a τ y / o los miembros de T al análisis conceptual, sacando a relucir una complejidad conceptual previamente desconocida en esos pensamientos. En segundo lugar, prueba la versión así analizada de τ de los miembros así analizados de T. Por ejemplo, Frege se toma a sí mismo para demostrar que el pensamiento expresado por

(i) La suma de dos múltiplos de un número es un múltiplo de ese número

sigue lógicamente de los pensamientos expresados por

(ii) (para todos m \; / para todos n \; / para todos p ((m + n) + p = m + (n + p)))

y por

(ii) (forall n (n = n + 0).)

La demostración continúa proporcionando un análisis cuidadoso de la noción de "múltiplo de" en términos de suma, dándonos en lugar de (i) un más complejo (i ') que luego se prueba a partir de (ii) y (iii). [10] Del mismo modo, una parte importante del proyecto de lógica de Frege consiste en el análisis cuidadoso de nociones aritméticas como cero y sucesor, análisis que saca a la luz una complejidad inadvertida y facilita la prueba de verdades aritméticas. (Para una discusión sobre el proyecto logicista, ver entradas sobre Frege y el logicismo y el neologicismo).

Como Frege lo pone en las primeras páginas de sus Fundamentos de la aritmética, cuando estamos tratando de probar las verdades de la aritmética desde los puntos de partida más simples posibles,

… Muy pronto llegamos a proposiciones que no se pueden probar mientras no tengamos éxito en analizar conceptos que se producen en ellos en conceptos más simples o en reducirlos a algo de mayor generalidad. (Frege 1884: §4)

En resumen: los componentes de los pensamientos a veces se pueden analizar en términos de componentes más simples o más generales, de una manera que saca a la luz relaciones de vinculación lógica previamente ocultas. Por lo tanto, cuando queremos saber si un pensamiento determinado está lógicamente implicado por un conjunto de pensamientos, debemos prestar atención, desde el punto de vista de Frege, no solo a la estructura general exhibida por las oraciones que expresan esos pensamientos, sino también a los contenidos de los términos individuales que aparecen en esas oraciones.

La conexión entre este aspecto del trabajo de Frege y sus puntos de vista sobre la independencia, en la interpretación en cuestión, es la siguiente. Debido a que a veces podemos descubrir que un pensamiento τ está lógicamente implicado por un conjunto T de pensamientos solo después de un análisis cuidadoso de algunos de los componentes aparentemente simples de esos pensamientos, por lo que también a veces podremos descubrir que un conjunto de pensamientos es inconsistente, es decir, que lógicamente conlleva una contradicción, sobre la base de dicho análisis conceptual. Por lo tanto, la consistencia del conjunto de pensamientos expresados por un conjunto Σ de oraciones es algo que gira no solo en la estructura general de las oraciones en Σ, sino en el significado de los términos que aparecen en las oraciones de Σ.

Para aclarar este último punto, veamos un ejemplo no matemático, uno que ni Hilbert ni Frege trataron explícitamente. Considere el conjunto de oraciones {Jones tuvo una pesadilla, Jones no tuvo un sueño}, o equivalentemente su interpretación de primer orden, ({Nj, {{ sim} Dj} }). El conjunto es claramente consistente en el sentido utilizado por Hilbert en FG; es una cuestión sencilla proporcionar interpretaciones de "Jones", "x tuvo una pesadilla" y "x tuvo un sueño" (o de "j", "N" y "D") de manera que las oraciones, así interpretadas, expresar verdades (Considere, por ejemplo, una interpretación en la que a "j" se le asigna el número 7, "N" al conjunto de números primos y "D" al conjunto de números mayores que 12.) Pero desde el punto de vista de Fregean, el los pensamientos expresados son posiblemente inconsistentes, ya que parte de lo que es tener una pesadilla es tener un sueño. La inconsistencia desde el punto de vista de Frege puede demostrarse proporcionando un análisis de los pensamientos expresados, y señalando que los resultados de este análisis arrojan el conjunto {Jones tuvo un sueño inquietante, Jones no tuvo un sueño}.

Por la misma razón, dos conjuntos de pensamientos que son estructuralmente similares en el sentido de que pueden expresarse, bajo diferentes interpretaciones, por el mismo conjunto de oraciones, pueden diferir con respecto a la consistencia de Frege. Aplicada al contexto geométrico, la idea central, en esta explicación de la objeción de Frege a Hilbert, es que los tipos de reinterpretación en los que se involucra Hilbert pueden tomar uno de un conjunto consistente de pensamientos (por ejemplo, (textit {AX } _ {R})) a uno inconsistente (por ejemplo, (textit {AX} _ {G})) debido al cambio en el tema, invalidando así la inferencia de la consistencia del primero al Consistencia del segundo.

Frege no pretende ser capaz de realizar análisis geométricos específicos que contradicen las afirmaciones de coherencia particulares de Hilbert, y no hay evidencia de que considere que ninguna de esas afirmaciones sea falsa. Que bien podría haber tenido algunos de esos análisis en mente se insinúa en una carta a Hilbert en la que afirma que en sus propias investigaciones inacabadas sobre los fundamentos de la geometría, fue capaz de "conformarse con menos términos primitivos", que presumiblemente significa que toma algunos de los términos tratados como primitivos por Hilbert como susceptibles de análisis a través de otros (ver la carta a Hilbert del 27 de diciembre de 1899 en Frege 1980: 34). Cualquier análisis de este tipo revelaría relaciones de dependencia lógica (desde el punto de vista de Frege) donde Hilbert encontraría independencia.

Debido a que ninguno de los trabajos de Frege sobre este tema ha sobrevivido, no tenemos detalles sobre los análisis específicos que podría haber realizado. Sin embargo, el punto crucial en la crítica de Frege a Hilbert, en este sentido, no es un desacuerdo sobre análisis particulares o el consecuente fracaso de las afirmaciones de coherencia e independencia particulares, sino que se trata de la metodología general de pruebas de coherencia e independencia. Porque para Hilbert la consistencia de un conjunto de oraciones gira completamente en la estructura general que exhiben, mientras que para Frege la consistencia del conjunto de pensamientos expresados gira adicionalmente en el contenido de los términos no lógicos que aparecen en las oraciones, en esta cuenta, La consistencia de Hilbert no implica consistencia de Frege.

5. Problemas persistentes

Hemos examinado dos formas de entender las objeciones de Frege a las técnicas de Hilbert para probar la consistencia y la independencia. El primero considera que Frege está fundamentalmente equivocado, con el error ubicado en su incapacidad para apreciar la conexión entre la satisfacción de un conjunto de oraciones reinterpretables y las afirmaciones de independencia / coherencia asociadas. El segundo considera que Frege es fundamentalmente correcto en el sentido de que (i) entiende la consistencia e independencia de los pensamientos para centrarse no solo en la sintaxis superficial de las oraciones que las expresan, sino también en el contenido de los términos simples utilizados en su expresión, y (ii) la consistencia y la independencia, así entendidas, no son demostrables a la manera de Hilbert.

Ninguna de estas opciones interpretativas es totalmente sin problemas. Una dificultad importante con la primera es su atribución a Frege de un grave grado de confusión acerca de la fuerza de las reinterpretaciones de Hilbert, lo cual podría estar en cierta tensión con el hecho de que, en términos generales, la explicación de Frege del procedimiento metodológico de Hilbert en FG es considerablemente más claro que el de Hilbert. Otra fuente de dificultad es que la comprensión de la independencia atribuida en este sentido a Frege está en tensión con la comprensión de la vinculación lógica que figura centralmente en su trabajo de lógica, una comprensión sobre la cual el contenido de los términos matemáticos puede ser crucial para las cuestiones de lógica. vinculación. La segunda interpretación, aunque más caritativa para Frege,podría decirse que adolece de la falta de mención explícita por parte de Frege de la relevancia del análisis conceptual para las cuestiones de consistencia e independencia.

Una fuente final de dificultad potencial para cualquier explicación de las opiniones de Frege sobre la independencia y la coherencia es la muy interesante Parte (iii) del ensayo de 1906 "Fundamentos de la geometría". La importancia de ese texto y las dificultades interpretativas que plantea pueden resumirse de la siguiente manera.

El ensayo de 1906 "Fundamentos de la geometría" es principalmente una nueva declaración de las objeciones anteriores de Frege (discutidas anteriormente) al tratamiento de la coherencia e independencia de Hilbert. Después de un ensayo de esas objeciones, Frege se dirige en la Parte iii al problema de dar un método positivo para probar la independencia. ¿Cómo, se pregunta, podría uno probar un pensamiento dado independiente de una colección de pensamientos? En respuesta, Frege proporciona un bosquejo de un método potencial, y finaliza la discusión señalando que el método esbozado aún está incompleto y que enfrenta algunas dificultades. A pesar de lo obvio que está incompleto, Frege nunca (por lo que podemos decir) vuelve a la propuesta, y al final parece haberla encontrado insatisfactoria. El hecho de que, en principio, lo consideró insatisfactorio lo indica su reclamo cuatro años después, en una nota a Jourdain:que no se puede probar la imposibilidad de prueba del axioma de paralelos (ver Frege 1980: 183n). Es decir, en 1910 parecería sostener que no existe un método sistemático para probar la independencia.[11]

La propuesta de 1906 en sí misma puede resumirse de la siguiente manera. Supongamos, dice Frege, que tenemos una colección C de oraciones, cada una de las cuales expresa un pensamiento determinado, y una oración S que expresa de manera similar un pensamiento determinado. El corazón del método propuesto para probar la independencia del pensamiento S de los pensamientos C es que empleamos un mapeo μ de términos a términos (y, por lo tanto, también de oraciones a oraciones) que conserva el tipo sintáctico (mapeo de nombres a nombres, predicados de un lugar a predicados de un lugar, etc.) y asigna términos 'lógicos' a sí mismos. Entonces: el pensamiento S es independiente de los pensamientos C si μ asigna S a una oración falsa mientras asigna todos los miembros de C a oraciones verdaderas. (Para una discusión y desarrollo de la propuesta de Frege, ver Antonelli y May 2000, Eder 2016. Para una discusión de las razones de Frege para rechazar la propuesta,ver Ricketts 1997, Eder 2013, Blanchette 2014.)

Lo primero que intriga sobre la propuesta es su sorprendente similitud con el método de Hilbert. Suponiendo que el lenguaje de Frege sea lo suficientemente rico como para incluir términos para todos los objetos, funciones y conjuntos que Hilbert podría usar en las reinterpretaciones, posiblemente habrá un mapeo del tipo que Frege describe si y solo si hay una reinterpretación del tipo que Hilbert usa para mostrar (su versión de) independencia: donde la reinterpretación de Hilbert proporciona un término t con nuevo contenido, el método de Frege simplemente mapearía t a un nuevo término con ese mismo contenido. Y esto significaría que, a pesar de todas las objeciones planteadas por Frege, el método de Hilbert sería suficiente para demostrar lo que Frege considera la independencia de los pensamientos. Si esto es correcto,entonces tenemos razones para dudar de cualquier interpretación de Frege en la que se justifique su rechazo del método de Hilbert.

Las razones centrales por las que uno podría dudar de la fuerte equivalencia que se acaba de sugerir entre el método de Hilbert y la propuesta de Frege son que (i) no está claro qué tipo de lenguaje tiene en mente Frege, y (ii) no está claro si la clase de términos Frege contaría como "lógico", es decir, la clase cuyos miembros μ deben mapearse a sí mismos, es la misma que la clase de términos que Hilbert consideraría tener una interpretación fija. Si la clase de términos fijos de Frege es más amplia que la de Hilbert, y / o el lenguaje de Frege carece de la terminología de Hilbert, entonces una demostración de independencia en el sentido de Hilbert no implicará la existencia de un mapeo que demuestre independencia en el sentido de Frege. Una forma de pensar en la pregunta crucial es si los términos como "número" o "entre",los términos que Frege trata como susceptibles de análisis conceptual, se permitirán en el idioma que le concierne a Frege (en oposición, por ejemplo, a exigir que el idioma contenga solo términos "completamente analizados"), y si dichos términos estarán entre esos ese μ se asigna a una nueva terminología arbitraria. El propio Frege señala la importancia del segundo problema de demarcación terminológica que se acaba de plantear, es decir, el problema de determinar qué términos se asignan a sí mismos, y señala que este problema debería abordarse para convertir su bosquejo en una estrategia viable.. Como nunca responde a la pregunta de la terminología fija o del tipo de lenguaje en cuestión, la propuesta de Frege no está suficientemente determinada para una comparación clara con la de Hilbert. Nos quedamos, entonces,con la cuestión interpretativa de dar sentido a la propuesta de Frege de un método y el posterior repudio aparente del mismo, al tiempo que reconoce la naturaleza incompleta de esa propuesta. (Para más información sobre el texto de 1906, ver: Ricketts 1997, Tappenden 2000, Blanchette 2014.)

6. Conclusión

Debido a que las afirmaciones de coherencia y de independencia son fundamentalmente afirmaciones de no incumplimiento o de falta de demostrabilidad, no es obvio, incluso una vez que poseemos técnicas sólidas para probar resultados matemáticos, cómo se podría probar la coherencia y la independencia. Lo que Hilbert nos ofrece, en 1899, es una técnica sistemática y poderosa que se puede utilizar en todas las disciplinas formales para hacer justamente esto: demostrar consistencia e independencia. Al hacerlo, sienta las bases, en concierto con varios de sus contemporáneos, para el surgimiento de técnicas contemporáneas de teoría de modelos. (Para una discusión más detallada, ver Mancosu, Zach y Badesa 2009; también ver entrada sobre geometría del siglo XIX).

Lo que encontramos a través del rechazo de Frege y la defensa de Hilbert de esa técnica es una aclaración de los supuestos que son esenciales para su éxito. Como hemos visto, la característica crucial de la prueba que debe suponerse, para que una reinterpretación al estilo de Hilbert demuestre un resultado no demostrable, es que la demostrabilidad es insensible al contenido de esos términos que Hilbert considera reinterpretables, en este caso, los términos geométricos. La visión alternativa de consistencia e independencia, en la cual la implicación y la demostrabilidad son sensibles al contenido de los términos geométricos, es una con respecto a la cual las reinterpretaciones al estilo de Hilbert no pueden demostrar consistencia e independencia así entendidas. Como se describió anteriormente,La lectura de Frege sobre la cual sostiene una visión de coherencia e independencia proporciona una justificación para sus objeciones a Hilbert, y una explicación alternativa de lo que está en juego en las afirmaciones de consistencia geométrica e independencia.

A pesar del claro fracaso de la comunicación entre Hilbert y Frege, su debate saca a la luz una serie de cuestiones importantes, entre las cuales se encuentran (i) el papel de las oraciones entendidas esquemáticamente al proporcionar definiciones implícitas, que Frege articula más claramente en nombre de Hilbert de lo que Hilbert había hecho todavía, y (ii) la medida en que las relaciones lógicas deben ser tratadas como "formales". En este último tema, la diferencia entre Frege y Hilbert es instructiva. Mucho antes del debate con Hilbert, Frege ya sostenía que el rigor lógico requiere el uso de sistemas formales de deducción, "formales" en el sentido de que todos los pensamientos se expresan a través de oraciones determinadas con precisión, y que todas las reglas de inferencia y axiomas se presentan sintácticamente (Ver, por ejemplo, Frege 1879). Lo más importante para nuestros propósitos es el hecho de que los sistemas formales de Frege son completamente modernos en el sentido de que la derivabilidad en dicho sistema de una oración a partir de un conjunto de oraciones gira solo en la forma sintáctica de esas oraciones. Los famosos análisis conceptuales en los que se basa gran parte del trabajo de Frege se proporcionan antes de la prueba; Es sobre la base de análisis conceptuales que uno llega a las oraciones apropiadas para tratar dentro del sistema formal, pero los análisis en sí mismos no juegan ningún papel dentro de las pruebas propiamente dichas. Por lo tanto, cuando se trata del trabajo positivo de demostrar que una oración dada es derivable de un conjunto de oraciones, Frege es como Hilbert: los significados no importan. De hecho, en el momento de su correspondencia, el trabajo de Frege era considerablemente más "formal" que el de Hilbert,dado que Hilbert en este momento no estaba usando un sistema de deducción explícitamente definido sintácticamente.

Sin embargo, la concepción de la lógica de Frege tiene el resultado de que solo hay una conexión unidireccional entre la implicación lógica, ya que esto se mantiene entre los pensamientos y la derivabilidad formal, como lo es entre las oraciones. Dado un buen sistema formal, una oración σ es deducible de un conjunto Σ solo si el pensamiento expresado por σ está de hecho lógicamente implicado por los pensamientos expresados por los miembros de Σ. (Esto simplemente requiere que los axiomas y las reglas de inferencia estén bien elegidos). Pero lo contrario es falso: que σ no es deducible en tal sistema de from no es garantía de que el pensamiento expresado por σ sea independiente del conjunto de pensamientos expresado por los miembros de Σ. Pues bien puede ser, como en los casos tratados explícitamente por los propios análisis de Frege, que un análisis posterior de los pensamientos y sus componentes producirá una estructura más compleja. Cuando esto pasa,el análisis puede devolver oraciones aún más complejas (conjuntos de) σ 'y Σ' de modo que, después de todo, σ 'sea deducible de Σ'. Según la más caritativa de las dos opciones interpretativas descritas anteriormente, esta es la explicación del rechazo de Frege del tratamiento de Hilbert de la coherencia e independencia en la geometría. Como podríamos decir, dado que una considerable complejidad lógica puede encontrarse sin descubrir en los pensamientos expresados por oraciones relativamente simples, la no derivabilidad no es garantía de independencia, en el esquema de cosas Fregean. Hay una brecha significativa, como se podría decir, entre lo lógico y lo formal. Esta es la explicación del rechazo de Frege del tratamiento de Hilbert de la consistencia e independencia en la geometría. Como podríamos decir, dado que una considerable complejidad lógica puede encontrarse sin descubrir en los pensamientos expresados por oraciones relativamente simples, la no derivabilidad no es garantía de independencia, en el esquema de cosas Fregean. Hay una brecha significativa, como se podría decir, entre lo lógico y lo formal. Esta es la explicación del rechazo de Frege del tratamiento de Hilbert de consistencia e independencia en geometría. Como podríamos decir, debido a que una considerable complejidad lógica puede encontrarse sin descubrir en los pensamientos expresados por oraciones relativamente simples, la no derivabilidad no es garantía de independencia, en el esquema de cosas Fregean. Hay una brecha significativa, como se podría decir, entre lo lógico y lo formal.

Para Hilbert, por otro lado, al menos en el contexto de la geometría axiomatizada, las relaciones lógicas simplemente son las relaciones formalmente descripbles, ya que tienen que ver completamente con la estructura exhibida por las oraciones en cuestión, o de manera equivalente con el "andamiaje" de conceptos definidos por estas oraciones. Es debido a que la consistencia en el sentido de Hilbert gira solo en esta estructura abstracta, y no en el contenido de los términos que instancian la estructura, que la estrategia de reinterpretación es efectiva.

Hilbert es claramente el ganador en este debate, en el sentido de que aproximadamente su concepción de consistencia es lo que uno quiere decir hoy por "consistencia" en el contexto de las teorías formales, y un pariente cercano de su metodología para pruebas de consistencia es ahora estándar. Ahora, de manera rutinaria, tomamos consistencia e independencia, como lo hace Hilbert, para mantener independientemente de los significados de los llamados términos "no lógicos" y, por lo tanto, ser directamente demostrables en esencia a la manera de Hilbert. Esto no quiere decir que se hayan cumplido las objeciones de Frege, sino que se han eludido esencialmente mediante la consagración de la noción formal de coherencia y una falta de preocupación, al menos bajo ese título, con lo que Frege llamó "coherencia".

Bibliografía

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